1.3 导热微分方程
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（1）基本思路 ：
建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式。
理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律。
（2）推导：
1) 物理问题描述：
三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外 其它形式的热量，如化学反应能、电能等）
2) 假设条件
a) 各向同性的连续介质； b) 、、c均为已知； c) 物体具有内热源（强度qv(w/m3)； d) 导热体与外界没有功的交换。
其的物理意义：
① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，ɑ也是材料 传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。
几何尺寸相同的铁板和木 板，当一面温度很高时，短 时间内另一面的感觉有何不 同？
2. 其它坐标系中的导热微分方程式
1） 圆柱坐标系（r, , z）
Ⅰ三个方向净导入的热量:
Φc
[ x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t )]dxdydz z
Ⅱ 微元体内热源生成的热量
q v dxdydz
Ⅲ 微元体热力学能（内能）的增量
c
t
dxdydz
4) 导热微分方程的基本形式
c t
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t ) z
qv
非稳态项
三个坐标方向净导入的热量
3) 推导
建立坐标系，取分析对象，基于能量守恒
净导入微元体的总热流量 ＋内热源生成热
Ⅰ
Ⅱ
＝微元体热力学能的增量 Ⅲ
① 导入微元体的热量(Fourier Law)
沿x轴方向、经x处表面导入的热量：
Φx
t x
dydz
Φx
② 导出微元体的热量
沿 x 轴方向、经 x+dx 处表面导出的热量
2
1
sin
(sin
t )
r2
1
sin2
(
t )
THANKS
x r cos ; y r sin ; z z
c t 1 (r t ) 1 ( t ) ( t ) r r r r 2 z z
2）球坐标系（r, ，）
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
c t
1 r2
r
(r2
dxdydz微元体内热源生成的热量微元体热力学能内能的增量dxdydz内热源项非稳态项三个坐标方向净导入的热量4导热微分方程的基本形式导热系数为常数无内热源稳态称为热扩散系数sthermaldiffusivity5对上式简化
导热微分方程
1. 导热微分方程 的推导 Heat Diffusion Equation
由定义式: a /( c )
分子: 是物体的导热系数， 越大，在相同温度梯度下，可以传导 更多的热量。 分母: 是热容，即单位体积的物体温度升高 1 ℃ 所需的热量。 c 越小，温度升高 1 ℃ 所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向 物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。
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内热源项
5）对上式简化：
① 导热系数为常数
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
Φ
c
式中， a /( c ) 称为热扩散系数
(m2/s)(thermal diffusivity)
② 导热系数为常数 、无内热源、稳态
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
--拉普拉斯方程
热扩散率
Φx x
dx
Φx
x
-
t x
dxdydz
净导入 x 方向的热量
Φx
Φxdx
x
t x
dxdydz
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Φxdx
同理可得：
净导入y方向的热量
Φy
Φydy
y
t y
dxdydz
净导入z 方向的热量
Φz
Φzdz
z
t z
dxdydz
建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式。
理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律。
（2）推导：
1) 物理问题描述：
三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外 其它形式的热量，如化学反应能、电能等）
2) 假设条件
a) 各向同性的连续介质； b) 、、c均为已知； c) 物体具有内热源（强度qv(w/m3)； d) 导热体与外界没有功的交换。
其的物理意义：
① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，ɑ也是材料 传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。
几何尺寸相同的铁板和木 板，当一面温度很高时，短 时间内另一面的感觉有何不 同？
2. 其它坐标系中的导热微分方程式
1） 圆柱坐标系（r, , z）
Ⅰ三个方向净导入的热量:
Φc
[ x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t )]dxdydz z
Ⅱ 微元体内热源生成的热量
q v dxdydz
Ⅲ 微元体热力学能（内能）的增量
c
t
dxdydz
4) 导热微分方程的基本形式
c t
x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t ) z
qv
非稳态项
三个坐标方向净导入的热量
3) 推导
建立坐标系，取分析对象，基于能量守恒
净导入微元体的总热流量 ＋内热源生成热
Ⅰ
Ⅱ
＝微元体热力学能的增量 Ⅲ
① 导入微元体的热量(Fourier Law)
沿x轴方向、经x处表面导入的热量：
Φx
t x
dydz
Φx
② 导出微元体的热量
沿 x 轴方向、经 x+dx 处表面导出的热量
2
1
sin
(sin
t )
r2
1
sin2
(
t )
THANKS
x r cos ; y r sin ; z z
c t 1 (r t ) 1 ( t ) ( t ) r r r r 2 z z
2）球坐标系（r, ，）
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
c t
1 r2
r
(r2
dxdydz微元体内热源生成的热量微元体热力学能内能的增量dxdydz内热源项非稳态项三个坐标方向净导入的热量4导热微分方程的基本形式导热系数为常数无内热源稳态称为热扩散系数sthermaldiffusivity5对上式简化
导热微分方程
1. 导热微分方程 的推导 Heat Diffusion Equation
由定义式: a /( c )
分子: 是物体的导热系数， 越大，在相同温度梯度下，可以传导 更多的热量。 分母: 是热容，即单位体积的物体温度升高 1 ℃ 所需的热量。 c 越小，温度升高 1 ℃ 所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向 物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。
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内热源项
5）对上式简化：
① 导热系数为常数
t
a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
Φ
c
式中， a /( c ) 称为热扩散系数
(m2/s)(thermal diffusivity)
② 导热系数为常数 、无内热源、稳态
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
--拉普拉斯方程
热扩散率
Φx x
dx
Φx
x
-
t x
dxdydz
净导入 x 方向的热量
Φx
Φxdx
x
t x
dxdydz
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Φxdx
同理可得：
净导入y方向的热量
Φy
Φydy
y
t y
dxdydz
净导入z 方向的热量
Φz
Φzdz
z
t z
dxdydz