长春市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

长春市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
2． 点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2
+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
3． 等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ） A ．3
B
．
C ．
±
D ．以上皆非
4． 将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 5． 已知命题:()(0x
p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44
q x ππ
∀∈，sin cos x x >.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧
6． 设函数()(
)2
1,141
x x f x x ⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）
A ．(][],20,10-∞-
B ．(][],20,1-∞-
C ．(]
[],21,10-∞- D ．[][]2,01,10-
7． 设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的
取值范围是（ ）
A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭1111] 8． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）
A.32
-
B.1-
C. 2-
D. 3-
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 9． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 10．函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是（ ） A ．[1，6] B ．[﹣3，1] C ．[﹣3，6] D ．[﹣3，+∞） 11．全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，x 2≤0
B ．∃x ∈R ，x 2＞0
C ．∃x ∈R ，x 2＜0
D ．∃x ∈R ，x 2≤0
12．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f （x ），若f （x ）的导函数存在且满足，则下列不等
式成立的是（ ）
A ．3f （2）＜2f （3）
B ．3f （4）＜4f （3）
C ．2f （3）＜3f （4）
D ．f （2）＜2f （1）
二、填空题
13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()2
1ln 2
f x x x =
-的单调递减区间为__________. 14．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
16．若复数34
sin (cos )i 55
z αα=-
+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．
17．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
18．不等式()2110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=在（，f （））处的切线方程为8x ﹣9y+t=0（m ∈N ，t ∈R ）
（1）求m 和t 的值；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．
20．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．
21．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，111a b ==，且3336b S =，
228b S =（*n N ∈）．
（1）求n a 和n b ； （2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和n T ．
22．已知曲线C 1
的参数方程为
曲线C 2的极坐标方程为ρ
=2
cos （θ
﹣
），以极点为坐标
原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 2的直角坐标方程；
（2）求曲线C 2上的动点M 到直线C 1的距离的最大值．
23．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求证二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B
，并求
的值．
24．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
长春市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
2．【答案】A
【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．
由图可得面积S==+=+2．
故选：A．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．3．【答案】C
【解析】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，
∴a3a9=3，
又数列{a n}是等比数列，
则a
6
2=a
3
a9=3，即a6=±．
故选C
4．【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x
f的图象向左平移
4
π
个单位得到函数)
4
(
π
+
x
f的图
象，再将)4(π+
x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f 3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
5． 【答案】D
【解析】
考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用. 6． 【答案】A 【解析】
考
点：分段函数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 7． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函
数()()()21,x
g x e
x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为
存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.
8． 【答案】D
【解析】易知周期112()1212T π5π=-=π，∴22T ωπ==.由52212k ϕπ⨯+=π（k ∈Z ），得526
k ϕπ
=-+π
（k Z ∈），可得56ϕπ=-，所以5()2cos(2)6f x x π=-
，则5(0)2cos()6
f π
=-=，故选D. 9． 【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行
证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D 选项中的命题是错误的 故选D
10．【答案】C
【解析】解：y=x 2﹣4x+1=（x ﹣2）2
﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 ∴函数 y=x 2
﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
故选C
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置关系，仔细作答
11．【答案】D
【解析】解：命题：∀x ∈R ，x 2
＞0的否定是：
∃x ∈R ，x 2
≤0．
故选D ．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
12．【答案】A
【解析】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴f′（x）＜0，
又∵＞x，
∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，
设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵＞x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）＜0．
∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴＞⇔＞0⇔2f（3）﹣3f（2）＞0⇔2f（3）＞3f（2），故A正确；
由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；
同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；
1•f（2）＞2f（1），排除D；
故选A．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，求得[]′＜0是关键，考查等价转化思想与分析推理能力，属于中档题．
二、填空题
0,1
13．【答案】()
【解析】
14．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.
15．【答案】7
【
解
析
】
16．【答案】34
-
【解析】由题意知3sin 05α-=，且4cos 05α-≠，所以4cos 5α=-，则3tan 4
α=-. 17．【答案】 ﹣4 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=
，
∴f （﹣2）=4﹣2
=
，
f （f （﹣2））=f （）=
=﹣4．
故答案为：﹣4．
18．【答案】1a = 【解析】
试题分析：因为不等式()2
110ax a x +++≥恒成立，所以当0a =时，不等式可化为10x +≥，不符合题意；
当0a ≠时，应满足2
(1)40
a a a >⎧⎨
∆=+-≤⎩，即2
0(1)0
a a >⎧⎨
-≤⎩，解得1a =.1
考点：不等式的恒成立问题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）的导数为f ′（x ）=，
由题意可得，f （）=，f ′（）=，
即
=
，且
=，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+﹣，x≥．
h（）=﹣≥0，即a≥，
h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①
若≤x≤，设g（x）=a﹣，
g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，
则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a＜时，h（）＜0，不合题意．
综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
20．【答案】
【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，
在Rt△EOF中，，
∴，
∴
依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}
【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．
21．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=或1(52)3n a n =-，16n n b -=；（2）21
n n +. 【解析】
试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为，
由题意得2(33)36,(2)8,
q d q d ⎧+=⎨+=⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩或2,
36.d q ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴21n a n =-，12n n b -=或1
(52)3
n a n =-，16n n b -=．
（2）若+1n n a a <，由（1）知21n a n =-，
∴111111()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111(1)2335212121
n n
T n n n =-+-++-=-++…．
考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用. 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ
）
，…
即ρ2
=2（ρcos θ+ρsin θ）， ∴x 2+y 2
﹣2x ﹣2y=0，
故C 2的直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2
=2．…
（Ⅱ）∵曲线C1的参数方程为，
∴C1的直角坐标方程为，
由（Ⅰ）知曲线C2是以（1，1）为圆心的圆，
且圆心到直线C1的距离，…
∴动点M到曲线C1的距离的最大值为．…
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到曲线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
23．【答案】
【解析】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴，，．
设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．
则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．
===．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，
∴=，=（0，3，﹣4），
∵，∴，
∴，解得t=．
∴．
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
24．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．。