菲翔学校高二数学理寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用知识精讲 试题

墨达哥州易旺市菲翔学校高二数学理寒假专题——数列：等差数列与等比数列
的性质及其应用苏
【本讲教育信息】
一.教学内容：
寒假专题——数列：等差数列与等比数列的性质及其应用
二.本周教学目的：
〔1〕理解数列的概念，理解数列通项公式的意义，理解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

〔2〕理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。

〔3〕理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题。

三.本周知识要点：
1.一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n
=⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+〔n －1〕d ，a n =a k +〔n －k 〕d 〔其中a 1为首项、a k 为的第k 项〕当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。

3.等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n +S n =d n n na n 2)1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时〔a 1≠0〕，S n =na 1是关于n 的正比例式。

4.等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1
212--n S n
5.等差中项公式：A=2
b a +〔有唯一的值〕 6.等比数列的通项公式：a n =a 1q n －1a n =a k q n －k 〔其中a 1为首项、a k 为的第k 项，a n ≠0〕
7.等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =na 1〔是关于n 的正比例式〕；
当q≠1时，S n =q q a n --1)1(1S n =q q a a n --11 8.等比中项公式：G=ab ±〔ab>0，有两个值〕
9.等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m －S 3m 、……仍为等差数列。

10.等差数列{a n }中，假设m+n=p+q ，那么q p n m
a a a a +=+ 11.等比数列{a n }中，假设m+n=p+q ，那么q p n m a a a a ⋅=⋅
12.等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m －S 3m 、……仍为等比数列〔m 为偶数且公比为－1的情况除外〕。

13.两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n －b n }仍为等差数列。

14.两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列。

15.等差数列{a n }的任意等间隔的项构成的数列仍为等差数列。

16.等比数列{a n }的任意等间隔的项构成的数列仍为等比数列。

17.三个数成等差的设法：a －d ，a ，a+d ；四个数成等差的设法：a －3d ，a －d ，a+d ，a+3d
18.三个数成等比的设法：a/q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3，a/q ，aq ，aq 3〔因为其公比为2q >0，对于公比为负的情况不能包括〕
19.{a n }为等差数列，那么{}n
a c 〔c>0〕是等比数列。

20.{
b n }〔b n >0〕是等比数列，那么{log
c b n }〔c>0且c ≠1〕是等差数列。

【典型例题】
例1.公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，求公比q
解：设等差数列的通项a n =a 1+〔n －1〕d 〔d ≠0〕
根据题意得a 32=a 2a 6即〔a 1+2d 〕2
=〔a 1+d 〕〔a 1+5d 〕 解得d a 2
11-= 所以.32
122121123=+-+-=++==d d d d d a d a a a q 例2.设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足:a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n ，b n 。

解：依题意得：
2b n+1=a n+1+a n+2①
a 2
n+1=b n b n+1② ∵a n 、b n 为正数，由②得21211
,+++++==n n n n n n b b a b b a 代入①并同除以
1+n b 得：212+++=n n n b b b ∴}{n b 为等差数列
∵b 1=2，a 2=3，2
9,22122==b b b a 则 ∴2
)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ∴当n ≥2时，2
)1(1+==-n n b b a n n n 又a 1
=1，当n=1时成立，∴2)1(+=n n a n 例3.在等比数列{a n }的前n 项中，a 1最小，且a 1+a n =66，a 2a n －1=128，前n 项和S n =126，求n 和公比q 解：∵{a n }为等比数列∴a 1·a n =a 2·a n －1
由a 1·a n =128，a 1+a n =66且a 1最小
得a 1=2，a n =64
解得2q =
∵2·q n －1=64，∴2n
=64 解得n=6，
∴n =6，q =2
例4.：正项等比数列{a n }满足条件：
①12154321=++++a a a a a ； ②25111115
4321=++++a a a a a ； 求{}n a 的通项公式n a
解：易知0>q ，1≠q ， 由得1211)1(51=--q
q a ① 251)1(155=--q
q a ② ①÷②得2512151=a a ，即2512123=a ，∴5
113=a ①×②得2242
555)
1()1(=--q q q 即55124
32=++++q
q q q q ， 即056)1()1(2=-+++q
q q q ∴71=+q
q ，即2537±=q ∴333)2537(511--±=
=n n n q a a 例5.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，假设S m ，S m+2，S m+1成等差数列，那么a m ，a m+2，a m+1成等差数列。

解：〔a n }中，前n 项和为S n ，假设a m ，a m+2，a m+1成等差数列，那么S m ，S m+2，S m+1成等差数列。

〔２〕设{a n }的首项为a 1，公比为q
由得2a m+2=a m +a m+1
∴2a 1q m+1=a 11 m q +a 1q m
∵a 1≠0q ≠0，∴2q 2
－q －1=0 ∴q=1或者q=－
2
1 当q=1时 ∵S m =ma 1，S m+2=〔m+2〕a 1，S m+1=〔m+1〕a 1
∴S m +S m+1≠2S m+2
∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列
当q=－2
1时 ∴S m +S m+1=2S m+2
∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列
综上得：当公比q=1q ≠。

点评：。

小结：
1.等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式联络着五个根本量：a 1，d 〔或者q 〕，n ，a n ，S n “知三求二〞是最根本的运算，充分利用公式建立方程是最根本的思想方法。

2.列举一些项来判断“关系〞和“性质〞是解决数列问题常用的思路和手段。

3.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的条件，在后面求解的过程中适时应用。

【模拟试题】〔答题时间是：45分钟〕
1.数列1，1/3，1/7，1/16，1/31，…的一个通项公式为a n =。

2.数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式a n =。

3.数列{a n }的前n 项之和为S n =3+2n
，那么其通项公式为a n =。

4.数列{a n }满足a 1=1，a n =a n─1/2+1〔n 2〕，求其通项公式。

5.数列{a n }中，a 1=c ，a n+1=pa n +q ，〔p ≠1〕，求a n 的通项公式。

6.数列{a n }满足a 1=1/2，a 1+a 2+…+a n =n 2
a n ，求a n 。

7.数列{a n }的前n 项之和S n 和第n 项a n 之间满足2lg 21+-n n a S =lgS n +lg 〔1─a n 〕，求a n 和S n。

8.数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n =2n
，b n =3n+2，它们的公一共项从小到大排成的数列是{c n }，〔1〕写出{c n }的前5项；〔2〕证明{c n }是等比数列。

【试题答案】
/〔2n ─1〕； 2.21[〔a+b 〕+〔─1〕n─1〔a─b〕]；
3.⎩⎨⎧>=-)1(2
)1(51n n n ；
─1/2n─1 5.略
6.a 1+a 2+…+a n =n 2a n ，a 1+a 2+…+a n─1=2
)1(-n a n─1a n /a n─1=〔n─1〕/〔n+1〕 取n=2，3，4，…，n 代入上式，各式相乘得：
a n /a 1=3142532n 4n 1n 3n n 2n 1n 1n ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅+- =)1(21+n n a =)
1(1+n n 〔注意上述变形方法，一个式子可以变化成无穷多个式子，这就是函数思想〕
7.原式可以变为〔S n ─a n +1〕2
=4S n 〔1─a n 〕a 1=1/2 可以变为〔S n─1+1〕2=4S n 〔1+S n─1─S n 〕
〔S n─1+1〕2─4S n 〔S n─1+1〕+4S n 2=〔S n─1+1─2S n 〕2=0S n─1+1=2S n S n =S n─1/2+1/2
假设有常数x ，使得S n +x=〔S n─1+x 〕/2
比较原式可得：─x/2=1/2x=─1
∴S n ─1=〔S n─1─1〕/2
S n =〔S 1─1〕1)21( n =─n )21( 从而a n =S n ─S n─1=n )2
1( 另解：直接由原式移项配方可得：
[S n ─〔1─a n 〕]2
=0S n =1─a n ，S n─1=1─a n─1两式相减得： a n =S n ─S n─1=a n─1─a n 〔适宜n=1〕a n =a n─1/2，{a n }为等比数列，a n =n )21( 点评：以上两种解题的思路有所不同，第一种方法是从a n 转向S n ，第二种方法是从S n 转向a n 。

8.〔1〕{c n }的前5项为8，32，128，512，2048；
〔2〕设a m =b p =c n ，那么c n =2m =3p+2a m+1=2m+1
=2〔3p+2〕=3〔2p+1〕+1 ∴a m+1不在{c n }中
而a m+2=2m+2
=4〔3p+2〕=3〔4p+2〕+2是{b n }中的项 即c n+1=4c n
{c n }是公比为4的等比数列。