湖北省黄石市大冶罗桥中学2018-2019学年高二数学理月考试卷含解析

湖北省黄石市大冶罗桥中学2018-2019学年高二数学理
月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数在处有极值10，则m，n的值是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
2. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为,则的值
为
（）
参考答案：
D
略
3. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足·，则的最大值是（）
A． B．2 C．1
D．
参考答案：
A
4. 已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）
A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3
C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3
参考答案：
D
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．
【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，
只能从A，D两个答案中选一个，
∵σ越小图象越瘦长，
得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，
故选D．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数
均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．
5. 函数的单调递增区间是（）
A. (－∞,－1)
B. (－1,1)
C. (1,+∞)
D. (－∞,－1)和(1,+∞)
参考答案：
B
【分析】
先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.
【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
6. 若且，则下列四个数中最大的是
ＡＢＣ 2abＤ
参考答案：
B
7. 用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）
A . 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次
参考答案：
D
8. 已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
A. （–1，1）
B. （1，2）
C. （–1，+∞）
D. （1，+∞）
参考答案：
C
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
详解】∵，
∴，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
9. 点在曲线上移动时,过点的切线的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
D
本题主要考查的是导数的几何意义,意在考查学生的运算求解能力.
因为点在曲线上移动,所以过点的切线的倾率,所以k的取值范围是,所以倾斜角的取值范围是,故选D.
10. 将十进制数47化为二进制数，根据二进制数“满二进一”的原则，采用“除二取余法”，得如下过程：，，，，
，，把以上各步所得余数从后面到前面依次排列，从而得到47的二进制数为101111，记作: .类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（）
A. 202
B. 1202
C. 1021
D. 2021
参考答案：
B
【分析】
由题意利用所给的信息计算47除以3的余数和商，并辗转相除可得其三进制表示.
【详解】注意到：
，，
结合题意可得：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查新知识的应用，数制之间的转化方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集是，则a＋b的值是________.
参考答案：
略
12. 已知，为两平行平面的法向量，则
参考答案：
2
13. 抛物线上的点到直线距离的最小值
是。

参考答案：
14. ．设正实数满足，则当取得最大值时，的值为▲．
参考答案：
3
略
15. 已知函数与直线相切于点，若对任意，不等式恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为________
参考答案：
{4}
【详解】函数与直线相切于点，
可得方程，，可得方程，
联立方程组解得，，所以，
由得，
则，化简可得
，
由此可得,
所有满足条件的实数组成的集合为.
所以本题答案为.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用分离参数的方法，属于中档题.
16. 若x，y满足约束条件，则的最大值为．参考答案：
12
17. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5= ．
参考答案：
3：4
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值．
【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，
∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，
由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，
∴S15：S5=3：4，
故答案为：3：4．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求,至少长米，C为的中点，到的距离比的长小米，.
（1）若将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段和长度之和）
（2）如何设计的长，可使支架总长度最短．
参考答案：
（1）由则，且，则支架的总长度为，
在中，由余弦定理, 化简得
即
①………………………………………………………4分
记 ,由，则
.
故架的总长度表示为的函数为定义域为………………8分（2）由题中条件得，即 , 设
则原式
=………………12分
由基本不等式,有且仅当，即时“=”成立，
又由满足 . ， .
当时，金属支架总长度最短．………………16分
19. （本小题满分16分）
已知数列满足，且,
（1）求、、；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）是否存在常数，使数列成等差数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
解：（1）∵，将n=1代入已知等式得，
同法可得，。

（2）∵，，，，∴由此猜想。

下面用数学归纳法证明。

① 当n=1和2时猜想成立；
②假设当n=k（k≥2）时猜想成立，即，
那么，当n=k+1时，因为，
所以=(k+1)(2k+3)
这就是说当n=k+1时猜想也成立。

因此成立
（3）假设存在常数c使数列成等差数列，则有
把，，代入得。

当时，数列即为{2n+1}是公差为2的等差数列；
当时，数列即为{2n}是公差为2的等差数列。

∴存在常数使数列成等差数列。

略
20. 将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线
、抛物线的焦点是直线y＝x－1与x轴的交点.
(1)求，的标准方程；
(2)请问是否存在直线满足条件：① 过的焦点;②与交于不同两
点,,且满足？若存在，求出直线的方程; 若不存在,说明
理由．
参考答案：
略
21. 如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
参考答案：
【考点】余弦定理．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADC，利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAD的值．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD，在△ABC中，由余弦定理即可解得AC的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）在△ADC中，因为cos∠ADC=，
所以sin∠ADC=．
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）
=sin∠ADCcos B﹣cos∠ADCsin B
=×﹣×=．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==．
在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos
B=．
所以AC=7．
22. ）
已知在锐角中，内角所对的边分别是，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积等于，求的大小．
参考答案：
解：（1）由得 (2)
分
又…………………5分（2）由已知得………………………………………8分又
∴………………………………………………………11分
解得∴、的值都是2. …………………………13分略。