襄阳市初中数学二次函数难题汇编

襄阳市初中数学二次函数难题汇编
一、选择题
1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t01234567…
h08141820201814…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线
9
2
t ；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选B．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )
A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0．
∵对称轴在y轴的左边，∴
b
2a
＜0．∴b＞0．
∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0．
∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，
∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．
∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
3．已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（）
A．-1 B．1 C．-3 D．-4
【答案】A
【解析】
【分析】
分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值．
【详解】
解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，其顶点坐标为(0，
a2)，而a2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；
若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，a2=3，而当y=0时，
x2=−a，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；
若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a2+b=0，所以a=−1；
若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a2+b=0①；令x=−2，y=0，则
4a−2b+a2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-
；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线
上则点的坐标满足抛物线的解析式.
4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()2
00++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】 由题可知22b a
-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c =，
故可得4,0a b c -==
①因为0c =，故①正确；
②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；
③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；
④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；
⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.
5．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个
数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线x=－
2b a
=1 ∴b<0
∴abc ＞0；①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，所以②不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴2
44ac b a =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；
∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，
∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选:C ．
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．
6．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ） A ．3122
m -
+ B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D
【解析】
【分析】 根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．
【详解】 解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣
12
x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），
∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴
232
x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2， ∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12
x 上， ∴m ＝﹣
12
x 1， ∴x 1＝﹣2m ， ∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
7．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数
在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）
A ．m 1≥
B ．0m ≤
C ．01m ≤≤
D ．m 1≥或0m ≤
【答案】C
【解析】
【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.
【详解】
解：如图1所示，当t 等于0时，
∵2
(1)4y x =--，
∴顶点坐标为(1,4)-，
当0x =时，3y =-，
∴(0,3)A -，
当4x =时，5y =，
∴(4,5)C ，
∴当0m =时， (4,5)D -，
∴此时最大值为0，最小值为5-；
如图2所示，当1m =时，
此时最小值为4-，最大值为1．
综上所述：01m ≤≤，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．
8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ，配成顶点式得S=﹣（t ﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t ）2=（t ﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．
解：当0≤t≤4时，S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF
=4•4﹣•4•（4﹣t ）﹣•4•（4﹣t ）﹣•t•t
=﹣t 2+4t
=﹣（t ﹣4）2+8；
当4＜t≤8时，S=•（8﹣t ）2=（t ﹣8）2．
故选D ．
考点：动点问题的函数图象．
9．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；
0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )
A ．①②
B ．①②③
C ． ①③④
D ． ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123
b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b
c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.
【详解】
①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a
=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.
②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.
③由对称轴123
b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b
c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

10．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )
A ．1
B ．12
C ．43
D ．45
【解析】
【分析】
求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．
【详解】
解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ，
∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，
∴OC ＝k ，
∵△ABC 的面积＝
12AB•OC ＝12AB•k ，△ABD 的面积＝12
AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1：4， ∴k ＝
14
(4﹣k)， 解得：k ＝45
． 故选：D ．
【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．
11．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及
()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）
A ．向左平移2个单位长度
B ．向右平移2个单位长度
C ．向左平移10个单位长度
D ．向右平移10个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．
【详解】
解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，
∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，
∵4－（－6）＝10，
∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．
12．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．
【详解】
根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；
点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，
∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．
故选B ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．
13．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞﹣3b ；（3）7a ﹣3b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12
，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的
结论有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】 根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-
2b a
=2，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确； 由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（2）正确；
因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+2c ＜0，故（3）不正确；
根据图像可知当x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣
12
，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 2，故（4）不正确；
根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜x 2，故（5）正确．
正确的共有3个.
故选B.
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
14．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12
x 刻画，下列结论错误的是( )
A ．斜坡的坡度为1: 2
B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势
C ．小球落地点距O 点水平距离为7米
D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m
【答案】D
【解析】
【分析】
求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．
【详解】 解：214212
y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，2
2772
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72
∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；
2142
y x x =- 21(4)82
x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，
∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，
当7.5y =时，217.542
x x =-， 整理得28150x x -+=，
解得，13x =，25x =，
∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的 坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结
论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③1
3
＜a＜
2
3
；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是
（）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出③的正误．
【详解】
①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间，
∴-2＜c ＜-1 ∵-12b a =， ∴b=-2a ， ∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=-3a ，
∴-2＜-3a ＜-1，
∴13＜a ＜23
；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴b-c=a ，
∵a ＞0，
∴b-c ＞0，即b ＞c ；
故④正确；
故选B ．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
16．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】
当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A 、D 不正确；
由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-
2b a
＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．
故选C ．
17．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函
数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v＝1；②sin B＝1
3
；③图象C2
段的函数表达式为y＝﹣1
3
x2+
10
3
x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A
【解析】
【分析】
①根据题意列出y＝1
2
AP•AQ•sin A，即可解答
②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可
③把sin B＝1
3
，代入解析式即可
④根据题意可知当x＝﹣
5
22
b
a
时，y最大＝
25
12
【详解】
①当点P在AC上运动时，y＝1
2
AP•AQ•sin A＝
1
2
×2x•vx＝vx2，
当x＝1，y＝1
2
时，得v＝1，
故此选项正确；
②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，
当P在BC上时y＝1
2
•x•（10﹣2x）•sin B，
当x＝4，y＝4
3
时，代入解得sin B＝
1
3
，
故此选项正确；
③∵sin B＝1
3
，
∴当P 在BC 上时y ＝12•x （10﹣2x ）×13＝﹣13
x 2+53 x ， ∴图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+53x ， 故此选项不正确；
④∵y ＝﹣
13
x 2+53x ， ∴当x ＝﹣522b a =时，y 最大＝2512
， 故此选项不正确；
故选A ．
【点睛】 此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解
18．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）
A ．（1，-5）
B ．（3，-13）
C ．（2，-8）
D ．（4，-20）
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．
19．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】
点P 、Q 的速度比为3：3，根据x ＝2，y ＝63，确定P 、Q 运动的速度，即可求解．
【详解】
解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC ＝3a ，
设P 、Q 同时到达的时间为T ，
则点P 的速度为3a T ，点Q 的速度为3a ，故点P 、Q 的速度比为3：3， 故设点P 、Q 的速度分别为：3v 、3v ，
由图2知，当x ＝2时，y ＝63，此时点P 到达点A 的位置，即AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝2×3v ＝23v ，
y ＝12⨯AB ×BQ ＝12
⨯6v ×23v ＝63，解得：v ＝1， 故点P 、Q 的速度分别为：3，3，AB ＝6v ＝6＝a ，
则AC ＝12，BC ＝63，
如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，
此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，
则BQ ＝3x ＝43，CQ ＝BC ﹣BQ ＝63﹣43＝23，
过点P 作PH ⊥BC 于点H ，
PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12
＝3，同理CH ＝3，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝333，
PQ 22PH HQ +39+3，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】
解：由方程组
2
y ax bx
y bx a
⎧=+
⎨
=-
⎩
得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行
分析，本题中等难度偏上．。