2023届江苏省南京市第一中学高三上学期数学模拟试卷

高2023届高三上第一次模拟考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合P={P|P≥−1,P∈P}，P={P|P≤4,P∈P}，则P∩P=( )
A. {P|−1≤P≤4}
B. {P|P∈P}
C. {−1,0,1,2,3,4}
D. {1,2,3,4}
2.已知P⃗=(−2,−1)，P⃗=(1,2)，若向量P⃗在向量P⃗上的投影向量为P⃗，则P⃗=( )
A. (−4√5
5,−8√5
5
) B. (4√5
5
,−8√5
5
)
C. (−8
5,−4
5
) D. (−4
5
,−8
5
)
3.已知2P2+PP−P<0的解集为(P,−1)(P<−1)，则P+P的值为( )
A. 1
B. 2
C. −1
D. −2
4.已知P，P是两条不同的直线，P是一个平面，则下列命题是真命题的为( )
A. 若P⊥P，P⊂P，则P⊥P
B. 若P⊥P，P//P，则P⊥P
C. 若P//P，P⊂P，则P//P
D. 若P//P，P//P，则P//P
5.已知圆P经过点P(1,0)，且与直线P=−1相切，则其圆心到直线P−P+3=0距离的最小
值为( )
A. 3
B. 2
C. √3
D. √2
6.现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入P、P两个封闭的盒子中，甲从
盒子P中，乙从盒子P中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子P中;若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子P中.按上述规则重复两次后，盒子P中恰有8个球的概率是( )
A. 17
70B. 17
35
C. 1
2
D. 1
16
7.(P3−1
P )(P−2
P
)5的展开式中的常数项为( )
A. 40
B. 60
C. 80
D. 120
8.已知定义域是P的函数P(P)满足：∀P∈P，P(4+P)+P(−P)=0，P(1+P)为偶函数，
P(1)=1，则P(2023)=( )
A. 1
B. −1
C. 2
D. −3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）
9.若复数P满足：P(P+2P)=8+6P，则( )
A. P的实部为3
B. P的虚部为1
C. PP=√10
D. P在复平面上对应的点位于第一象限
10.已知函数P(P)=P ln P，若0<P1<P2，则下列结论正确的是( )
A. P2P(P1)<P1P(P2)
B. P1+P(P1)<P2+P(P2)
C. P(P1)−P(P2)
P1−P2
<0
D. 当ln P>−1时，P1P(P1)+P2P(P2)>2P2P(P1)
11.已知P，P为正实数，且√PP=3√2P+P−4√2，则2P+P的取值可以为( )
A. 1
B. 4
C. 9
D. 32
12.下列不等式正确的是( )
A. log
23<log
4
9 B. log
2
3<lg15
C. log
812>log
12
15 D. log
8
12>log
6
3√6
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数P，P，则P+P>PP的概率为．
14.已知角P，P满足−P
2<P−P<P
2
，0<P+P<P，则3P−P的取值范围是．
15.已知点P为△PPP的边PP的中点，PP⃗⃗⃗⃗ =P⃗+P⃗，PP⃗⃗⃗⃗ =P⃗−2P⃗，|P⃗|=2|P⃗|=2，P⃗，P⃗的夹
角为P
3，则|PP
⃗⃗⃗⃗ |=．
16.已知函数P=P−2P+1的图象与函数P=ln(−P−1)−3
2
的图象关于某一条直线P对称，若P，P分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知等差数列P P的前P项和为P P，P1=2，P4=26.正项等比数列{P P}中，P1=2，P2+P3=
12．
(1)求{P P}与{P P}的通项公式;
(2)求数列{P P P P}的前P项和P P．
18.在△PPP中，已知角P，P，P的对边分别为P，P，P，且2P sin P cos P−2P cos P sin P=√3P.
(1)求角P的大小;
(2)若△PPP为锐角三角形，且P=2P，P=1，求△PPP的面积．
19.若X∽N(P,P2),从X的取值中随机抽取k(k∈P∗,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为
Y,则随机变量Y∽N(P,P2
P
),以下问题的求解中可以利用这一结论.
根据以往的考试数据,某学校高三年级数学模考成绩X~N(100,52),设从X的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y.现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为P1,P2,P3,⋯,P25,P1+P2+⋯+P10=901.5,P16+P17+⋯+P25=1048,其余5个数分别为
97,97,98,98,98.
(1)求P1,P2,P3,⋯,P25的中位数及平均值;
(2)求P(98≤Y≤103).
附:随机变量P服从正态分布N(P,P2),则P(P-P≤P≤P+P)=0.6827,P(P-2P≤P≤
P+2P)=0.9545,P(P-3P≤P≤P+3P)=0.9973.
20.在三棱锥PPPP中，已知平面PPP⊥平面PPP，且PP=√6，PP=√2，PP=2√2，PP⊥PP．
(1)求证：PP⊥平面PPP;
(2)若P为△PPP的重心，PP=√3，求平面PPP与平面PPP所成锐二面角的正弦值．
21.已知椭圆P:P2
P2+P2
P2
=1(P>P>0)的右焦点与抛物线P2=4P的焦点重合，且椭圆P截抛物
线的准线得到的弦长为3．
(1)求椭圆P的标准方程;
(2)设两条不同的直线P与直线P交于P的右焦点P，且互相垂直，直线P交椭圆P于点P，P，直线P交椭圆P于点P，P，探究：P、P、P、P四个点是否可以在同一个圆上⋅若可以，请求出所有这样的直线P与直线P;否则请说明理由．
22.设P(P)=ln(P+1)−P−P3
3，P(P)=PP2，P∈[−1
2
,1)．
(1)求P(P)的单调区间;
(2)证明：当P≥−1
2
时，P(P)≤P(P)．
高2023届高三上第一次模拟考试数学试题参考答案1.【答案】P
【解析】
【分析】
本题考查交集的运算，属于基础题．
【解答】
解：由题意可知，P∩P={−1,0,1,2,3,4}．
2.【答案】P
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量坐标运算，投影向量的定义，属于基础题．
【解答】
解：P⃗=|P⃗|cos P P⃗
|P⃗|=(P⃗⋅P⃗)P⃗
|P⃗|2
=(−4
5
,−8
5
).
3.【答案】P
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式解法，属于基础题．
【解答】
解：因为2P2+PP−P<0的解集为(P,−1)(P<−1)，所以P=−1为方程2P2+PP−P=0的一个根，所以P+P=2．
4.【答案】P
【解析】
【分析】
本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查.根据题意，依次分析选项：P，根据线面垂直的判定定理判断；P：由线面垂直的性质定理判断，由线面平行的性质判断P，P，综合可得答案．
【解答】
解：P：根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
P：P//P，P⊂P，则P//P或两线异面，故不正确；
P：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确；
P：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选B．
5.【答案】P 【解析】 【分析】
本题考查了直线与抛物线位置关系及其应用，涉及抛物线的定义、抛物线的标准方程、点到直线的距离、与圆相关的轨迹问题等，属中档题． 【解答】
解：依题意，设圆P 的圆心P (P ,P )，动点P 到点P 的距离等于到直线P =−1的距离，根据抛物线的定义可得圆心P 的轨迹方程为P 2=4P ，设圆心P 到直线P −P +3=0距离为P ，P =
√2
=
|14
P 2−P +3|
√2
=
24√2
=
24√2
，当P =2时，P min =√2．
6.【答案】P 【解析】 【分析】
本题考查了古典概型及其计算，属于中档题． 【解答】
解：若两次取球后，盒子P 中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色． 若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为3
6×3
6=1
4，则第一次取球后盒子P 中有4个红球和3个白球，盒子P 中有2个红球和3个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为
47
×2
5+3
7×3
5=17
35，故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子P 有8个球的概率为1
4
×17
35=17
140，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，盒子P 中有8个球的概率为17
140
，所以两次取球后，盒子P 中恰有8个球的概率是17
140+17
140=17
70． 7.【答案】P 【解析】 【分析】
本题主要考二项展开式的通项公式，属于基础题． 【解答】
解：在(P −2
P )5的展开式中，P P +1=(−1)P P 5P 5−P (2
P )P =(−2)P P 5P P 5−2P ，(P 3−1
P )(P −2
P )5的展
开式中常数项为(−2)4P 54−(−2)2P 52=40．
8.【答案】P 【解析】 【分析】
本题考查函利用函数的奇偶性，对称性，周期性，求解函数值，属于中档题． 【解答】
解：因为P(1+P)为偶函数，所以P(P)的图象关于直线P=1对称，所以P(2−P)=P(P)，又由P(4+P)+P(−P)=0，得P(4+P)=−P(−P)，所以P(8+P)=−P(−4−P)=−P(6+P)，所以P(P+2)=−P(P)，所以P(P+4)=P(P)，故P(P)的周期为4，所以P(2023)=P(3)=
−P(1)=−1．
9.【答案】PPP
【解析】
【分析】
本题考查了复数的概念、复数的代数表示及其几何意义、复数的运算、复数相等、复数的模、共轭复数等知识，属基础题．
【解答】
解：设P=P+PP(P,P∈P)，因为P(P+2P)=8+6P，所以PP+2PP=8+6P，所以(P2+P2−2P)+2PP=8+6P，所以P2+P2−2P=8，2P=6，所以P=3，P=1，所以P=3+P，所以P的实部为3，虚部为1，故A，B正确;
PP=|P|2=10，故C不正确;
P在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D正确．
10.【答案】PP
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与函数不等式，属于中档题．
根据P(P)=P(P)
P
=ln P的单调性判断P；根据P(P)=P(P)+P的单调性判断P；根据P(P)=P ln P 的单调性判断P；根据条件得到ln P>−1时，P(P)单调递增，得到(P2−P1)(P(P2)−P(P1))>0，判断P．
【解答】
解：设P(P)=P(P)
P
=ln P，函数P(P)在(0,+∞)上单调递增，则P(P2)>P(P1)，
即P(P2)
P2>P(P1)
P1
，∴P1P(P2)>P2P(P1)，故P正确；
设P(P)=P(P)+P，∴P′(P)=ln P+2，
则函数P(P)在(0,+∞)上不单调，故P错误；
P(P)=P ln P，∴P′(P)=ln P+1，
则函数P(P)在(0,+∞)上不单调，故P错误；
ln P>−1，故P′(P)=ln P+1>0，此时函数单调递增，
故(P2−P1)(P(P2)−P(P1))=P1P(P1)+P2P(P2)−P2P(P1)−P1P(P2)>0，即P1P(P1)+P2P(P2)>P2P(P1)+P1P(P2)，
∵P(P2)
P2=ln P2>P(P1)
P1
=ln P1，
∴P1P(P2)>P2P(P1)，
即P1P(P1)+P2P(P2)>2P2P(P1)，P正确，
故选PP．
11.【答案】PP
【解析】
【分析】
本题考查了由基本不等式求最值与取值范围，属于中档题．【解答】
解：因为P，P为正实数，√PP=3√2P+P−4√2，所以3√2P+P−4√2=√PP=√2PP
√2≤
2√2
，
当且仅当2P=P时等号成立，即3√2P+P−4√2≤
2√2
，所以(2P+P)−6√2√2P+P+16≥0，所以√2P+P≥4√2或√2P+P≤2√2，因为P，P为正实数，√PP=3√2P+P−4√2，所以
3√2P+P−4√2>0，所以√2P+P≥4√2或4√2
3<√2P+P≤2√2，所以2P+P≥32或32
9
<
2P+P≤8.
12.【答案】PP
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数比较大小，涉及利用导数判断函数的单调性、对数运算、换底公式等知识，属较难题．
【解答】
解：选项A:log
23=log
22
32=log49，故不正确;
设P(P)=log
2P (3P)(P≥1)，因为P≥1，所以P′(P)=[ln(3P)
ln(2P)
]′=
3ln(2P)
3P
−2ln(3P)
2P
ln2(2P)
=ln(2P)−ln(3P)
P ln2(2P)
<0，
所以P(P)在[1,+∞)上单调递减，
所以选项B:P(1)=log
23>log
10
15=lg15=P(5)，故不正确;
选项C:P(4)=log
812>P(5)=log
10
15>log
12
15，故正确;
选项D:P(4)=log
812>P(18)=log
36
54=log
6
3√6，故正确．
13.【答案】1
2
【解析】
【分析】
本题考查古典概型概率公式，属于基础题
【解答】
解：取出的6组数分别为1，3;1，5;1，7;3，5;3，7;5，7，其中有3组1，3;1，5;1，7满足P+P>PP，
所以P+P>PP的概率为3
6=1
2
．
14.【答案】(−P ,2P )
【解析】本题考查了不等式的性质，考查角范围．
易得3P −P =2(P −P )+(P +P )，根据−P
2<P −P <P
2，0<P +P <P ，结合不等式的性质即可得到答案． 15.【答案】√132
【解析】 【分析】
本题考查了利用向量的数量积求向量的模，涉及向量的线性运算、向量的数量积的概念及其运算等知识，属中档题． 【解答】
解：因为2PP ⃗⃗⃗⃗ =PP ⃗⃗⃗⃗ +PP ⃗⃗⃗⃗ ，所以(2PP ⃗⃗⃗⃗ )2=(PP ⃗⃗⃗⃗ +PP ⃗⃗⃗⃗ )2，所以4|PP ⃗⃗⃗⃗ |2=(2P ⃗ −P ⃗ )2=4|P ⃗ |2+|P ⃗ |2−4P ⃗ ⋅P
⃗ =16+1−4×2×1×cos P 3
=13，所以|PP ⃗⃗⃗⃗ |=√132
． 16.【答案】√2(4+ln 2)2
【解析】 【分析】
本题考查导数的几何意义的应用，，考查函数的对称问题，考查转化思想和计算能力，属于较难题． 【解答】
解：令P =−P −1，则P =−P −1，P =P 2P +3，P =ln P −32
，
因为P =P 2P +3与P =
ln P −32
关于直线P =P 对称，
所以函数P =P −2P +1与函数P =
ln (−P −1)−3
2
关于直线P =−P −1对称，
所以P ，P 两点之间距离的最小值等于P 到直线P =−P −1距离最小值的2倍， 函数P =P −2P +1在P (P 0,P 0)点处的切线斜率为P =−2P −2P 0+1， 令−2P −2P 0+1=−1得P 0=
1+ln 22
，P 0=1
2，
所以点P 到直线P =−P −1距离的最小值为P =|
1+ln 22+1
2
+1|√2
=
√2(4+ln 2)4
，
所以这两点之间距离的最小值为2P =√2(4+ln 2)2
．
17.【答案】解：(1)设公差为P ， 由已知得，4×2+
4×32
P =26，解得P =3，
所以P P =P 1+(P −1)P =2+3(P −1)=3P −1， 即{P P }通项公式为P P =3P −1;
设正项等比数列{P P}的公比为P，因为P1=2，P2+P3=12，
所以2(P+P2)=12，所以P2+P−6=0，
解得P=2或P=−3(负值舍去)，
所以P P=2P．
(2)P P P P=(3P−1)2P，
所以P P=2×21+5×22+8×23+⋯+(3P−4)2P−1+(3P−1)2P，
所以2P P=2×22+5×23+8×24+⋯+(3P−4)2P+(3P−1)2P+1，
相减得，−P P=2×21+3×22+3×23+3×24+⋯+3⋅2P−(3P−1)2P+1
=2×21+3×22×(1−2P−1)
1−2
−(3P−1)2P+1，
所以P P=(3P−4)2P+1+8．
【解析】本题考查等差数列，等比数列的通项公式的求解，利用错位相减求解前P项和，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由正弦定理和2P sin P cos P+2P cos P sin P=√3P得，
4P sin P sin P cos P+4P sin P cos P sin P=2√3P sin P，
因为sin P≠0，所以sin P cos P+sin P cos P=√3
2
，
所以sin(P+P)=√3
2，即sin P=√3
2
，
因为P∈(0,P)，所以P=P
3或2P
3
．
(2)因为三角形PPP为锐角三角形，所以P=P
3
，
由余弦定理得，P2=P2+P2−2PP cos P，
因为P=2P，P=1，所以12=P2+4P2−2P⋅2P⋅cos P
3
，
所以P=√3
3，P=2√3
3
，
所以三角形PPP的面积为1
2PP sin P=1
2
×√3
3
×2√3
3
×√3
2
=√3
6
．
【解析】本题考查了解三角形的综合应用，涉及了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．19.【答案】解:(1)由已知得,有10个数不超过97,有10个数不低于98,中间的5个数为
97,97,98,98,98,
所以P1,P2,P3,⋯,P25的中位数为98,进一步由已知得P1,P2,P3,⋯,P25的平均值为
901.5+97×2+98×3+1048
25
=97.5.
(2)由题意知Y~N(100,52
25
),即Y~N(100,1),
因为P(98≤Y≤102)=0.9545,
P(97≤Y≤103)=0.9973,
所以P(98≤Y≤103)=1
2[P(98≤Y≤102)+P(97≤Y≤103)]=1
2
(0.9545+0.9973)=0.9759.
【解析】本题考查了正态分布的概率、平均数、中位数等知识，属中档题. 20.【答案】(1)证明：因为PP =√6，PP =√2，PP =2√2，所以PP 2+PP 2=PP 2， 所以PP ⊥PP ，
又因为平面PPP ⊥平面PPP ，
平面PPP ∩平面PPP =PP ，因为PP ⊂平面PPP ， 所以PP ⊥平面PPP ，因为PP ⊂平面PPP ， 所以PP ⊥PP ，
又因为PP ⊥PP ，PP ∩PP =P ， 所以PP ⊥平面PPP ．
(2)解：因为PP ⊥平面PPP ，PP ⊂平面PPP ，所以PP ⊥PP ， 因为PP =√3，PP =√6，所以PP =√3，PPPP =P
4，
以P 为坐标原点，直线PP ，PP 分别为P ，P 轴，在平面PPP 内过点P 与PP 垂直的直线为P 轴建立空间直角坐标系，
所以P (0,0,0)，P (√62,√62,0)，P (√6,0,0)，P (0,0,√2)，所以P (√62,√66,√23)，所以PP ⃗⃗⃗⃗ =(√62,√6
2,0)， PP
⃗⃗⃗⃗ =(√62
,√66
,√23
)， 平面PPP 的一个法向量为P 1⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面PPP 的一个法向量为P 2⃗⃗⃗ =
(P ,P ,P )，所以{√6
2P +√62P =0,√6
2
P +
√66
P +
√23
P =0
， 取P =1，P =−1，则P =−√3，所以P 2⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)， 设平面PPP 与平面PPP 所成的锐二面角为P ， 所以|cos P |=
|P 1⃗⃗⃗ ⋅P 2⃗⃗⃗ |
|P 1⃗⃗⃗ ||P 2⃗⃗⃗⃗⃗ |
=1×
√
5
=
√
5，所以sin P =√1−(√5
)2=2√55
，
即平面PPP 与平面PPP 所成锐二面角的正弦值为2√55
．
【解析】本题考查了线面垂直的判定，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)抛物线P2=4P的焦点坐标为(1,0)，准线方程为P=−1，设P=√P2−P2，由已知得P=1，2P2
P
=3，解得P=2，P=√3，
则椭圆P的标准方程为P2
4+P2
3
=1．
(2)因为两条不同的直线P与P直线均过椭圆的右焦点(1,0)，且互相垂直，
由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线P为P=P(P−1)，直线P为P=−1
P
(P−1)，其中P≠0，
P(P1,P1)，P(P2,P2)，P(P3,P3)，P(P4,P4)，
将直线P的方程代入椭圆方程P2
4+P2
3
=1得，
(3+4P2)P2−8P2P+(4P2−12)=0，
所以P
1+P2=8P2
3+4P2
，P
1
P2=4P2−12
3+4P2
，
若P、P、P、P四个点可以在同一个圆上，则PP⋅PP=PP⋅PP，
所以√1+P2|1−P1|⋅√1+P2|1−P2|=√1+1
P2|1−P3|⋅√1+1
P2
|1−P4|，
所以P2(1−P1)(P2−1)=(1−P3)(P4−1)，所以P2[−P1P2+(P1+P2)−1]=[−P3P4+(P3+ P4)−1]，
−P1P2+(P1+P2)−1=−4P2−12
3+4P2+8P2
3+4P2
−1=9
3+4P2
，同理−P
3
P4+(P3+P4)−1=9P2
3P2+4
，
所以P2⋅9
3+4P2=9P2
3P2+4
，
则3+4P2=3P2+4，所以P=±1，
此时存在这样的直线P与直线P，其方程为P=P−1和P=−P+1．
当直线P的斜率为0或斜率不存在时，P，P，P，P显然不在同一个圆上．
综上，存在这样的直线P与直线P，其方程为P=P−1和P=−P+1．
【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系，涉及抛物线以及圆的相关知识，属困难题．
22.【答案】解：(1)P′(P)=1
P+1−1−P2=−P(P2+P+1)
P+1
，
∵P∈[−1
2
,1)，
令P′(P)>0，得P∈[−1
2
,0);令P′(P)<0，得P∈(0,1);
所以P(P)的单调递增区间为[−1
2
,0]，单调递减区间为[0,1)．
(2)解法一：设P(P)=P(P)−P(P)=ln(P+1)−P−PP2−P3
3
，若证P(P)≤P(P)成立，即证P(P)max≤0.
P′(P)=1
P+1−1−2PP−P2=−P[P2+(2P+1)P+(2P+1)]
P+1
，
△=(2P+1)2−4(2P+1)=(2P+1)(2P−3)，
当−1
2≤P≤3
2
时，△≤0，所以P2+(2P+1)P+2P+1≥0，当P∈[−1
2
,0)时，P′(P)>0，P(P)
单调递增，
当P∈(0,1)时，P′(P)<0，P(P)单调递减，所以P(P)max=P(0)=0≤0成立．当P>3
2
时，△>0，令P=P2+(2P+1)P+(2P+1)，
则P=P2+(2P+1)P+(2P+1)对称轴为直线P=−2P+1
2<−2，所以当P∈[−1
2
,1)时，
函数P=P2+(2P+1)P+(2P+1)单调递增，当P=−1
2时，取最小值P+3
4
>0，
所以P2+(2P+1)P+2P+1>0，所以当P∈[−1
2
,0)时，P′(P)>0，P(P)单调递增，当P∈(0,1)时，P′(P)<0，P(P)单调递减，P(P)max=P(0)=0≤0，
综上：当P≥−1
2
时，P(P)max=P(0)=0≤0.
即P(P)≤P(P)．
解法二：ln(1+P)−P−P3
3
≤PP2，
ln(1+P)−P−P3
3−PP2≤0，P≥−1
2
，PP2≥−1
2
P2，
只需证ln(1+P)−P−P3
3+1
2
P2≤0对P∈[−1
2
,1)恒成立，
构造P(P)=ln(1+P)−P−P3
3+1
2
P2，P(0)=0，
P′(P)=1
1+P −P2−1+P=−P3
1+P
，
∴可知P(P)在P∈[−1
2
,0)单调递增，在(0,1)单调递减，
∴P(P)≤P(0)=0，∴当P≥−1
2
时，P(P)≤P(P)成立．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调区间，利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，属于较难题．。