精编新版2019年数学高考第一轮复习完整考试题库(含答案)

2019年高考数学第一轮复习
模拟测试题
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．（2007）5()a x x
+（x R ∈）展开式中3
x 的系数为10，则实数a 等于 （D ） （A ）-1 （B ）1
2
(C) 1 (D) 2
2．1 ．（2012福建文）已知双曲线22x a
-2
5y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于
A 14
B ．
4
C ．
32
D ．
4
3
3．函数()tan 4f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调增区间为（ ）(2006全国1理) A ．,,2
2k k k Z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
B ．()(),1,k k k Z ππ+∈
C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-
+∈ ⎪⎝
⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝⎭
4．两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A ．A 1A 2＋B 1B 2＝0 B ．A 1A 2－B 1B 2＝0C ．
12
12
1-=B B A A D ．
2
12
1A A B B =1（1998全国4）
解法一：当两直线的斜率都存在时，－
11B A ·（2
2B A
-）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==00
001
221B A B A 或，同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A ．
5．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是
（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)
6．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 （ ）
A ．任意一个有理数,它的平方是有理数
B ．任意一个无理数,它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数,它的平方是有理数
D ．存在一个无理数,它的平方不是有理数
（2012湖北文）
7．如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A
C
A 1
C 1
A. 直线
B. 圆
C. 双曲线
D. 抛物线（2004北京理）（4）
8．已知22,,1A B C x y +=是圆上不同的三个点，0OA OB ⋅=，若存在,λμ实数使得OC =OA OB λμ+，则,λμ的关系为
（ ） (A) 221λμ+= (B)1
1
1λ
μ
+
= (C)1λμ⋅= (D) 1λμ+=
9．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．
10．三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是 [ ]． A ．正三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰三角形，但不是直角三角形
D ．直角三角形，但不是等腰三角形
11．已知非空集合M 和N ，规定{}
N x M x x N M ∉∈=-但,,则=--)(N M M -------( )
(A)N M (B) N M (C)M (D)N
12．过正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的截面面积为S ，max S 和min S 分别为S 的最大值和最小值，则
max
min
S S 的值为（ ） A
．
2 B
．
2
C
．
3
D
．
3
二、填空题
13． 如图，若直线2y x m =+与圆2
2
1x y +=相交于A ，B 两个不同的点，且Ox 与向量OA 的夹角为α，向量OA 与向量OB 的夹角为β，则sin(2)αβ+= ．
14．已知平面上不共线的四点O,A,B,C 。

若32OA OB -+AB BC
=
2
15．)23
sin(2x y -=π
单调增区间为______________．
16． 有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水面下降1米后，水面宽度为 米
17．在复平面内，复数1＋i 2009
(1－i)2 对应的点位于____________。

18．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为
()f a 。

若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有
()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。

现有下列命题：
①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+
②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换；
③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；
④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =。

其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④
解析 ①：令1==μλ，则)()()(b f a f b a f +=+故①是真命题 同理，④：令0,==μλk ，则)()(a kf ka f =故④是真命题 ③：∵a a f -=)(，则有b b f -=)(
)()()()()()(b f a f b a b a b a f μλμλμλμλ+=-⋅+-⋅=+-=+是线性变换，故③是真命
题
②：由e a a f +=)(，则有e b b f +=)(
e b
f a f e e b e a e b a b a f -+=-+⋅++⋅=++=+)()()()()()(μλμλμλμλ
∵e 是单位向量，e ≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，
突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

19． 已知实数y x ,满足0
5040
x y x y y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
, 若不等式x y x x axy y ≥+-2
222恒成立，则实数a 的取值范围是____________.
20．设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______ _____. [解析] 考查复数运算、模的性质。

z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2 21．已知偶函数()f x 在(0,)π上是增函数，且2
(),(),(2)3
2
f f f π
π---的大小关系为
________（用“< ”连接）
22． 抛物线2
4y x =的焦点到准线的距离是 △ ．
23．如图，过点P (7,0)作直线l 与圆2
2
:25O x y +=交于A,B
方程为 ▲ ． （第14题）
24．设12,,
,,
n P P P 顺次为函数)0(1
>=
x x
y 顺次为x 轴上的点，且11OPQ ∆，122Q P Q ∆，
，
1n n n Q P Q -∆，，均为等腰直角三角形（其中n P 为直角顶点）．设n Q 的坐标为
(,0)n x *()n N ∈，则数列{}n x 的通
项公式为 ▲ ．
25．如下图，给出一个算法的伪代码，
Read x If Then
x 0
≤ ()x x f 4← Else
()x x f 2
← If
End ()x f int Pr 则=+-)2()3(f f ▲ .
26．函数()23
123
x x f x x =++
+的零点的个数是 ▲ . 27．设复数z 满足z ·i ＝3＋4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ ．
28．已知函数21(),0,
()21,0,x
x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩
不等式()(sin 1)f a t f t <+对任意实数t 恒成立，
则实数a 的取值范围是 (3,)+∞
29．如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P 按逆时针方向运动角α（02
π
α<<
）到达点1P ，然后继续沿单位
圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为4
5
-，则cos α的
值等于
30．复数21i
z i
+=
-的实部为 ▲ ． 31．已知双曲线x 2
－2
2
y ＝1，点A (－1，0)，在双曲线上任取两点P ，Q 满足AP ⊥AQ ，则
直线PQ 恒过点
32．已知数列{}n a 的通项公式为)
2(1+=
n n a n )(*N n ∈，则1201
是这个数列的第 ▲ 项． 33．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调
查，则月收入在)3000,2500[（元）内应抽出 ▲ 人.
三、解答题
34．．已知双曲线
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左右两焦点为21,F F ，P 为右支上一点，212F F PF ⊥，12PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,31λ．
（1）求双曲线的离心率e 的取值范围；
（2）当e 取得最大值时，过21,F F ,P 的圆截y 轴的线段长为4，求该圆方程．
（1）由212F F PF ⊥，得a
b PF 2
2=，从而a b a PF 212+=---------------2分
∵1OHF ∆∽12F PF ∆，∴
λ==1
2
1PF PF OF OH ， 即2
2
2
2b b a =+λλ，λλ
-=1222a
b ，------------------------------------5分
由λλ
λλ-+=-+=+=111211222
a
b e ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=21,31112
2e e λ， 从而解得2≤e ≤3-------------------------------------------------------8分
（2）当e =3时，得2
22a b =，
∵212F F PF ⊥，∴所求的圆是以1PF 为直径，圆心是1PF 中点， 即圆心在y 轴上， ∴1PF =4------------------------------------------------10分
又a a
a a a
b a PF 42222
21=+=+=，∴a =1----------------------------12分 （第3
题
月
收
入
（元）
0.00
0.000.000.000.00
由a =1，得2=b ，由a
b PF 2
2=，得22=PF ，从而圆心为（0,1）
所求的圆方程为4)1(2
2
=-+y x ------------------------------16分
35．设分别21,F F 是椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点；
(1）若椭圆C 上的点)2
3,1(A 到两焦点的距离之和为4，求椭圆C 的方程； (2）在（1）的条件下求21F AF ∆内切圆的方程；
(3）设MN 是过椭圆C 中心的弦，P 是椭圆上的动点，求证：直线PM ，PN 的斜率之积为定值． 3．
36．求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
37．若函数21(01,x b
y a
a a
b +=+>≠且为实数）的图像恒过定点（1，2），则b = ；
38．在数列}{n a 中，21=a ，1133++∙=-n n n n a a a a ， （1）求3a ；（2）证明：}1
{n
a 是等差数列；(3)求数列}{n a 的通项公式。

39．若直线(1)0m x y m -++=不经过第二象限，则m 的取值范围是多少？
40．已知复数.1||,sin cos ,sin cos 2121=-+=+=z z i z i z ββαα （I ）求)cos(βα-的值； （II ）若3
0,sin ,sin 2
25
π
π
βαβα-<<<<
=-且求的值。

41．如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C
A 1
2
为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等.设细绳的总长为ym. （1）①设∠CA 1O = θ (rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设CO=x m, 将y 表示成x 的函数关系式;
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定BC 的长使细绳总长y 最小.
42．已知函数3
2
()f x x bx cx =++的导函数的图象关于直线x=2对称. （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）若()f x 在x t =处取得最小值，记此极小值为()g t ，求()g t 的定义域和值域。

关键字：多项式；已知对称轴；求参数的值；求极值；求定义域；求值域
43．（本小题满分16分）
设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =， 则称}{n a 是“H 数列”.
（1）若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;
（2）设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得
n n n c b a += (∈n N *)成立.
44．如图，直角三角形ABC 中，,2AC BC AB D ⊥=，是AB 中点，M 是CD 上的动点
（1） 若M 是CD 上的中点，求MA MB ⋅的值 （2） 求()
MA MB MC +⋅的最小值
45．我们将具有下列性质的所有函数组成集合
函数
对任意
均满足
当且仅当时等号成立。

(1)若定义在上的函数
试比较
与大小；
(2)给定两个函数：
证明：
(3)试利用(2)的结论解决下列问题：若实数满足
求
的最大值。

46．函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设
m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=
（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；
（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[2
3
132
2
+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实
数，
≠ ⊂ 求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系. （2010广东中山模拟改编）
关键字：已知单调性；已知切线；求参数的值；恒成立问题
47．已知圆C 的参数方程为()为参数θθ
θ⎩⎨⎧+=+=sin 23,cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．
48．已知
，求 (1); (2)
; (3)
49．(本小题满分14分)
已知函数x y 1
=的定义域为集合A ，集合{|10,*}B x ax a N =-<∈，集合 C =}1log |{2
1>x x ，且C (A ∩B )． （1）求A ∩C ；（2）求a ．
50．已知定义在实数集R 上的偶函数)()0f x +∞⎡⎣在区间，
上是单调增函数。

（1）求证：函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调减函数；
（2）若(1)(lg ),f f x x <求的取值范围。

（本小题满分14分）。