2015-2016年山东省潍坊市高一(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年山东省潍坊市高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）计算sin240°的值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
2．（5分）若cosα＜0，tanα＞0则α是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．（5分）假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（）A．16，16，16B．8，30，10C．4，33，11D．12，27，9 4．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数都是偶数的概率是（）
A．B．C．D．
5．（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣
6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）
A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤
7．（5分）过点A（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，则当弦长最短时弦
所在的直线方程为（）
A．x+y﹣4=0B．x﹣y+2=0C．x+y+4=0D．x﹣y﹣2=0 8．（5分）已知x，y的取值如表：
根据如表可得回归方程为=0.95x+a，则a=（）
A．3.25B．2.6C．2.2D．0
9．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log3（x+2y）=2的概率为（）
A．B．C．D．
11．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）
A．3B．4C．5D．6
12．（5分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+4=0，若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA、PB与圆M相切，A、B为切点．则四边形PAMB面积的最小值为（）
A．8B．4C．12D．24
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．
14．（5分）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，发现时速（单位：km/h）都在区间[30，80]内，其频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h 的汽车数量为．
15．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．16．（5分）下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛；事件“至
少1名女生”与事件“全是男生”是对立事件；
④一扇形的周长为C，当扇形的圆心角α=2rad时，这个扇形的面积最大值是；
⑤第二象限的角都是钝角．
以上说法正确的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（Ⅰ）化简．
（Ⅱ）计算
．
18．（12分）有一容量为100的样本，数据的分组以及各组的频数如表：
（Ⅰ）列出样本的频率分布表；并画出频率分布直方图；
（Ⅱ）
根据频率分布直方图估计，该样本数据的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
19．（12分）如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据： （Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +；
（Ⅱ）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少
吨标准煤？
（参考公式：=，参考数值：2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236）
20．（12分）已知A、B、C、D四点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（sinα，cosα），D（1，1）．
（Ⅰ）若|AC|=|BC|，求的值；
（Ⅱ）若|CD|2=，求的值．
21．（12分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X表示．
（Ⅰ）如果乙组同学植树棵数的平均数=，求X的值和乙组同学植树棵数的方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
22．（12分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+4=0与圆C相切
（1）求圆C的方程
（2）过点Q（0，﹣3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）且为x1x2+y1y2=3时求：△AOB的面积．
2015-2016学年山东省潍坊市高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）计算sin240°的值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
【解答】解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣，
故选：A．
2．（5分）若cosα＜0，tanα＞0则α是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵cosα＜0，
α可能是第二、或第三象限角，或x负半轴角；
又∵tanα＞0，
∴α可能是第一、或第三象限角；
综上，α是第三象限角；
故选：C．
3．（5分）假设吉利公司生产的“远景”、“金刚”、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取（）A．16，16，16B．8，30，10C．4，33，11D．12，27，9
【解答】解：因总轿车数为9600辆，而抽取48辆进行检验，抽样比例为
=，
而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，
∵“远景”型号的轿车产量是1600辆，应抽取辆，
同样，得分别从这三种型号的轿车依次应抽取8辆、30辆、10辆．
故选：B．
4．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数都是偶数的概
率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：从1，2，3，4中任取2个不同的数，
基本事件总数n==6，
取出的2个数都是偶数包含的基本事件个数m==1，
∴取出的2个数都是偶数的概率是：
p==．
故选：D．
5．（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，
tanα==﹣．
故选：D．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）
A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤
【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，
因此S=++=（此时k=6），
因此可填：S≤．
故选：C．
7．（5分）过点A（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，则当弦长最短时弦所在的直线方程为（）
A．x+y﹣4=0B．x﹣y+2=0C．x+y+4=0D．x﹣y﹣2=0【解答】解：由圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，
即圆的圆心坐标为（2，2），
则过A点的直径所在直线的斜率为﹣1，
由于过A点的最短弦所在直线与过A点的直径垂直
∴过A点的最短弦所在直线的斜率为1，
∴过A点的最短弦所在直线的方程y﹣1=1（x﹣3），即x﹣y﹣2=0．
故选：D．
8．（5分）已知x，y的取值如表：
根据如表可得回归方程为=0.95x+a，则a=（）
A．3.25B．2.6C．2.2D．0
【解答】解：=，=4.5．
∴4.5=0.95×2+a，解得a=2.6．
故选：B．
9．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2﹣4≥0，
解得，p≥2或p≤﹣2；
∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，
∴P（A）==．
故选：C．
10．（5分）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log3（x+2y）=2的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，
共有6×6=36种情形，由log3（x+2y）=2可得x+2y=9，
其中满足x+2y=9为（1，4），（3，3），（5，2）共3中情形，
故所求概率P==
故选：D．
11．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，
所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；
故选：B．
12．（5分）已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+4=0，若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA、PB与圆M相切，A、B为切点．则四边形PAMB面积的最小值为（）
A．8B．4C．12D．24
【解答】解：由题意知：圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+4=0，圆心坐标为M（2，4），半径为4．
S PAMB=2S△PAM=2×=4．
∵PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离，
∴PM min==6，
∴（S PAMB）min=4=8，
即四边形PAMB的面积的最小值为8．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．
【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出
S=﹣12+22﹣32+42的值
∵S=﹣12+22﹣32+42=10
故答案为：10
14．（5分）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，发现时速（单位：km/h）都在区间[30，80]内，其频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h 的汽车数量为38．
【解答】解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，
∵共有100辆车，
∴时速超过60km/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）
故答案为：38．
15．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．
【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，
作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，
故答案为：c＞b＞a．
16．（5分）下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛；事件“至
少1名女生”与事件“全是男生”是对立事件；
④一扇形的周长为C，当扇形的圆心角α=2rad时，这个扇形的面积最大值是；
⑤第二象限的角都是钝角．
以上说法正确的序号是①③④（填上所有正确命题的序号）．
【解答】解：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据稳定性不变，则方差恒不变；故①正确，
②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位；
故②错误
③某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛；事件“至
少1名女生”与事件“全是男生”是对立事件；正确，故③正确，
④一扇形的周长为C，设半径为R，则弧长l=αR，则2R+αR=C，则α=，
则扇形的面积S==αR2=•R2=（C﹣2R）R=﹣R2+CR=﹣（R﹣C）2+；
∴当R=C，即C=4R=2R+αR，即α=22rad时，这个扇形的面积最大值是，故
④正确；
⑤当α=360°+100°=460°是第二象限的角，但α不是钝角．故⑤错误，
故答案为：①③④
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（10分）（Ⅰ）化简．
（Ⅱ）计算．
【解答】本大题共2个小题，每小题5分，共10分
解：（1）原式=…（2分）
=…（3分）
=tanαtanα
=tan2α．…（5分）
（2）
18．（12分）有一容量为100的样本，数据的分组以及各组的频数如表：
（Ⅰ）列出样本的频率分布表；并画出频率分布直方图；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计，该样本数据的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．
【解答】解：（Ⅰ）频率分布表为：
频率分布直方图如图所示：
（Ⅱ）由题意知，
该组数据的平均数的估计值分别为124.5．
19．（12分）如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程= x+；
（Ⅱ）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？
（参考公式：=，参考数值：2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236）
【解答】解：（I）==6，==7，
=2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236，
=4+16+36+64+100=220，
∴==0.65，=7﹣0.65×6=3.1．
∴线性回归方程为=0.65x+3.1．
（II）当x=20时，=0.65×20+3.1=16.1．
答：预测生产20吨甲产品的生产能耗16.1吨标准煤．
20．（12分）已知A、B、C、D四点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（sinα，cosα），D（1，1）．
（Ⅰ）若|AC|=|BC|，求的值；
（Ⅱ）若|CD|2=，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，∵|AC|=|BC|，
∴|AC|2=|BC|2，即（sinα﹣3）2+cos2α=sin2α+（cosα﹣3）2…（2分）
化简得sinα=cosα，
∴tanα=1，…（4分）
∵tanα=1，
∴
（Ⅱ）由|CD|2=，得：（sinα﹣1）2+（cosα﹣1）2=，
化简得：sinα+cosα=，…（8分）
于是：sinαcosα=[（sinα+co sα）2﹣1]=﹣．…（10分）
21．（12分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X表示．
（Ⅰ）如果乙组同学植树棵数的平均数=，求X的值和乙组同学植树棵数的方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：x，8，9，10，…（1分）
因为平均数为；所以x=8．…（3分）
此时乙的方差为．…（6分）
（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；…（7分）
乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，…（8分）
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，
它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），…（10分）
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，
它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），…（11分）
故所求概率为．…（12分）
22．（12分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+4=0与圆C相切
（1）求圆C的方程
（2）过点Q（0，﹣3）的直线l与圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）
且为x1x2+y1y2=3时求：△AOB的面积．
【解答】解：（I）设圆心为C（a，0），（a＞0），则圆C的方程为（x﹣a）2+y2=4．因为圆C与3x﹣4y+4=0相切，所以，解得：（舍），
所以圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4．
（II）依题意：设直线l的方程为：y=kx﹣3，由得（1+k2）x2﹣（4+6k）
x+9=0，
∵l与圆C相交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴△=（4+6k）2﹣4（1+k2）×9＞0，且，，
∴，
又∵x1x2+y1y2=3，∴+﹣+9=3，
整理得：k2+4k﹣5=0解得k=1或k=﹣5（舍）．
∴直线l的方程为：y=x﹣3．
圆心C到l的距离，在△ABC中，∵|AB|=2=2=，
原点O到直线l的距离，即△AOB底边AB边上的高，
∴．。