2025届北京市东城区第五十五中学高考数学一模试卷含解析(1)

2025届北京市东城区第五十五中学高考数学一模试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤
2．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =
交于点N ，3
OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．若点位于由曲线
与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作
准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则
AF BF
=（ ）
A ．
54
B ．
43 C ．
32
D ．2
6．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5
A =,，{}2,3,4
B =，则集合()U
B A =( )
A ．{}1,2,6
B ．{}1,3,6
C ．{}1,6
D ．{}6
7．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李
B ．小王
C ．小董
D ．小李
8．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +
B ．66i -
C ．5i
D ．13
9．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
11．已知函数2
()ln(1)f x x x
-=
+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛
⎫=+∈> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将
()y f x =的图象( )
A ．向左平移
8
π
个单位长度 B ．向右平移
8
π
个单位长度 C ．向左平移4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若方程()0,1x
a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____________.
14．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____．
15．已知点(1,2)是双曲线2221(0)4
x y a a -=>渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______
16．已知函数()()2
21ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点. （1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）（文科）求三棱锥B EFC -的体积； （理科）求二面角P EC D --的正切值.
18．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．
乙生产线样本的频数分布表 质量指标 [15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45]
合计 频数
2
18
48
14
16
2
100
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率； （2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．
()20P K k ≥ 0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879
19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AB BB ⊥，1AC BC BB ==，D 为AB 的中点，
且1CD DA ⊥.
（1）求证：1BB ⊥平面ABC ； （2）求锐二面角11C DA C --的余弦值.
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是矩形，AD PD =，E ，F 分别是
CD ，PB 的中点.
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）设33AB BC ==， 求三棱锥P AEF -的体积.
21．（12分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数 3
2
1
实际付款 7折 8折 9折 原价
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？ 22．（10分）已知x ∈R ，设(2cos ,
sin cos )m x x x =+，(3sin ,sin cos )n x x x =-，记函数()f x m n =⋅.
（1）求函数()f x 取最小值时x 的取值范围；
（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =，3c =
△ABC 的面积S 的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】
因为该程序图是计算11111
246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 2、C 【解析】
设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 3
3t
OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零
点的个数,即为所求. 【详解】
设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫
⎪⎝⎭
,所以21,ln 33
3OM ON t OP t t +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1
ln 03t t
+=, 设1()ln 3g t t t =+,则22
1131()33t g t t t t -'=-=, 当103
t <<
时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当1
3t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,
所以min
1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫
=-+>=> ⎪⎝⎭
,
1
()ln 03g t t t
∴=+
=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【点睛】
本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 3、C 【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】
∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，
∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4、D 【解析】 画出曲线
与
围成的封闭区域，
表示封闭区域内的点
和定点
连线的斜率，然后结合图形
求解可得所求范围． 【详解】 画出曲线
与
围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点
连线的斜率， 设
，结合图形可得
或
， 由题意得点A,B 的坐标分别为，
∴，
∴或
，
∴
的取值范围为
．
故选D ． 【点睛】
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把
看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线
所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 5、C 【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得AFH 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()
cos 2p
BF πα=
-，
()
tan sin 2p AF α
πα=
-，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()
()
cos 2cos 2MF p
BF παπα=
=
--，
()
()
()
tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF αα
παπαπα=
=
=
---，
所以
()
2tan tan tan 13tan 2tan 222AF
BF αααπαα-====--.
故选：C 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 6、D 【解析】
根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】
{}1,2,3,4,5A B ⋃=，故可得
()U
B A ={}6.
故选：D. 【点睛】
本题考查集合的混合运算，属基础题. 7、D 【解析】
根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论. 【详解】
解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”， 而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾； 若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”， 否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”， 所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾； 若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的， 则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，
所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【点睛】
本题考查推理证明的实际应用.
8、A
【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.
【详解】
由复数的乘法法则得()()2
2332656125i i i i i +-=+-=+. 故选：A.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.
【详解】
输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052
n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则1682
n =
=，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842
n ==，314i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则422
n ==，415i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=； 1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，()()183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
11、A
【解析】
用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.
【详解】 设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22
g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e
g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确. 故选：A
【点睛】
本题考查了函数图像的性质，属于中档题.
12、A
【解析】
由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4
f x x π
=+ cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ cos 2()8
x π=-， 因此它的图象向左平移8
π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．
【名师点睛】
三角函数图象变换方法：
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、11e a e <<
【解析】
由x a x =知x ＞0，故ln ln ln 0ln x x a x a x ⋅-=⇒=
. 令()()ln 0x f x x x =>，则()21ln 'x f x x
-=. 当()0,x e ∈时，()'0f x >；当(),x e ∈+∞时，()'0f x <.
所以()f x 在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）上递减.
故()10ln a f e e <<=，即11e a e <<. 14、14π
【解析】
求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可.
【详解】 解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221224ππ=
=⨯⨯． 故答案为：
14π
． 【点睛】
本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.
155【解析】
先表示出渐近线，再代入点(1,2)，求出a ，则离心率易求.
【详解】 解：2221(0)4x y a a -=>的渐近线是22
20(0)4
x y a a -=> 因为(1,2)在渐近线上，所以22
20(0)4
12a a -=> 1(0)a a =>
22125c =+=，5c e a
== 故答案为：5
【点睛】
考查双曲线的离心率的求法，是基础题.
16、2-
【解析】
求导后代入1x =可构造方程求得()1f '，即为所求斜率.
【详解】
()()212f f x x x
''=+，()()1221f f ''∴=+，解得：()12f '=-， 即()y f x =在1x =处的切线斜率为2-.
故答案为：2-.
【点睛】
本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）（文）
36
（理）153 【解析】
（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，
∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，
又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，
又EF不在平面PAD内，AG在平面PAD内，
∴EF∥面PAD；
（2）（文）解：取AD中点O，连结PO，
∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，
又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，
故；
（理）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，
∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．
连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，
即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，
在Rt△EBC中，，
∴，
∴，
即二面角P-EC-D的正切值为．
【方法点晴】
本题主要考查线面平行的判定定理、二面角的求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
18、（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．
【解析】
(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次
K的观测值即可判断.
独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出2
【详解】
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：
0.03250.08050.03250.03650.9⨯+⨯+⨯+⨯=．
设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A ，事件A 发生的概率为p ，则由样本可估计0.9p =． 那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A 恰好发生2次，
其概率为：2235(1)0.0081C p p -=．
（2）22⨯列联表：
2K 的观测值2
200(9049610) 2.76518614100100
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ∵2.765 2.706>，()2 2.7060.100P K >=，
∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．
由（1）知甲生产线的合格率为0.9，
乙生产线的合格率为
184814160.96100+++=， ∵0.960.9>，
∴保留乙生产线较好．
【点睛】
此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.
19、（1）证明见解析；（2）
5
. 【解析】
（1）证明CD AB ⊥后可得CD ⊥平面11BB A A ，从而得1CD BB ⊥，结合已知得线面垂直；
（2）以C 为坐标原点，以CB 为x 轴，1CC 为y 轴，CA 为z 建立空间直角坐标系，设12CC =，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为AC BC =，D 为BC 中点，
所以CD AB ⊥，又1CD DA ⊥，1AB A D D =，
所以CD ⊥平面11AA B B ，又1BB ⊂平面11AA B B ，
所以1CD B B ⊥，又1B B AB ⊥，AB
CD D =，
所以1B B ⊥平面ABC .
（2）由已知及（1）可知CB ，1CC ，CA 两两垂直，所以以C 为坐标原点，以CB 为x 轴，1CC 为y 轴，CA 为z 建立空间直角坐标系，设12CC =，则 ()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,0,2A ，()10,2,0C ，()10,2,2A ，()1,0,1D .
设平面1DCA 的法向量()1111,,n x y z =，则
11100
n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令11z =-，则()11,1,1n =-； 设平面11DC A 的法向量()2222,,n x y z =，则
2121100
n C D n C A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222020x y z z -+=⎧⎨=⎩，令21y =，则()22,1,0n =，
所以121212s ,53c o n n
n n n n ==⋅=. 故锐二面角11C DA C --【点睛】
本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．
20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
34
【解析】
（Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ，根据平行四边形，可得//EF DG ，进而证得平面PAB ⊥平面PAD ，利用面面垂直的性质，得DG ⊥平面PAB ，又由//EF DG ，即可得到EF ⊥平面PAB .
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ， 由11//,,//,22
FG AB FG AB ED AB ED AB ==，可得//,FG ED FG ED =， 可得EDGF 是平行四边形，则//EF DG ，
又PD ⊥平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
∵AB AD AB ⊥⇒⊥平面PAD ，AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，
∵PD AD =，G 是PA 中点，则DG PA ⊥，而DG ⊂平面PAD DG ⇒⊥平面PAB ，
而//EF DG ，∴EF ⊥平面PAB .
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式， 得12P AEF B AEF F BAE P BAE V V V V ----=== 1123
BAE S PD ∆=⨯⨯⨯ 1113
32324
=⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
21、（1）
12（2）选择方案二更为划算 【解析】
（1）计算顾客获得7折优惠的概率118P =，获得8折优惠的概率238
P =，相加得到答案. （2）选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.
【详解】
（1）该顾客获得7折优惠的概率312148
P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 该顾客获得8折优惠的概率2223223448
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 故该顾客获得7折或8折优惠的概率12131882
P P P =+=+=. （2）若选择方案一，则付款金额为18020160-=.
若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.
323113(126),(144)828
P X P X C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭， 3310331311(162),(180)2828
P X C P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13311261441621801538888
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为160153>，所以选择方案二更为划算.
【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22、（1）|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-
∈⎨⎬⎩⎭；（2【解析】
(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f （x ）=2sin 26x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C 的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出3ab ≤，根据三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】
（1）()2223sin cos sin cos 2cos 22sin 26f x m n x x x x x x x π⎛
⎫=⋅=+-=-=- ⎪⎝⎭
. 令2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，即()6x k k Z ππ=-∈时，sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，()f x 取最小值， 所以，所求x 的取值集合是,6x x k k Z ππ⎧
⎫=-∈⎨⎬⎩⎭
； （2）由()2f C =，得sin 216C π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以112666C π
ππ
-<-<，所以262C π
π
-=，3C π
=.
在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，
得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，
所以ABC ∆的面积11sin 322S ab C =≤⨯=
的面积S
因此ABC
【点睛】
本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题.。