点到直线的距离

《点到直线的距离》说案
第六届教育研讨会献课说课稿件
各位老师，大家好！我说课的内容是《点到直线的距离》．我将通过教材分析、目标分析、教学方法、过程设计和教学反思五个部分，阐述本课的教学设计．
一、教材分析
1．教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．
2．地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．
二、目标分析
１．学情分析
我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．
２．教学目标
根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．
【知识技能】
⑴ 理解点到直线的距离公式的推导过程；
⑵ 掌握点到直线的距离公式；
⑶ 掌握点到直线的距离公式的应用．
【数学思考】
⑴ 通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想；
⑵ 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力；
⑶ 通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．
【解决问题】
由探索点()2,0P 到直线0x y -=的距离，推广到探索点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=
()220A B +≠的距离的过程中，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力．
【情感态度】
结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣．
３．教学重点、难点
为更好地完成教学目标，本课教学重点设置为：
【重点】
⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析；
⑵ 点到直线的距离公式的应用．
【难点】
点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．
【难点突破】
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同算法思路．同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．
三、教学方法
根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学能力．
四、过程设计
结合教材知识内容和教学目标，本课分为以下四个教学环节
环节１ 创设情境
在教学环节1中，
以学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片的欣赏，以及一个具体实例：当火车在高速行驶时，如果旅客离铁轨中心的距离小于2.5m 的安全距离时，就可能被吸入车轮下而发生危险．创设情景，让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，从而有效调动学生的学习兴趣．
（设计意图：以学生熟悉的实际生活为教学背景，引入新课，有效调动学生的学习兴趣．） 公式应用
那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入环节2． 环节２ 点到直线的距离公式的推导过程
首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q 点，线段PQ 的长度叫做点P 到直线l 的距离．
（设计意图：引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础．）
接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．
问题1 如何求点(2,0)P 到直线:0l x y -=的距离？
补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问．
方法① 利用定义
由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点P 到直线l 的距离，转化为点P 、垂足Q 两点之间距离来解决．
方法② 利用直角三角形的面积公式
结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线．教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识．
方法③ 利用三角函数
根据定义作出图象后，由于涉及到Rt OPQ ∆和直线倾斜角45 ，学生容易联想利用三角函数知识解决问题．
方法④ 利用函数的思想
在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．以此为背景，学生可能通过函数的思想来解决．
对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整．改变点P 和直线l 的位置，引出补充问题2．
问题2 如何求点(4,2)P 到直线220x y -+=的距离？
组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．
（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．）
在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．
问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++=（220A B +≠）的距离？
方法① 利用定义的推导方法
通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方
法，学生可能会类比考虑利用定义，将点P 到直线l 的距离转化为点P 与垂足Q ，两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程．尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略0A ≠，这
一前提条件，而直接得到与l 垂直直线的斜率为B A
．我要加以纠正，并强调对于00A B ==或的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑．
方法② 利用直角三角形的面积公式的的推导方法
学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题．对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生代表可以只说明算法步骤．与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质．由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了．所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力．在此过程中，应该提醒学生注意Rt PRS ∆三边边长的求法．
方法③ 利用平面向量的推导方法
由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题．所以我班部分思维能力较强的学生，可能会提出利用向量知识推导公式，我要给予肯定．尽管这种方法具有一定难度，但根据我班学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义，再结合图象，师生互动，共同讨论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图．在这一过程中，学生
可能会遇到，无法表示与直线l 垂直的向量n 的坐标的困难，我给予提示：可以
借助于，向量n 与直线l 的方向向量互相垂直的充要条件来解决．对于这种方法
的具体推导过程，要求学生课后，在自学教材55P 阅读材料“向量与直线”的基础上，作为思考作业完成．这种利用向量的算法，为今后在立体几何中，利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础．
（设计意图：在点到直线的距离公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程，使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导中会涉及字母运算，比较抽象．为帮助学生理清思路，在教学中强调了算法的思想，让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读．）
点到直线的距离公式
点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=（其中0A B 、不同时为）的距离
在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：当00A B ==或时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．
在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3． 环节３ 点到直线的距离公式的应用
在本环节，我安排了三个典型例题．其中例1是引用教材52P ，由于例题中
所给直线的方程已经是一般式，所以学生容易忽略运用公式的前提：首先应将直线方程化为一般式，在确定了系数A B 、的值之后，再代入公式进行计算．这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．为了强调运用公式的这一前提条件，我在例1中补充设置了⑶、⑷两个小问．
例1 求点0(1,2)P -到下列直线的距离：
⑴ 2100;x y +-= ⑵ 32;x =
⑶ 37;y x =+ ⑷ ()241.33
y x -
=- （设计意图：通过例题练习，强化学生对公式的记忆和应用．同时，“代入公式计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数A B 、的值”是学生在应用公式中，容易忽略的环节．将这一薄弱环节设置在补充例题中，使学生在“错误体验”加深记忆，以期达到强化训练的目的．）
在解决了例1的基础上，由浅入深，补充了直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力． 例2 ⑴ 已知点()2,3A -到直线1y ax =+
a 的值；
⑵ 已知点()2,3A -到直线y x a =-+
a 的值．
由于例2的两个问题中，直线方程所含参数a 都具有明显的几何意义：一个表示直线的斜率，另一个表示直线在y 轴上的截距．所以解出参数a 的值后，在“几何画板”中，以数学实验的形式，通过度量进行操作确认．其中⑴随直线l 的不断变化，学生可观察点A 到直线l 距离d 的度量值、直线斜率a 的度量值的变化趋势．
当d =时，可发现此时两条直线的斜率a 的度量值，与计算结果吻合．同时，度量出30ABC ABD ∠=∠= ，说明点A 落在两条直线所成角的角平分线上（如图1）；在⑵中，学生可观察点A 到直线l 距离d 的度量值、直线在y
轴
d =
上截距a
的变化趋势．当d =时，直线在y 轴上的截距a 的度量值，也与计算结果吻合（如图2）．本例既考察了学生对公式的掌握情况，又为下节课对称问题和直线系的研究设下伏笔，并由问题⑵
中两平行线间距离为引出教材53P 的例题．
（设计意图：点到直线距离公式的应用，是本课的一个重点内容．在例1的基础上，增补直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．在几何画板的软件平台中，通过数学实验，让学生感受在利用代数方法研究几何问题后，再回归几何本身的重要性．）
例3 求平行线2780x y -+=和2760x y --=的距离．
教材上采用了类比化归的思想，将两平行直线之间的距离，转化为点到直线的距离来解决问题．由于两平行线间的距离处处相等，所以教材选择了一条直线上的特殊点，便于简化计算．学生可能会提出如果在直线上任选一点()00,P x y 能否得到这两条平行线之间的距离的问题，由此引出了教材54P 的习题15．根据课堂剩余时间，此题作为机动练习．
此时，本课教学任务已基本完成，为进一步巩固知识，教学进入环节4． （设计意图：紧扣教材，让学生体会类比化归的思想方法，同时，为课后作业中推导两平行线之间的距离公式，设下伏笔．）
环节４ 课堂总结
由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明． ⑴ 点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路；
⑵ 点到直线的距离公式；
⑶ 点到直线的距离公式的应用前提条件．
（设计意图：通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．）
课后作业
① 在自学教材55P 阅读材料“向量与直线”后，利用向量的方法证明点到直线的距离公式；
② 教材547.3P 习题 13、14、16
板书设计
课题：点到直线的距离 ㈠ 公式推导过程
1．问题1 如何求点(2,0)P 到直线0x y -= 的距离？ 2．问题2 如何求点(4,2)P 到直线220x y -+= 的距离？ 3．问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++= 的距离（220A B +≠ ）？
方法① 利用定义的算法框图
方法② 利用直角三角形的面积公式的算法框图
点到直线的距离公式
◆运用公式的注意点
◆课堂小结
五、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下五点反思：
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方式：一种是让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是本课方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；
2．点到直线的距离的推导过程，含有比较抽象的字母运算．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法．让学生在明了算法步骤的前提下，再进行有效的公式推导和自学阅读；
3．向量是一种重要的运算工具，根据我班学生的实际，本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的推导方法，并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式；
4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以我重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；
5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例题中给予了设置，以期达到强化训练的目的．。