2020年北京丰台区高三二模数学(理)试题.doc

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丰台区2024届高三二模数学试题及答案

丰台区2023-2024学年度第二学期综合练习（二）高三数学 2024.4本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,3B =，则()()U U C A C B =A.{}3B.{}1,2C.{}4,5D.{}1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点为(1,1)Z −，则z 的共轭复数z = A.1i + B.1i − C.1i −+ D.1i −−3. 已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，都有p q p q a a a +=，若1a =4a =A.2B.C.4D.4. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A.1()||f x x =B.(22x x f x −=+C.()sin f x x =D.()tan f x x =5. 若,a b ∈R ，且a b >，则 A.221111a b <++ B.22a b ab > C.22a ab b >>D.2a ba b +>>6. 已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是 A.//αβ，m α⊥，n β⊥ B.//αβ，m α⊂，n β⊥ C.αβ⊥，m α⊥，//n βD.αβ⊥，m α⊂，//n β7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+ππ(0,)22ωϕ>−<<的导函数是()f x '，如果函数()()y f x f x '=−的图象如右图所示，那么,ωϕ的值分别为A.1,0B.π1,4−C.π1,4D.π2,4−8. 已知曲线2:||1C y x =+与直线:l y kx b =+，那么下列结论正确的是 A.当1k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 B.当1k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点 C.当2k =时，对于任意的b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有两个公共点 D.当2k =时，存在b ∈R ，曲线C 与直线l 恰有三个公共点9. 已知等差数列{}n α的公差为d ，首项1π(0,)2α∈，那么“πd =”是“集合{}*sin ,n S x x n α==∈N 恰有两个元素”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”. 利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直. 图2是一个射灯投影的直观图，圆锥PO 的轴截面APB 是等边三角形，椭圆1O 所在平面为α，PB α⊥，则椭圆1O 的离心率为图1 图2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020北京丰台高三二模数学含答案

Tn = (a1 − b1) + (a2 − b2 ) + + (an − bn )
= (a1 + a2 + + an ) − (b1 + b2 + + bn )
= n(a1 + an ) − b1(1− qn )
2
1− q
= n(n + 3) + 26−n − 64 . 2
若选择条件③ q
（A）3
（B） 6
（C） 7
（D） 8
5．设 a，b 为非零向量,则“ a ⊥ b ”是“ a +b = a − b ”的
（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件
6．已知抛物线 M : x2= 2 py( p 0) 的焦点与双曲线 N : y2 − x2 = 1 的一个焦点重合，则 p = 3
集合 A, B 互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合 A = a a = 2m +1, m N , B = b b = 2n, n N .判断 2019 和 2020 是否属于集合 A + B ，并说
明理由；
（Ⅱ）设集合 A = x x = 0 +2 22 +4 24 + +2i 22i + +2s 22s,2i = 0,1;i = 0,1, , s, s N ,
（A） 2
（B）2
（C） 2 2
（D）4
7．已知函数 f (x) = ln(1− x) − ln(1+ x) ，则 f (x)
（A）是奇函数，且在定义域上是增函数
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2020丰台区高三二模试题

2020-2021学年北京市高考数学二模试卷（理）及答案解析

2020-2021学年北京市⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析北京市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= ．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（⽤数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= ．②记Sn三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂⾜为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的⽅程及离⼼率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表⽰x1，x2，x3，…，x n中的最⼤值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最⼩值；（Ⅲ）?k∈N*，求d n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分⼦分母同时乘以1+i，直接利⽤复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的⼏何量，然后求解双曲线的渐近线⽅程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线⽅程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可⾏域如图，联⽴，解得A（），化⽬标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最⼤，z有最⼩值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成⽴，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不成⽴，若α⊥β，b?β，b⊥α不⼀定成⽴．故选：A．5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的⽐例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△=ADO=，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△==，解得DE==2．ADO∵DE⊥BC，∴BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC?BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满⾜条件，退出循环，从⽽可得判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运⾏过程，得S=0，i=1满⾜条件，执⾏循环体，S=2，i=2满⾜条件，执⾏循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满⾜条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利⽤函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成⽴；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∴满⾜不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在⼏何中的应⽤．【分析】根据题意找出使得λ+µ最⼤的顶点C，根据向量加法的平⾏四边形法则可作出平⾏四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的⼏何意义便可得出，这样由平⾯向量基本定理即可求出λ+µ的最⼤值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平⾏四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+µ最⼤；作平⾏四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；⼜；∴；即λ+µ的最⼤值为．故选C．⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等⽐数列的通项公式；等⽐数列的前n项和．【分析】根据等⽐数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】求出极坐标⽅程的普通⽅程，利⽤点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通⽅程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利⽤正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体为三棱锥．AC⊥侧⾯PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为三棱锥，AC⊥侧⾯PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（⽤数字作答）【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= 1512 ．②记Sn【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：②a1当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满⾜条件．∴a=．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），②a1∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三⾓函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利⽤周期公式可求ω，⼜函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，⼜结合范围﹣＜x0＜，从⽽可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利⽤正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本⼩题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，⼜∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，⼜|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，⼜∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利⽤均值与⽅差的定义分别求出甲、⼄两校新⽣的数学成绩的均值与⽅差，从⽽得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差⼩于⼄校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差．（2）设事件D=“从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++?=，因此，从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平⾯所成的⾓；直线与平⾯平⾏的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平⾯BC1D，由线⾯平⾏的性质得出AB1∥EF；。

北京市丰台区2020年高三统一练习(二)(数学理)word精校版doc高中数学

北京市丰台区2020年高三统一练习（二）（数学理）word 精校版doc 高中数学数学试题〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分。

考试时刻120分钟。

考试终止，将本试卷和答题卡上并交回。

第一卷〔选择题共40分〕本卷须知：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。

在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合B A x x B x g y x A ⋃<+==则},1|{)},1(1|{等于〔〕A ．RB ．}11|{<<-x xC ．-3D ．}11|{>-<x x x 或2．i ii a 3313=-+，其中i 是虚数单位，那么实数a 等于〔〕A ．3B ．3C ．-3D ．-33．圆x y F ，y x C 4)(cos 2,sin 23:2-=⎩⎨⎧=+-=为抛物线点为参数θθθ的焦点，那么|CF|等于〔〕A ．6B ．4C ．2D ．0 4．函数|cos sin |21)cos (sin 21)(x x x x x f -++=的值域是〔〕A ．[-1，1]B ．]1,22[-C ．]21,21[-D ．]22,1[- 5．如图，在体积为V 1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分不为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V ，有如下四个命题； ①BD 1=AB 3②BD 1与底面ABCD 所成角是45°；③π231=V V ； ④MN//平面D 1BC 。

其中正确命题的个数为〔〕A ．4B ．3C ．2D ．16．某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，那么他们不同的值日安排有〔〕 A ．288种 B ．72种 C ．42种 D ．36种7．设函数f 〔x 〕是以2为周期的奇函数，在则)(,2)(),1,0(x f x f x x=∈〔1，2〕上是〔〕 A ．增函数且0)(>x f B ．减函数且0)(<x fC ．增函数且0)(<x fD ．减函数且0)(>x f8．数列{a n }满足*∈+=+++N n nn a a a n n ,22)911()911(9112221 。

2020年北京市高三年级第二次模拟考试及答案(理科数学)

北京市高三年级第二次模拟考试及答案数学（理科）2017．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．23B ．31C ．32D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为AB． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞ D ．(0,1)(1,4)8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是，离心率是．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ，存在,i ja a B ()i j ≠，使得12i j xa a λλ（12,{1,0,1}λλ），则称B 为A 的一个基集．若俯视图{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．图1图2BA 1F C ED QG ACDEFGa（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF ∠=．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b R ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===． …………7分（Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos 3B =，所以sin 3B =．所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14．由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~1(3)4B ，，所以344EX =⨯=．…………………………………13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形．又因为点F 为线段CD 的中点，所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥，所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ．又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,3)A D =--,(1,0,0)DE =，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=nB A 1F C E D Q G假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=. 所以0FQ ⋅=+=n . 解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ 平面1A DE ．且1AQ =……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24A Q =．所以33(,,244Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,,)44GQ =．因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分（Ⅱ）因为()e 21x f x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)，由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立．不满足条件；（2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+；由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分（Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等，（1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. …………8分（Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++，则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S nn n n n n .又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m Sn S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有nS n S nn =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则n SS n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数，所以=++22n S n =+1n a 11+=+n Sn S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数.从而==-+=-=++nSS n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。

2020年北京市丰台区高三数学二模试卷及参考答案

2020年北京市丰台区高三二模试卷数学 2020.06第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82．函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3．下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x =（B ）1sin2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85．设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47．已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数（B ）是奇函数，且在定义域上是减函数（C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数（D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23 （B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名（C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名（D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 ┈ 地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子 ┈干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年┈ 纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从Ⅰ2q =；Ⅰ12q =；Ⅰ1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L {}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020北京丰台高三二模数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分（Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X 的分布列为：()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()exxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ……5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()eeex xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)eexxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a-，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意.当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数，所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,.所以11(01)1y PS x -=--u u r,,22(01)1y PT x -=--u u u r,,(01)PO =-u u u r,.由,,PO PT PO PS μλ==可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121k x x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)1 21k k k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数，当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能，所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L121121+2+2++2+2++2i i k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题(wd无答案)

北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）(二模)数学试题一、单选题(★) 1. 集合的子集个数为（）A．4B．6C．7D．8(★★) 2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★★) 3. 下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知数列的前 n项和，则（）A．3B．6C．7D．8(★★) 5. 设，为非零向量，则“ ”是“ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 6. 已知抛物线 M：的焦点与双曲线 N：的一个焦点重合，则（）A．B．2C．D．4(★★) 7. 已知函数，则（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间上是增函数D．是偶函数，且在区间上是减函数(★★★) 8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 在中，，，，则边上的高等于（）A．B．C．D．(★★★) 10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a， b， c（，且a， b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛的第一名得分a为4B．甲至少有一场比赛获得第二名C．乙在四场比赛中没有获得过第二名D．丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题(★★) 11. 已知复数，则______.(★★) 12. 已知直线的倾斜角为，则______.(★★) 13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______. (★★★★) 14. 已知集合.由集合 P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：①“水滴”图形与 y轴相交，最高点记为 A，则点 A的坐标为；②在集合 P中任取一点 M，则 M到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与 y轴相交，最高点和最低点分别记为 C， D，则；④白色“水滴”图形的面积是.其中正确的有______.三、双空题(★★) 15. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.四、解答题(★★★) 16. 如图，四边形为正方形，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 已知等差数列的前 n项和为，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，且公比为 q，从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前 n项和.(★★★) 18. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记 X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求 X的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.(★★★★) 19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数 a的取值范围.(★★★★) 20. 已知椭圆 C：（）经过，两点. O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为 k（）的直线 l与椭圆 C有两个不同的交点M， N，且直线，分别与 y轴交于点 S， T.（Ⅰ）求椭圆 C的方程；（Ⅱ）求直线 l的斜率 k的取值范围；（Ⅲ）设，，求的取值范围.(★★★★★) 21. 已知无穷集合 A， B，且，，记，定义：满足时，则称集合 A， B互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；（Ⅱ）设集合，.（ⅰ）求证：集合 A， B互为“完美加法补集”；（ⅱ）记和分别表示集合 A， B中不大于 n（）的元素个数，写出满足的元素 n的集合.（只需写出结果，不需要证明）。

北京丰台区高三二模数学(理)试题及答案

北京丰台区高三二模数学（理）试题及答案丰台区高三统一练习（二）数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）?1．已知向量a?（1，k），b?（2，1），若a与b的夹角为90，则实数k的值为11A．2 B．2? C．?2 D．22．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（）A．相切 B ．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离3．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（-1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（）A．（2,3?5?11??2,?2,2,?4） B．4） C．4） D．4）（（（4．设p、q 是简单命题，则\p?q\为假是\p?q\为假的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示甲 7 7 8 6 2 茎 8 9 乙 6 8 3 6 7 设s1,s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x1,x2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A． x1?x2，s1?s2 B． x1?x2， s1?s2 C． x1?x2， s1?s2 D． x1?x2，s1?s2f(x)?1，则实数x的取值范围是（）6．已知函数f(x)?log2x，若111(??,](0,]?[2,??)(??,]?[2,??)2 B． [2,??) C． 22A． D．7．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x),g(x)分别是f(x)、g(x)的导函数，且''f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则当a?x?b时，有（）A． f(x)g(x)>f(b)g(b) B． f(x)g(a)>f(a)g(x)C． f(x)g(b)>f(b)g(x) D． f(x)g(x)>f(a)g(a)8．如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC??2，AB?AC?AA1?2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点。

北京市丰台区2020届高三第二学期统一考试(一)(理综)doc高中数学(1)

北京市丰台区2020届高三第二学期统一考试（一）（理综）doc高中数学⑴2018年高三年级第二学期统一练习〔一〕理科综合能力测试2018.4 本试卷分第I卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值300分，考试用时150分钟。

本卷须知：1 •答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清晰，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的”条形码粘贴区"贴好条形码。

2 •本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除洁净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清晰。

作图题用2B铅笔作图，要求线条、图形清晰。

3 •请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。

4 •请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破旧。

可能用到的相对原子质量：H— 1 C—12 O—16 C—35.5 Na—23 Fe—56 Al—27第一卷〔选择题共120分〕1 .假设人的成熟神经细胞核中DNA含量为a,以下各项核DNA含量分不为2a、a、0、5a的是〔〕A. 初级精母细胞、次级精母细胞、精子B. 精原细胞减数分裂间期、精细胞、极体C. 精原细胞有丝分裂后期、口腔上皮细胞、成熟红细胞D. 正在发生调亡的细胞、癌细胞、卵细胞2 •玉米种子在黑背地萌发，测定胚芽鞘与幼根中各部分生长素含量如图然后在其左侧放置含有不同浓度生长素的琼脂块，保持在黑背地度如图B所示。

以下有关讲法正确的选项是A. 图A和图C的结果都讲明生长素的作用具有两重性B •调剂根尖伸长区细胞伸长的生长的生长素来源于胚芽鞘尖端A所示。

切除玉米胚芽鞘的顶端, 12h。

胚芽鞘可能向右弯曲，弯曲角〔〕图匚C.图B 所示的实验在黑暗条件下进行是为了排除光照对实验结果的阻碍 D •上述实验讲明种了萌发受到生长素、细胞分裂素、赤霉素等共同作用F 面为人体的生命活动调剂示意图，有关斜述中不正确的选项是A •饮水过少时，激素 D 作用的靶器官要紧是肾小管和集合管 B. 血糖平稳调剂过程中的 A T S E 属于体液调剂C. 人的手被针扎时，其调剂过程通过 A T B T E 来实现的，属于神经调剂D.体温调剂过程中的内分泌腺 C 包括下丘脑、胸腺、肾上腺和甲状腺4 •以下实验设计设计思路和研究过程最相近的一组是〔〕① 卡尔文追踪检测14CO 2在小球藻光合作用中转化成有机物的途径，发觉卡尔文循环② 沃林和克里克依照 DNA 衍谢图谱、通过运算和模型建构，发觉了 DNA 双螺旋结构 ③ 林德曼对赛达价目格湖的能量流淌进行定量分析，发觉能量传递效率约为 10~20%④ 鲁宾和卡门利用18O 分不标记H 2O 和CC 2,发觉只有供给H 218的小球藻开释18O 2，证实光合作用中有氧气来自于水⑤ 赫尔希和蔡斯用32P 和35S 分不标记的T 2噬菌体，分不侵染在肠杆菌，搅拌离心后检测放谢性的分布，发觉DNA 是遗传物质⑥ 斯他林和贝利斯将狗的小肠黏膜与稀盐酸混合磨碎，制成提取液，注入狗的静脉中，发觉了胰液分泌的激素调剂 A.①和⑤B .②和③C.④和⑤ D .④和⑥5 .为了研究某降水丰沛、气温较高的山区群落演替规律，生态学家利用把同一时刻内的不同群落当作同一群落不同演替时期的原理，研究了灌草丛、针阔叶混交林、常绿阔叶林和针叶林等 4个群落的相关〔叶面积指数是指每单位上地面积上的叶片总面积〕以下有关讲法正确的选项是〔〕A. 该地区群落演替过程中，其叶面积指数逐步减小B. 该地区群落演替过程中，前期的干物质量增长迅速，后期增长缓慢C. 四个群落中灌草丛和常绿阔叶林有垂直结构，其余两个群落那么没有T 效应器或靶器官ET 激素DD .植被于物质的量只与群落中植被的光合作用、呼吸作用有关 6 •以下讲法不正确的选项是.〔〕A. 倡导低碳环保理念，可推广使用环保石头纸〔要紧成分是碳酸钙〕B. 在鸡蛋清溶液中滴加饱和 N &SQ 溶液或CuSQ 溶液，都可使蛋白质盐析C.生吃新奇蔬菜比熟吃蔬菜更有利于猎取维生素 CD. 网状结构的聚丙烯酸钠是一种高分子树脂，其吸水性高于相同质量的医用脱脂棉7 .以下讲法或表达正确的选项是〔〕① 次氯酸的电子式为 H: CI : Q ':② 含有离子键的化合物差不多上离子化合物 ③ 强电解质溶液的导电能力一定比弱电解质溶液强④ 丁达尔效应可用于区不溶液和胶体，运、雾均能产生丁达尔效应 ⑤ 将金属a 与外加直流电源的正极相连，将负极接到废铁上，可防止金属a 被腐蚀A. ①③⑤ B .②④ C.①②③ D .④⑤〕序号实验内容实验目的A向盛有10滴0.1mol/LAgNO 3溶液的试管中滴加0.1mol/LNaCI 溶液，至不再有沉淀生成，再向其中滴加0.1moI/LNa 2S 溶液证明AgCI 能转化为溶解度更小的Ag 2SB 向2mL 甲苯中加入3滴KMnO 4酸性溶液，振荡；向2 mL 苯中加入3滴KMnO 4酸性溶液，振荡证明与苯环相连的甲基易被氧化C 向Na 2SiO 3溶液中通入CO 2证明碳酸的酸性比硅酸强 D向淀粉溶液中加入稀硫酸，水浴加热，一段时刻后，再加入新制的氢氧化铜并加热验证淀粉已水解10 . X 、Y 、Z 、W 、E 为原子序数相邻且依次递增的同一短周期元素〔稀有气体除外〕，以下讲法正确的选项是〔〕A. 假设Y 为非金属，那么 X 一定为金属B. 乙的氧化物常温下可能为液态C. X 、E 的简单离子的半径大小为 X>ED. 假设E 的最高价氧化物对应的水化物的化学式为H m EO m ，那么其气态氢化物的化学式为 H E- 2n+m E或EH E — 2n+m （m 、n 均为正整数）11 . X 、Y 、Z 是三种气态物质，在一定温度下其变化符合以下图。

北京市丰台区2020届高三数学一模试题(word版含答案)

北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，2．已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3．若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4．圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25．已知132a =，123b =，31log 2c =，则（A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是（A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是．（填上你认为正确的一组序号）14．如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15．已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ；（Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分）已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分（Ⅱ）由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分（Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖，因为AC ⊥平面BCM ，所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =，所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,，设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分（Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+，所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增；所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =，则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分。

2020届丰台区高三第二学期综合练习数学试题

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N：ax22
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 经过
A,C
两点，且点 B 是椭圆 N
的一个焦点，则 a
=
.
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题共 14 分）
在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .已知 c9.（本小题共 15 分）已知函数 f (x) = (x + a) ln x − x +1 .
（Ⅰ）若曲线 y = f (x) 在点 (e,f (e)) 处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；（Ⅱ）当 a = 0 时，求证： f (x) 0 ；（Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 (1,+) 上存在极值点，求实数 a 的取值范围.
．
12. 若 x 1，则函数 f (x) = x + 1 的最小值为
，此时 x =
．
x −1
13. 已知平面和三条不同的直线 m，n，l .给出下列六个论断：① m ⊥ ；② m‖ ；③ m‖ l ；
④ n ⊥ ； ⑤ n‖ ； ⑥ n‖ l . 以其中两个论断作为条件，使得 m‖ n 成立 . 这两个论断可以
（i）若数列 B 中存在相邻两项为 1，求证：数列 B 中的每一项均为 1；（ⅱ）求数列 C 所有项的和.
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（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区高三数学一模考试试题第5 页/ 共5页
（Ⅰ）当 b = 2 时，求 a ；

北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题 Word版含答案

丰台区2020年高三年级第二学期综合练习（二）数学 2020.06第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82．函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3．下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x = （B ）1sin 2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85．设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47．已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数（B ）是奇函数，且在定义域上是减函数（C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数（D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23（B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名（C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名（D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙┈地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子┈干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年┈2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i si s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L{}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2020年高三年级第二学期综合练习（二）数学参考答案及评分参考2020．06 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分（Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X1824()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()e xxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ………5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g x f x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e x x h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)e e xxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a -，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意. 当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数，所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k 的取值范围是)2+∞,． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1yPT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r ,. 由,,PO PT PO PS μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数，当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+.………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能，所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L1210121+2+2++2+2++2i i k i i k εεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'=假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L 10011110011111100111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j j j j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为 1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

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甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
天甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 ┈
干地子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
┈ 支干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 已知复数 z = 2 − i ，则 z =
．
12. 已知直线 x + y +1 = 0 的倾斜角为，则 cos =
．
13.
双曲线 M
x2 : a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
.
14．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：
9. 在△ ABC 中， AC = 3 ， BC = 7 ， AB = 2 ，则 AB 边上的高等于
（A） 2 3
（B） 3 3 2
（C） 26 2
（D） 3 2
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四
场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a,b, c(a b c, 且 a,b, c N) ；选手总分为各
北京市丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二）
数学 2020.06
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．集合 A = x Z − 2 x 214 分）

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北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）(二模)数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（）A．4B．6C．7D．82．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2]C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）3．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣n，则a2+a3＝（）A．3B．6C．7D．85．（4分）设，为非零向量，则“⊥”是“|+|＝|﹣|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）已知抛物线M：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线N：﹣x2＝1的一个焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．47．（4分）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间（0，1）上是增函数D．是偶函数，且在区间（0，1）上是减函数8．（4分）如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．9．（4分）在△ABC中，AC＝3，，AB＝2，则AB边上的高等于（）A．B．C．D．10．（4分）某中学举行了科学知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛的第一名得分a为4B．甲至少有一场比赛获得第二名C．乙在四场比赛中没有获得过第二名D．丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z＝2﹣i，则|z|＝．12．（5分）已知直线x+y+1＝0的倾斜角为α，则cosα＝．13．（5分）双曲线M：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为．14．（5分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是年；使用干支纪年法可以得到种不同的干支纪年．15．（5分）已知集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为（0，1）；②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；④白色“水滴”图形的面积是．其中正确的有．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）如图，四边形ABCD为正方形，MA∥PB，MA⊥BC，AB⊥PB，MA＝1，AB＝PB＝2．（Ⅰ）求证：PB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．17．（14分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S5＝20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足a4+b4＝9，且公比为q，从①q＝2；②；③q＝﹣1这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{a n﹣b n}的前n项和T n．18．（14分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查．求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”．在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1．在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”．能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．19．（15分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：当x∈（0，+∞）时，；（Ⅲ）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在曲线y＝ax2+1的上方，求实数a的取值范围．20．（14分）已知椭圆经过A（1，0），B（0，b）两点．O为坐标原点，且△AOB的面积为．过点P（0，1）且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；（Ⅲ）设，求λ+μ的取值范围．21．（14分）已知无穷集合A，B，且A⊆N，B⊆N，记A+B＝{a+b|a∈A，b∈B}，定义：满足N*⊆（A+B）时，则称集合A，B互为“完美加法补集”．（Ⅰ）已知集合A＝{a|a＝2m+1，m∈N}，B＝{b|b＝2n，n∈N}．判断2019和2020是否属于集合A+B，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{x|x＝ε0+ε2×22+ε4×24+…+ε2i×22i+…+ε2s×22s，ε2i＝0，1；i＝0，1，…，s，s∈N}，B＝{x|x＝ε1×21+ε3×23+…+ε2i﹣1×22i﹣1+…+ε2s﹣1×22s﹣1，ε2i﹣1＝0，1；i＝1，…，s，s ∈N*}．（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；（ⅱ）记A（n）和B（n）分别表示集合A，B中不大于n（n∈N*）的元素个数，写出满足A（n）B（n）＝n+1的元素n的集合．（只需写出结果，不需要证明）北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）(二模)数学参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数．【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，∴集合A的子集个数为23＝8个，故选：D．2．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由x2﹣2x＞0，得x＜0或x＞2．∴函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：C．3．【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论．【解答】解：∵函数y＝sin x的最小正周期为2π，故排除A；∵函数y＝sin x的最小正周期为＝4π，故排除B；∵函数y＝cos（x+）的最小正周期为2π，故排除C；∵函数y＝tan x的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D．4．【分析】S n＝n2﹣n，可得n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1．即可得出结论．【解答】解：∵S n＝n2﹣n，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2．则a2+a3＝2×2﹣2+2×3﹣2＝6．故选：B．5．【分析】，为非零向量，“|+|＝|﹣|”展开，进而判断出结论．【解答】解：，为非零向量，“|+|＝|﹣|”展开为：+2•+＝﹣2•+⇔•＝0⇔⊥．∴“⊥”是“|+|＝|﹣|”的充要条件．故选：C．6．【分析】求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到结论．【解答】解：抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点坐标为（0，），∵双曲线的方程为﹣x2＝1，∴a2＝3，b2＝1，则c2＝a2+b2＝4，即c＝2，∵抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线﹣x2＝1的一个焦点重合，∴＝c＝2，即p＝4，故选：D．7．【分析】根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得f（x）为（﹣1，1）上的减函数；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则有，解可得﹣1＜x＜1，即f（x）的定义域为（﹣1，1）；设任意x∈（﹣1，1），f（﹣x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；f（x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）＝ln，其导数f′（x）＝，在区间（﹣1，1）上，f′（x）＜0，则f（x）为（﹣1，1）上的减函数；故选：B．8．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD．如图所示：所以：BC＝，由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，所以，所以＝．故选：A．9．【分析】由已知及余弦定理可求cos A的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，设AB边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵AC＝3，，AB＝2，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，可得sin A＝＝，∴设AB边上的高为h，则AB•h＝AB•AC•sin A，∴×2×h＝，解得：h＝．故选：B．10．【分析】根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．【解答】解：∵甲最后得分为16分，∴a＞4，接下来以乙为主要研究对象，①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，则3b＝8﹣a＜4，而b∈N*，则b＝1，又c∈N*，a＞b＞c，此时不合题意；②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则a+2b+c＝8，则2b+c＝8﹣a ＜4，由a＞b＞c，且a，b，c∈N*可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a ＜4，由a＞b＞c，且a，b，c∈N*可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，此时符合题意．综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．故选：C．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可．【解答】解：∵复数z＝2﹣i，∴|z|＝＝．故答案为：．12．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解cosα的值．【解答】解：直线x+y+1＝0的斜率k＝﹣1，∴直线x+y+1＝0的倾斜角α＝．∴cosα＝﹣．故答案为：﹣．13．【分析】运用离心率公式和a，b，c的关系，可得b＝＝a，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意可得e＝＝，即c＝a，b＝＝a，可得双曲线的渐近线方程y＝±x，即为y＝±x．故答案为：y＝±x．14．【分析】根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案．【解答】解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；故答案为：己卯，60．15．【分析】①方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4中，令x＝0求得y的取值范围，得出最高点的坐标；②利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；③求出知最高点C与最低点D的距离|CD|；④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．【解答】解：对于①，方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4中，令x＝0，得cos2θ+y2﹣2y sinθ+sin2θ＝4，所以2sinθ＝y﹣，其中θ∈[0，π]，所以sinθ∈[0，1]，所以y﹣∈[0，2]，解得y∈[﹣，﹣1]∪[，3]；所以点A（0，），点B（0，﹣1），点C（0，3），点D（0，﹣），所以①错误；对于②，由（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，设，则点M到原点的距离为d＝＝＝，当α＝θ时，cos（α﹣θ）＝1，d取得最大值为3，所以②正确；对于③，由①知最高点为C（0，3），最低点为D（0，﹣），所以，③正确；对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积是S＝S半圆+2S弓形+S△＝×π×12+2×（﹣）+×2×＝，所以④正确；综上知，正确的命题序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【分析】（Ⅰ）推导出PB⊥BC，AB⊥PB，由此能证明PB⊥平面ABCD．（Ⅱ）推导出PB⊥AB，PB⊥AD．AB⊥BC．建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为MA⊥BC，MA∥PB，所以PB⊥BC，因为AB⊥PB，AB∩BC＝B，所以PB⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：因为PB⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥AD．因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥BC．如图建立空间直角坐标系B﹣xyz，则P（0，0，2），M（2，0，1），C（0，2，0），D（2，2，0），，，．设平面PDM的法向量为＝（x，y，z），则，即令z＝2，则x＝1，y＝﹣1．于是u＝（1，1，2）．平面PDM的法向量为＝（1，1，2）．设直线PC与平面PDM所成的角为θ，所以sinθ＝＝．所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．17．【分析】（Ⅰ）先由题设条件求出等差数列{a n}的基本量：首项与公差，再求其通项公式；（Ⅱ）先选择公比q的值，再结合其它题设条件计算出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，又因为，且a1＝2，所以S5＝10+10d＝20，故d＝1，所以a n＝n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a4＝5，又a4+b4＝9，所以b4＝4．若选择条件①q＝2，可得，T n＝（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+…+（a n﹣b n）＝（a1+a2+…+a n）﹣（b1+b2+…+b n）＝＝；若选择条件②，可得，T n＝（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+…+（a n﹣b n）＝（a1+a2+…+a n）﹣（b1+b2+…+b n）＝＝；若选择条件③q＝﹣1，可得，T n＝（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+…+（a n﹣b n）＝（a1+a2+…+a n）﹣（b1+b2+…+b n）＝＝．18．【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为．参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．利用超几何分布列计算公式即可得出．（Ⅲ）答案不唯一．示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．【解答】解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为．参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，所以．………（4分）（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．，，．X的分布列为：．………（11分）（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．………（14分）19．【分析】（Ⅰ）求导，列出随x的变化，f'（x）和f（x）的情况表，进而求得极值；（Ⅱ）令，求导，由＞0得e x﹣1＞0，则g'（x）＞0，进而得出函数g（x）的单调性，由此得证；（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知符合题意，再令，分及a≥0均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为，定义域R，所以．令f'（x）＝0，解得x＝0．随x的变化，f'（x）和f（x）的情况如下：由表可知函数f（x）在x＝0时取得极大值f（0）＝1，无极小值；（Ⅱ）证明：令，．由x＞0得e x﹣1＞0，于是g'（x）＞0，故函数g（x）是[0，+∞）上的增函数．所以当x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）＝0，即；（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意．令，．当时，若，h'（x）＜0，则h（x）在上是减函数．所以时，h（x）＜h（0）＝0，不合题意．当a≥0时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，+∞）上是减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，不合题意．综上所述，实数a的取值范围．20．【分析】（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得a＝1．由△AOB的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立直线l与椭圆C的方程的关于x的一元二次方程．△＞0，进而解得k的取值范围．（Ⅲ）因为A（1，0），P（0，1），M（x1，y1），N（x2，y2），写出直线AM的方程，令x ＝0，解得．点S的坐标为．同理可得：点T的坐标为．用坐标表示，，，代入，得．同理．由（Ⅱ）得，代入λ+μ，化简再求取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过点A（1，0），所以a2＝1解得a＝1．由△AOB的面积为可知，，解得，所以椭圆C的方程为x2+2y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，消y整理可得：（2k2+1）x2+4kx+1＝0．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以△＝16k2﹣4（2k2+1）＞0，解得．因为k＞0，所以k的取值范围是．（Ⅲ）因为A（1，0），P（0，1）M（x1，y1），N（x2，y2），所以直线AM的方程是：．令x＝0，解得．所以点S的坐标为．同理可得：点T的坐标为．所以，，．由，可得：，所以．同理．由（Ⅱ）得，所以＝所以λ+μ的范围是．21．【分析】（Ⅰ）由a为奇数，b为偶数，可得a+b为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合A+B；（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（ε0，ε1，ε2，…，εi，…，εk），其中εi＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，使得，考虑自然数p的个数即可得证；下证＝，其中εi＝0，1；εi′＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，则ε'i＝εi．由反证法即可得证；（ⅱ）考虑集合中元素为奇数，可为{n|n＝2k﹣1，k∈N*}．【解答】解：（Ⅰ）由a＝2m+1，b＝2n得a+b＝2（m+n）+1是奇数，当a＝2×1009+1，b＝2×0＝0时，a+b＝2019，所以2019∈A+B，2020∉A+B；（Ⅱ）（ⅰ）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（ε0，ε1，ε2，…，εi，…，εk），其中εi＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，使得，由于，这种形式的自然数p至多有2k+1个，且最大数不超过2k+1﹣1．由εi＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，每个εi都有两种可能，所以这种形式的自然数p共有个结果．下证＝，其中εi＝0，1；εi′＝0，1；i＝0，1，…，k，k∈N，则ε'i＝εi．假设存在ε'i≠εi中，取i最大数为j，则＝|（ɛ0'﹣ɛ0）+（ɛ1'﹣ɛ1）×21+…+（ɛj'﹣ɛj）×2j|≥|（ɛj'﹣ɛj）×2j|﹣|（ɛ0'﹣ɛ0）+（ɛ1'﹣ɛ1）×21+…+（ɛj﹣1'﹣ɛj﹣1）×2j﹣1|≥|（ɛj'﹣ɛj）×2j|﹣（|ɛ0'﹣ɛ0|+|ɛ1'﹣ɛ1|×21+…+|ɛj﹣1'﹣ɛj﹣1|×2j﹣1）≥2j﹣（1+21+…+2j﹣1）＝2j ﹣＝1，所以0≥1不可能．综上，任意正整数p可唯一表示为＝显然，满足N*⊆（A+B），所以集合A，B互为“完美加法补集”．（ⅱ）{n|n＝2k﹣1，k∈N*}。

2020年北京市丰台区高考数学二模试卷(含答案解析)

2020年北京市丰台区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合的子集个数为A. 4B. 6C. 7D. 82.函数的定义域为A. B.C. D.3.下列函数中，最小正周期为的是A. B. C. D.4.已知数列的前n项和，则A. 3B. 6C. 7D. 85.设，为非零向量，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则p的值为A. B. 2 C. D. 47.已知函数，则A. 是奇函数，且在定义域上是增函数B. 是奇函数，且在定义域上是减函数C. 是偶函数，且在区间上是增函数D. 是偶函数，且在区间上是减函数8.如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为A.B.C.D.9.在中，，，，则AB边上的高等于A. B. C. D.10.某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，，且a，b，；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是A. 每场比赛的第一名得分a为4B. 甲至少有一场比赛获得第二名C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名D. 丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知复数，则______．12.已知直线的倾斜角为，则______．13.已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为______．14.天干地支纪年法简称干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年．15.已知集合，由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论：“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；白色“水滴”图形的面积是．其中正确的有______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四边形ABCD为正方形，，，，，．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．17.已知等差数列的前n项和为，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若等比数列满足，且公比为q，从；；这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和．18.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：Ⅰ现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查．求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；Ⅱ现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；Ⅲ某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．19.已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ求证：当时，；Ⅲ当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围．20.已知椭圆经过，两点．O为坐标原点，且的面积为过点且斜率为的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ求直线l的斜率k的取值范围；Ⅲ设，求的取值范围．21.已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”．Ⅰ已知集合，判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；Ⅱ设集合1；，1，，s，，1；，，s，求证：集合A，B互为“完美加法补集”；记和分别表示集合A，B中不大于的元素个数，写出满足的元素n的集合．只需写出结果，不需要证明-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：0，，集合A的子集个数为个，故选：D．先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数．本题主要考查了集合子集个数的求法，掌握公式是关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得或．函数的定义域为．故选：C．由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.答案：D解析：解：函数的最小正周期为，故排除A；函数的最小正周期为，故排除B；函数的最小正周期为，故排除C；函数的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．4.答案：B解析：解：，时，．则．故选：B．，可得时，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：，为非零向量，“”展开为：．“”是“”的充要条件．故选：C．，为非零向量，“”展开，进而判断出结论．本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：分析：求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到结论．本题主要考查抛物线和双曲线的性质，求出对应的焦点坐标是解决本题的关键．解：抛物线的焦点坐标为，双曲线的方程为，，，则，即，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，，即，故选：D7.答案：B解析：解：根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；设任意，，则函数为奇函数；，其导数，在区间上，，则为上的减函数；故选：B．根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得为上的减函数；即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．8.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：，由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，所以，所以．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．9.答案：B解析：解：，，，由余弦定理可得：，可得，设AB边上的高为h，则，，解得：．故选：B．由已知及余弦定理可求cos A的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，设AB边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：甲最后得分为16分，，接下来以乙为主要研究对象，若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，又，，此时不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，，则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意．综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．故选：C．根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．11.答案：解析：解：复数，．故答案为：．根据复数模长的定义直接进行计算即可．本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．12.答案：解析：解：直线的斜率，直线的倾斜角．．故答案为：．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解的值．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．13.答案：解析：解：由题意可得，即，，可得双曲线的渐近线方程，即为故答案为：运用离心率公式和a，b，c的关系，可得，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．14.答案：己卯60解析：解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、、癸未，甲申、乙酉、丙戌、、癸巳，，若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；故答案为：己卯，60．根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案．本题考查合情推理的应用，关键是掌握“干支纪年法”的规律，属于基础题．15.答案：解析：解：对于，方程中，令，得，所以，其中，所以，所以，解得；所以点，点，点，点，所以错误；对于，由，设，则点M到原点的距离为，当时，，d取得最大值为3，所以正确；对于，由知最高点为，最低点为，所以，正确；对于，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积是，所以正确；综上知，正确的命题序号是．故答案为：．方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标；利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；求出知最高点C与最低点D的距离；计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．本题考查命题真假的判断，考查三角函数和圆的综合知识应用问题，也考查运算求解能力，是难题．16.答案：证明：Ⅰ因为，，所以，因为，，所以平面ABCD．Ⅱ解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，．因为四边形ABCD为正方形，所以．如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，，，．设平面PDM的法向量为y，，则，即令，则，于是1，．平面PDM的法向量为1，．设直线PC与平面PDM所成的角为，所以．所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．解析：Ⅰ推导出，，由此能证明平面ABCD．Ⅱ推导出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PDM所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，又因为，且，所以，故，所以；Ⅱ由Ⅰ可知，，又，所以．若选择条件，可得，；若选择条件，可得，；若选择条件，可得，．解析：Ⅰ先由题设条件求出等差数列的基本量：首项与公差，再求其通项公式；Ⅱ先选择公比q的值，再结合其它题设条件计算出结果．本题主要考查等差、等比数列中基本量的运算及数列的求和，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为．参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，所以分Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．，，．X的分布列为：X012P分Ⅲ答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．答案示例2：无法确定．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．分解析：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．利用超几何分布列计算公式即可得出．Ⅲ答案不唯一．示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．本题考查了超几何分布列计算公式及其数学期望、小概率事件问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ因为，定义域R，所以．令，解得．随x的变化，和的情况如下：x 0增极大值减由表可知函数在时取得极大值，无极小值；Ⅱ证明：令，．由得，于是，故函数是上的增函数．所以当时，，即；Ⅲ当时，由Ⅱ知，满足题意．令，．当时，若，，则在上是减函数．所以时，，不合题意．当时，，则在上是减函数，所以，不合题意．综上所述，实数a的取值范围．解析：Ⅰ求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；Ⅱ令，求导，由得，则，进而得出函数的单调性，由此得证；Ⅲ当时，由Ⅱ知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ因为椭圆经过点，所以解得．由的面积为可知，，解得，所以椭圆C的方程为．Ⅱ设直线l的方程为，，联立，消y整理可得：．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得．因为，所以k的取值范围是．Ⅲ因为，，，所以直线AM的方程是：．令，解得．所以点S的坐标为．同理可得：点T的坐标为．所以，，．由，可得：，所以．同理．由Ⅱ得，所以所以的范围是．解析：Ⅰ把点A坐标代入椭圆的方程得由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程．Ⅱ设直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程的关于x的一元二次方程．，进而解得k的取值范围．Ⅲ因为，，，，写出直线AM的方程，令，解得点S的坐标为同理可得：点T的坐标为用坐标表示，，，代入，得同理由Ⅱ得，代入，化简再求取值范围．本题考查椭圆的标准方程，及取值范围，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ由，得是奇数，当，时，，所以，；Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，其中，1；，1，，k，，使得，由于，这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过．由，1；，1，，k，，每个都有两种可能，所以这种形式的自然数p共有个结果．下证，其中，1；，1；，1，，k，，则．假设存在中，取i最大数为j，则，所以不可能．综上，任意正整数p可唯一表示为显然，满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”．解析：Ⅰ由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，其中，1；，1，，k，，使得，考虑自然数p的个数即可得证；下证，其中，1；，1；，1，，k，，则由反证法即可得证；考虑集合中元素为奇数，可为本题考查集合的新定义的理解和应用，考查综合法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．。

北京市丰台区2020届高三第二学期统一考试(一)(数学理)doc高中数学(1)

北京市丰台区2020届高三第二学期统一考试doc 高中数学⑴2018年高三年级第二学期统一练习〔一〕数学试题〔理〕本卷须知：1 •答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清晰，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的”条形码粘贴区'’贴好条形码 •2 •本次考试所有答题均在答题卡上完成 •选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除洁净后再选涂其它选项•非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清晰•作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰 •3 •请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效•4 •请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破旧、本大题共8小题，每题5分共40分•在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项6. 在 ABC , " AB AC BA BC"是"| AC | | BC |"的7.设 a 0,b 0,a b ab 24,那么0（数学理）假如z1 ai为纯虚数，那么实数 aiA . 0 设集合 {y|yB . -1(y,x 0, a 等于〔〕C. 1 D . -1 或 1}, N {y | y log 2 x, x 0,1}，那么集合 M N 是A .( ,0)' 1,B . 0,3 .假设 (1 2x)n2a 0 a 1x a 2xA . 84B . -844 .奇函数 f(x)在(,0）上单调递增，假设A . (,1)(0,1)C.,1 D ・(,0) (0,1)〔〕0的解集是〔〕a n X n ,那么a 2的值是C. 280D . -280f ( 1) 0,那么不等式f(x) B- (, 1) (1,)C. ( 1,0) (0,1)D. ( 1,0)(1,)5.从0, 2, 4中取一个数字，从位数的个数是 1, 3, 5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，那么所有不同的三〔〕A . 36B . 48C. 52D . 54A .充分而不必要条件 C.充分必要条件B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件A . a+b 有最大值8 B. a+b 有最小值 8 C. ab 有最大值8D. ab 有最小值8&整数以按如下规律排成一列：〔1, 1〕、〔 1 , 2〕、〔2, 1〕、〔 1, 3〕、〔2, 2〕，〔3, 1〕，〔 1,4〕，〔2, 3〕,〔3, 2〕，〔4, 1〕……，那么第60个数对是〔〕A .〔 10 , 1〕B .〔 2, 10〕C.〔 5, 7〕D .〔 7, 5〕二、填空题：本大题共 6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上•9.在平行四边形 ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F,假设 AEF 的面积是1cm 2,那么 CDF 的面积是 _______________ cm 2.10 •假设一个正三棱柱的三视图及其尺寸如以下图所示〔单位:cm 3.样本数据落在 6,14内的频数为 _______________13 •在右边的程序框图中，假设输出 i 的值是4,那么输入x 的取值范畴是 ___________ •214 •函数y x 1(0 x 1)图象上点P 处的切线与直线y 0,x 0,x 1围成的梯形面积等于 S,那么S 的最大值等于 _________ ，现在点P 的坐标是 ______________ .三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解承诺写出文字讲明，演算步骤或证明过程• 15. 〔 12分〕函数 f(x) a si nx bcosx 的图象通过点(一,0),(,1).63〔I 〕求实数a 、b 的值；〔II 〕假设x [0, —]，求函数f (x)的最大值及现在 x 的值.cm 〕，那么该几何体的体积是 ___________11.样本容量为1000的频率分布直方图如下图•依照样本的频率分布直方图运算, x 的值为12 .在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为〔参数t R 〕，圆C 的参数方程为x cos y sin1〔参数0,2 〕,那么圆心到直线I 的距离是16. 〔13分〕如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，P从面ABCD, BD交AC于点E, F是PC中点，G 为AC上一点.〔I〕求证：BD丄FG;〔II〕确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD,并讲明理由.2〔山〕当二面角B—PC- D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值317. 〔14分〕某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不阻碍•师父加工一个零件是精2 1品的概率为一，师徒二人各加工2个零件差不多上精品的概率为-.3 9〔I〕求徒弟加工2个零件差不多上精品的概率；〔II〕求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；〔山〕设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为，求的分布列与均值E18. 〔13分〕函数f(x) lnx a.x〔I〕当a<0时，求函数f (x)的单调区间；3〔II〕假设函数f〔x〕在［1 , e］上的最小值是 -,求a的值.219. 〔13分〕在直角坐标系xOy中，点M到点F, . 3,0), F2 0-3,0)的距离之和是4,点M的轨迹是C与x 轴的负半轴交于点A,只是点A的直线l : y kx b与轨迹C交于不同的两点P和Q.〔I〕求轨迹C的方程；〔II〕当AP AQ 0时，求k与b的关系，并证明直线I过定点.20 .〔14 分〕设集合W由满足以下两个条件的数列｛a n｝构成：a n a n 2①a n 1；2②存在实数M，使a n M .〔n为正整数〕〔I〕在只有5项的有限数列｛a n｝, ｛b n｝中,其中a i 1,a2 2,a3 3@ 4旦5;b i 1,b2 4,b3 5,b4 4b 1 ；试判定数列｛a n｝, ｛b n｝是否为集合W的元素；1 7〔II〕设｛C n｝是各项为正的等比数列，S n是其前n项和，C3-,S3证明数列｛S n｝ W ；并写4 4出M的取值范畴；〔III〕设数列｛d n｝ W,且对满足条件的M的最小值M0,都有d n M n( n N*).求证：数列｛d n｝单调递增.、选择题〔每题 5分，共40分〕 BCAABCBC二、填空题〔每题 5分，共30分〕 9. 4 10. 24、3 11. 0.09,680 12. .2 14.4 24’三、解答题：〔本大题共6小题，共80分〕 15. 〔 12分〕1 3 - ca b 0 2 2 ■■- 3 1 , ’ a b 1 2 2解得：a ..3,b1x咛％石［訂,当x 6孑即x 丁时f (x)取得最大值\ 316. 〔 13分〕证明：〔I 〕PA 面ABCD,四边形ABCD 是正方形,其对角线BD, AC 交于点E, ••• PA I BD, AC 丄 BD.参考答案13. 2,4 5 J 5 解：〔I 〕：函数f(x)a sin x bcosx 的图象通过点 (評⑺，〔II 〕由〔I 〕知：f (x)f -3sinx cosx 2sin(x —)12分••• BD 丄平面 APC, FG 平面PAC• B D 丄 FG 3 〔II 〕当G 为EC 中点，即AG AC 时，4 FG//平面 PBD, ............ 9 分理由如下：连接PE 由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE , 而FG 平面PBD, PB 平面PBD, 故FG//平面PBD. .................... 13分〔III ］作BH 丄PC 于H ,连结 DH, •/ PA 丄面ABCD,四边形ABCD 是正方形， • P B=PD 又••• BC=DC PC=PC• △ PCE ^A PCD, • D H 丄 PC,且 DH=BH, •••/ BHD 主是二面角 B — PC- D 的平面角， 2 即 BHD , 3 •/ PA 丄面 ABCD, • / PCA 确实是PC 与底面ABCD 所成的角 7分11分12分连结EH,那么EH BD, BHE -,EH PC 3tan BHEBE EH .3,而BE EC, EC 3, sin PCA EHEH2 EC 3tan PCA2，• PC 与底面ABCD 所成角的正切值是 2 2 14分解：以A 为原点，AB , AD, PA 所在的直线分不为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系如下图, 设正方形 ABCD 的边长为 1,那么 A 〔 0 , 0 , 0〕, B 〔 1 , 0 , 0〕，C 〔 1 , 1, 0〕 1 1 1 1 a〔a>0〕，E (2,2,O),F(?，2，；2),G(m,m,O)(O m 7)〔1〕BD (1,1,0), FG (m1 2,m 12,BD FG 1 m m 1 0 02 2BD FG........... 5分〔II 〕要使 FG//平面 PBD, 只需 FG//EP ,D 〔 0 , 1 , 0〕, P 〔 0 , 0 ,a〕1 1而Ep (2,2, a)，i i m - -由FG EP可得 2 2，解得aa23m 4,3 3 —G(：, ,0), AG4 4设平面PBC的一个法向量为u (x, y, z),u PC 0 —一那么_______ ，而PC (1,1, a),BC (0,1,0) u BC 0x y az 0 ，取z=1,得u (a,0,1),y 0同理可得平面PBC的一个法向量v (0,a,1)设u,v所成的角为0,那么| cos2 |cos |3故当AG 3AC 时，FG〃平面PBD 4即1|u||v| 2a 1••• P从面ABCD,「./ PCA确实是PC与底面ABCD所成的角,tan PCA PAAC12分14分17.〔14分〕解：〔I〕设徒弟加工1个零件是精品的概率为那么2 2 P121得p29得P1因此徒弟加工2个零件差不多上精品的概率是P1,1 4〔II〕设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为由〔I〕知，p111,3 —4A C，〔1234P16 13 12 436 3636363613分” 16 1312 47的期望为0 —12 - 34........ 14分3636363636 318.〔 13分〕解：函数f (x) Inx —的定义域为 (0,)........ 1分x…、1 ax af '(x)22........ 3分x xx〔1〕 a 0, f'(x) 0.故函数在其定义域(0,)上是单调递增的• ...... 5分〔II 〕在［1, e ］上，发如下情形讨论： ① 当a<1时，f'(x) 0,函数f (x)单调递增，其最小值为f (1) a 1,3这与函数在［1 , e ］上的最小值是相矛盾；...... 6分2② 当a=1时，函数f(x)在1,e 单调递增，其最小值为f(1)1,同样与最小值是3相矛盾；...... 7分2师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下:9 49 4 9 436③当1 a e 时，函数f(x)在1,a 上有f'(x) 0 ,单调递减,在a,e 上有f'(x)0,单调递增，因此，函数f (x)满足最小值为f (a) Ina 1 由 In a 13,得a . e,.......... 9 分2④当a=e 时，函数f(x)在1,e 上有f'(x)0,单调递减，3 其最小值为f (e).... 2,还与最小值是相矛盾； ...... 10分3仍与最小值是 3相矛盾；...... 12分2综上所述，a 的值为...e. ........... 13分〔13 分〕解：〔1〕点M 到(.3,0),(.. 3,0)的距离之和是4,M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为2- 3的椭圆,2其方程为x y 21. ........... 3分4〔2〕将y kx b ，代入曲线C 的方程，整理得(1 4k 2)x 28 2kx 4 0............ 5分因为直线l 与曲线C 交于不同的两点 P 和Q , 因此64k 2b 2 4(1 4k 2)(4b 2 4) 16(4k 2 b 2 1)设 P (X 1, y 1),Q (X 2, y 2),，那么2 2且 y 1 y 2 (kx 1 b)(kx 2 b) (k x 1x 2) kb(x 1 x 2) b .③X 28 2k 1 4k 21 4k 22⑤当a>e 时，明显函数f (x)在［1,e ］上单调递减, 其最小值为f (e)1 a 2,e0•①明显，曲线C 与x 轴的负半轴交于点 A 〔-2, 0〕，因此 AP (X i 2,yJ,AQ (x ?2,y 2), 由 AP AQ 0,得(％ 2)(x 2 2) y 1 y 2 0.将②、③代入上式，整理得 12k 2 16kb 5b 20. ........... 10分因此(2k b) (6k 5b) 0,即b 2k 或b —k,经检验，都符合条件①5当b=2k 时，直线I 的方程为y kx 2k.明显，现在直线I 通过定点〔-2，0〕点. 即直线I 通过点A ,与题意不符.a a当b —k 时，直线I 的方程为y kx 6k k(x 5). 5 5 6明显，现在直线I 通过定点(-,0)点，且只是点A.5综上，k 与b 的关系是：b -k,5 a 且直线I 通过定点(一,0)点 ...... 13分520 .〔 14 分〕解：〔I 〕关于数列｛a n ｝,取引聖 2 a 2,明显不满足集合 W 的条件，①2故｛a n ｝不是集合W 中的元素,关于数列｛b n ｝，当n ｛1,2,3,4,5｝时, 不仅有b 1 b 3 b 2 b 4 ’ ■ 3 b 2, 2 44 b 3, 2 2b 3 b 3 —3 3 2 b 4,而且有b n 5 ,明显满足集合 W 的条件①②，故｛ bn ｝是集合 W 中的元素............. 4分〔II 〕｛C n ｝是各项为正数的等比数列， S n 是其前n 项和, 1 7 C 3 ,S 3 ,4 4设其公比为q>0.C3 2 q C3-- 1qc37,整理得6q2q 1 0q12 c1c 1n n 12S n 22?1……7分关于*n NS n S n 2,有2 21 12 1 Sn n 2 2n Sn 2,2 2 2且S n 2,故｛S n｝ W，且M 2, ........... 9 分〔山〕证明：〔反证〕假设数列｛d n｝非单调递增，那么一定存在正整数k,使d k d k 1，易证于任意的n k，都有d k d k 1，证明如下：假设n m(m k)时,d k d k1当n=m+1时，由虫d m i得d m 22d m 1 d m,2而d m 1 d m 2 d m 1 (2d m 1 d m ) d m d m 1 0因此d m 1 d m 2 ,因此，关于任意的n k,都有d m d m 1,明显d1,d2, ,d k这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为d n0；因此d n0d n(n N ),从而d n0M°.与这题矛盾因此假设不成立，故命题得证•14分。

2020年北京丰台区南苑中学高三数学理测试题含解析

2020年北京丰台区南苑中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是（）A． B． C． D．参考答案：答案:D2. 已知全集U=R，，，则有( )A. B. C. D.参考答案：知识点：集合的运算A1B解析：因为，，所以,则选B.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算.3. 若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：双曲线的标准方程．专题：压轴题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k﹣3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件．解答：解：依题意：“方程﹣=1表示双曲线”可知（k﹣3）（k+3）＞0，求得k＞3或k＜﹣3，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．4. 函数的图象如图1所示，则的图象可能是（）参考答案：【知识点】导数.B11【答案解析】D 解析：解：由题意可知，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数的导数在上的值大于0，在上的值小于0，根据答案可知D正确.【思路点拨】根据导数与函数的增减性可知，导数值的正负，再选出正确选项.5. 函数的图象为.有以下结论，其中正确的个数为（）①图象关于直线对称; ②函数)内是增函数;③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.A．0 B．1 C．2D．3参考答案：C6. 已知集合，下列结论成立的是A. B. C. D.参考答案：D7. 命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜ln2 B．不存在x∈R，都有x2＜ln2C．存在x∈R，使得x2≥ln2 D．存在x∈R，使得x2＜ln2参考答案：D考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为：存在x∈R，使得x2＜ln2．故选：D．点评：本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．8. （5分）（2015?钦州模拟）某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法参考答案：B【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：分别根据分层抽样，系统抽样和简单抽样的定义进行判断即可．解：①由于四个城市销售点是数量不同，可能存在差异比使用较明显，故①应用分层抽样．②由于丙成立销售点比较比较少，可以使用简单随机抽样即可．故选：B．【点评】：本题主要考查随机抽样的应用，利用三种抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．9. 记集合,,将M 中的元素按从大到小排列，则第2012个数是A. B.C. D .参考答案：A10. 在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，若向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，则三角形的高要h≥1，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．【解答】，解：由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于S△ABP=AB×h=2h，则三角形的高要h≥1，同样，P点到AD的距离要不小于，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个矩形面积的（4﹣）（3﹣1）=，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：；故选D．【点评】本题给出几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若两个单位向量a，b的夹角为1200，则|a – xb|(x R)的最小值是_______.参考答案：12. 已知函数，若，则实数的值是 .参考答案：略13. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为▲参考答案：14. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，直线交直线于点.若，则．参考答案：815. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数的数学期望是．参考答案：略16. 出下列命题①若是奇函数，则的图象关于y轴对称；②若函数f(x)对任意满足，则8是函数f(x)的一个周期；③若，则；④若在上是增函数，则。