高一数学幂函数、分式函数人教实验版(A)知识精讲

高一数学幂函数、分式函数人教实验版（A ）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
幂函数、分式函数
二. 重点、难点：
1. 幂函数 α
x y =α为常数
（1）在（+∞,0）上有意义 （2）0>α在（0，∞+）↑
0<α在（0，∞+）↓
（3）过定点（1，1）
（4）若定义域关于原点对称，具有奇偶性 2. 分式函数
q p
x k
d cx b ax y ++=++=
（0≠c ）
（1）以（q p ,-）为对称中心
（2）以p x -=，q y =为渐近线，双曲形图象 （3）定义域：R x ∈且p x -≠ （4）值域：R y ∈且y q ≠
（5）0>k 时，↓+∞---∞),(),,(p p 0<k 时，↑+∞---∞),(),,(p p
【典型例题】
[例1] 研究0
x y =，2
-=x y ，32x y =，3
1x y =的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数
图象。

解：
①0
x y = 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 值域：}1{ 单调性：无 奇偶性：偶 ②2-=x
y 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 值域：（0，+∞） 单调性：（∞-，0）↑
（0，+∞）↓ 奇偶性：偶
③3
2x y = 定义域：R 值域：),0[+∞ 单调性：↓-∞)0,( （0，+∞）↑ 奇偶性：偶
④31x y = 定义域：R 值域：R 单调性：↑R 奇偶性：奇
[例2] 画出函数1
3
2++=
x x y 的图象并指出其对称中心。

解：1
1
2132++
=++=x x x y 对称中心（2,1-） 一般地：)0(≠++=a b
ax d
cx y a c a
b x k ++
=
对称中心为（a c
a b ,-）
反比例函数x k y =向左平移a b 个单位，向上平移a c
个单位
得b ax d
cx a c a
b x k y ++=++
=
[例3] 研究函数x
x y 1
+
=的图象性质。

解：+
=x y x
1
),0()0,(+∞⋃-∞∈x ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y ↑+∞--∞),1(),1,(↓-)1,0(),0,1( 奇函数
[例4]
（1）)(x f y =与)(x f y -=的图象关于对称；
（2）)(x f y =与)(x f y -=的图象关于对称； （3）)(x f y =与)(x f y --=的图象关于对称； （4）)(x f y =向左平移a 个单位向上平移b 个单位得。

解：
（1）y 轴 （2）x 轴 （3）原点 （4）b a x f y ++=)(
[例5] )(x f y =，R x ∈满足
（1）)()(x f x f =-，则)(x f y =的图象关于对称； （2）)()(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于对称； （3）)()(x a f x a f +=-，则)(x f y =的图象关于对称。

解：
（1）y 轴 （2）原点 （3）a x =
[例6] 任取),0(21+∞∈≠x x ，使
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +<+成立的函数是（ ）
A. x y =
B. 2x y =
C. x y 2=
D. x y 2
1log =
答案：A
解析：上凸函数
[例7] ),0(,+∞∈b a ，b a <，使命题：若k a f >)(，k b f >)(，则],[b a x ∈，k x f >)(恒成立为真命题的函数是（ ）
A. 2
1x y = B. 2x y = C. x
y 2= D. x y 2
1log =
答案：A
[例8] 已知函数)(log x
x a b a y -=（01>>>b a ）
（1）求定义域 （2）单调性
（3）b a ,满足何种关系时，0)(>x f 的解为（1，+∞） 解：
（1）0>-x
x
b a x
x
b a >0)(1)(b
a b
a x
=>∴ 定义域为),0(+∞
（2）↑=x a y ↑-=x b y ∴↑-=x
x b a y ↑=x y a log
∴↑-=)(log x
x a b a y
（3）0)(>x f 解为（1，+∞）
∵)(x f y =在（0，∞+）上↑∴=)1(f 0 ∴1log 0)(log a a b a ==- ∴1+=b a
[例9] 方程22
2=+-x x
的实数解有个。

解：2)2
1(2
+
-=x x
∴ 两解
[例10] ↑+∞∈=),0(),(x x f y ，任意21,x x 均有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，1)2(=f ，解不等式2)3()(≤-+x f x f 。

解：2)2()2()4(=+=f f f 2)3()(≤-+x f x f 即：)4()]3([f x x f ≤-
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->->430302x x x x 解为43≤<x
【模拟试题】
1. 函数2
)1ln()(x
e x
f x
-
+=为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶 D. 非奇非偶
2. c b a ,,依次为方程x x x x
2
12log ,0log ,02==+=x 的实根，则c b a ,,之间大小关系是
（ ）
A. c a b >>
B. a b c >>
C. c b a >>
D. a c b >> 3. 函数x x x x f 2)(-=为（ ） A. 偶函数且在（1,1-）上↑ B. 奇函数且在（1,1-）上↑ C. 偶函数且在（1,1-）上↓ D. 奇函数且在（1,1-）上↓
4. 21
)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上↑，则a 的取值X 围是。

5. 函数x
x
y -+=22lg 的图象关于（ ）对称。

A. 原点
B. x 轴
C. y 轴
D. 2=x
6. 2213)3
1()(x x x f y --==，5
223)(-+==x x x g y ，若)()(x g x f >，则x 的取值X 围为。

7. 21,x x 为方程053)2(2
2
=+++--k k x k x 的两实根（R k ∈）求2
22
1x x +的最值。

参考答案
1. B
2. D
3. D
4. ),2
1(+∞ 5. A
6. 5
21322132223
3)3
1(-++--->=x x x x x x ∴5213222-+>+-x x x x 0652>+-x x ∴),3()2,(+∞⋃-∞∈x
7. 16163)53(4)2(2
22---=++--=∆k k k k k 0)4)(43(≥++-=k k
∴]34
,4[--∈k
212212
2212)(x x x x x x -+=+)53(2)2(22++--=k k k 6102---=k k 19)5(2++-=k
]34,4[--∈k ↑∴4-=k 18)(max 2
2
21=+x x 34-=k 9
50)(min 2
221=
+x x。