高中课件教案说课计划 (10)

高中课件教案说课计划(10)
解三角形（上）逐字教案
课前引入：
今天是我们寒假的第一节课。

首先来说一下我们整体的寒假的七次课的计划，按照正常的我的习惯，我们今年寒假，大家应该还是没有第七次课考试的可能。

因为我们前六次课的东西呢，肯定不可能在六次课之内讲完，所以说我们正常的七次课呢还会是讲七讲的内容。

因为我们之前在秋季当中已经学习完了必修一和必修四的两本课本（板书一四），那么我们在整个寒假当中，将以必修五和必修三作为我们寒假的整体（板书五三）。

那么必修五在整个学习当中呢，一般分为三个章节，这个课本。

第一个章节呢叫作解三角形，第二个章节呢是数列，第三个章节呢是不等式（板书解三角形数列不等式）。

可以这么说，当我们必修五学完了之后，高中阶段的代数的绝大多数内容，都已经都已经被我们学完了。

剩下的代数的内容只剩下选修2-2当中的微积分的初步内容。

所以说这块儿东西是我们在必修部分最后一个比较具有强技巧性的部分，尤其体现在数列和不等式这两章当中，这两章是高中数学另外两个非常具有技巧性的，它们在数学竞赛当中的体现尤为强烈。

在高考当中这两块儿的力量逐年在削弱，但是削弱并不代表我们平时的考试不注重这个，好吧。

另外一块儿呢叫做必修三，必修三是整个高中课本当中，呃可以说是最轻松的，但是它其实是，我觉得是对你们将来学习数学的用途最大的一个。

必修三它讲的是三块儿东西，第一块儿东西叫做算法，算法很有用，如果你想真正的能够培养出一个理科的思维模式的话，算法是非常重要的思维形式，第二个东西讲的是概率，第三块儿东西讲的是统计（板书算法概率统计）。

我们讲到这块儿
的时候你就知道了，很多人会觉得啊，这玩意儿初中就学过，其实不是这样的。

你们以后会发现，这三块儿东西是整个必修课本当中最重视应用的一个部分。

也就是说这三个东西，其实它跟我们的平时的生活联系的是最紧密的。

我希望大家在学这几个东西的时候，不仅把它当成数学来学，更要当成你们生活当中很多的行为和很多的行为模式，然后来学习这块儿东西。

好当然了，按照常规我们的寒假班呢，是对这些知识呢做一个比较，尽可能详尽的一个介绍。

但是在知识的难度上呢，不能做到非常强的深入，因为毕竟我们只有七次课，好吧。

那么我希望大家能够用好这次预习的机会，然后我们把这块儿课呢，把它讲完。

（擦掉板书）好，我们今天的第一节课呢，你看上面写着九个绿色的大字，是九个吧，一二三四五六七八九，九个绿色的大字，叫作正弦定理与余弦定理。

好，大家看过了吧，看过了标题了，我们下面可能就看不到它们了。

教学过程：
那么讲正弦定理和余弦定理，本质上我们是要讲一个东西，叫做解三角形（板书）。

解三角形可以说是我们人类在学习，和一开始研究三角函数这个部分，与生俱来的一个东西。

或者说是什么呢，三角函数这个东西是不是在没有被欧拉进行拓展之后，但是解三角形已经存在了。

因为，我们知道，我们上学期学习的必修四当中的解三角形更重要的是你会发现我们把角会拓展到一个无限大的份儿上，是不是应该这样的？会把角和实数一一对应起来，是不是做了这么一件处理？然后用函数的观点来看待它。

但是，其实在最初的用途当中，解三角形反而是我们最强烈的一个使用。

怎么说呢，我们初中的时候应该学习过一个章节叫做解直角三角形。

解直角三角形是一个怎么回事儿，大家还能，脑子还能记得吗？就是你们刚开始学和的定义的时候，解直角三角形是怎么一回事儿？给你个直角
三角形（板书作图），是不是应该这样的？啊这个角是直角，告诉你这条边是a，然后呢再告诉你这个角，这个角B，那么你是不是应该可以把其他量都求出来，这个应该可以求出来吧？那么这条边怎么求？这条边等于什么？来现在告诉我，速度。

等于a什么呀，a除以，是不是应该这样的？好，a除以。

这个角是什么？这个角怎么算？啊，这个角呢其实就是，不过你们初中不会用，你们初中是用，是这么一回事儿吧？然后相应的是不是能够把这条边算出来，是不是应该这样的？这个能理解吧？好，解直角三角形，我们知道直角三角形当中（板书作图），除了告诉你这个直角以外，还有五个要素。

有角A和角B，注意我们在高中阶段写角A和角B不再这么写了，“∠A”“∠B”。

在三角形当中直接写，比如说，。

我们直接这么写，注意啊。

一般不写“∠A”和“∠B”，能理解我这句话的意思吧？好，此外呢还有三条边，角A所对的这条边我们用小a来表示，角B所对的这条边我们用小b来表示，角C所对的这条边我们用小c来表示。

那么我们当然知道，这五个元素，a、b、c、角A、角B，如果我想把这个直角三角形完全知道，那么你需要至少知道其中的几个元素？知道几个就可以了？诶，如果这五个元素我想都求出来，边a、边b、边c、角A和角B，这五样都要求出来，那么你至少知道其中的几个元素？一般会知道几个？两个，但是这两个不能是两个角，是不是应该这样的？因为知道一个角就相当于知道另外一个角了，是不是应该这样的？我们至少需要知道其中的两个元素。

换言之，解直角三角形的过程就是一个知二求三的过程。

知道两个元素，知道一角一边或者两条边，我都可以求出其他的三个元素。

当然，我们在学习了任意角的三角函数之后，我们的视野显然不能只留在这么小的地方。

（擦掉板书）
所以说，我们学习的第一章就是三角函数的一个最基本的使用，叫作如果给我
们一个一般的三角形（板书作图），在我们给出六个元素的基础之上，我们如何来给出解三角形，也就是说我们如何来计算这样的六个量。

那我们来回顾一下初中跟边和角相关的东西。

我们在，呃你们初中应该都学过一个东西叫做尺规作图吧，诶都会学过尺规作图吧，这都学过吧？而且你们初中应该都学过三角形全等的证明吧，这个都应该学过吧？这个如果都没学过的话那我觉得这个日子就很难过了。

来，三角形全等有哪些证明的方法？告诉我，三角形，一般的两个三角形全等有哪些证明的方法？什么？有SSS（板书），还有吗？SAS，还有？ASA，还有呢？（学生答HL）指一般三角形，不谈直角三角形！还有什么呀？AAS。

非直角三角形，一般的三角形。

一般会有这些基本的判定方法，是不是应该这样的？其实你会发现从尺规作图的角度来说，我知道了三边，是不是就意味着这个三角形已经被确定下来了，是不是意味着这个三角形被唯一确定下来了？反过来你如果用解三角形的观点来看，这相当于告诉我们什么？如果你已经知道了三个边，另外三个不知道的量叫作三个角，是不是应该这样的？相当于告诉我们，如果知道了三个边，那么三个角是不是应该已经被我们知道了，是不是应该这样的？因为它被唯一确定了，对不对？那么其他的是不是也一样？也就是说我们需要想到，如果我们需要解一个三角形，有的时候我们不一定需要知道里面六个所有的量，而只需要知道其中的若干个量，而且我们认为这个若干差不多是多少？估一下，差不多应该知道几个量，感觉一下我们可能，一般说我们知道三个量，差不多是不是应该就能求出来，是不是应该这样的？好，那么我们就来看，那为什么我们知道三个量就能求出来呢？为什么我知道三个边，反而能求出三个角呢？为什么我知道两个角一个边就能求出另外的……求出另外一个角很容易，因为我们知道有一个三个角之间的关系，叫做什么（板书），是不是应该这样的？
那么角和边之间是不是应该有某种关系可以联系在一起？因为你三个角可以通过这个方式来，是不是应该这样的？边的话不行，直角三角形有边之间的关系，直角三角形边之间的关系是，是不是应该这样的？但是我们一定要能理解到，在三角形当中一定存在某些关系，它是沟通角和边之间的东西的，是不是应该这样的？我可以从角来求边，可以从边来求角，这就是我们今天要讲的正余弦定理。

换言之，正弦定理和余弦定理它们的本质上的作用是沟通边和角的关系。

（板书正弦定理余弦定理角边）它的本质上的作用是用来沟通角和边之间的关系，使得我们可以从角来求边，可以从边来求角。

这是我们这个定理的意义之所在。

好，那么我们下面首先介绍正弦定理。

（擦掉板书）
正弦定理的文字表达的形式应该叫做一个三角形当中，注意啊，我希望你们能够通过听文字表述脑子当中能够得到它是什么意思。

在一个三角形当中，每一条边和其对角的正弦成正比。

其实这是正弦定理的文字表述，每一条边和其对角的正弦成正比。

如果我们把它写出来，每一条边就是a（板书），a所对应的角的正弦是多少？它所对的角的……。

要等于什么呀？b比上什么呀？。

等于c比上。

这个比例呢，是多少呢，这个比例等于2R。

R是这个三角形外接圆的半径。

正弦定理的给出叫作每一条边和其对角的正弦之比为三角形的外接圆的直径。

好，我们随便来，对这个定理呢，做一个简要的证明。

这个证明呢，我不希望大家把它……。

这是个圆啊（板书作图），这是圆心O，是不是丑了点？唉，无所谓了，好吧。

假设呢这是一个。

我们对这个情况呢做一个简要的证明，我们要证明a 比上就应该等于2R，b比上也等于2R，c比上也等于2R，是不是应该这样的？好，那么我们需要借助于一般的，我们之前所学习的……我们一开始学习三角函数在三角形当中的运用，在初中阶段都是以谁为基本量的？是不是都是以直角三
角形为基础的？好，那么在这个图形当中，怎样找出直径，怎样找出直角三角形？来，想一想，在一个三角形，在一个圆当中，直径和直角之间有没有关系？直径所对的圆周角应该是一个直角，是不是应该这样的？所以说你们一定要去想，我需要找直角三角形，需要找直径的时候，我们呢往往灵感就来了。

（板书作图）把这个点呢叫作A＇，那么这个角就应该是个什么角？这个角应该是直角。

而且根据，诶，这个角A和这个角A＇应该是怎么样的？是不是应该是相等的，是不是应该这样的？这个边应该是a，这个边应该是2R，是不是应该这样的？我们马上就可以得到，在这个直角三角形当中，a比上2R应该等于什么呀？（板书）应该等于，就应该等于什么呀？。

是不是一个很简单的证明？应该等于，是不是就等于，是这么回事儿吧？好，从这个东西呢我们就可以得到，a比上应该是等于2R。

但是有同学说了，不服气啊，你这是锐角三角形啊，我要是个钝角三角形怎么办？（板书作图）好设A在这儿，怎么办？啊，同样的这么一个处理。

这个是A＇，诶，你不用管啊，这虽然是一个钝角，这个角和它之间的关系应该是什么？这个角和这个角的关系应该是什么呀？互补，是不是应该是这样的？互补，这个角的正弦和这个角的正弦相等不相等？仍然相等，所以说是不是还是一回事儿，对不对？所以说不管你是锐角三角形还是钝角三角形，我们的正弦定理都可以在这个地方获得使用。

OK，正弦定理的基本证明，好。

（擦掉板书）在这个定理之下，那么我们应该很容易获得三角形的基本的一个……形式啊，我们把它写下来（板书正弦定理形式）。

换言之，在这个过程当中，我们就马上能够得到类似于这样的一个关系式。

那么我们就可以想到了，如果一个三角形当中，我已经知道了这个角（），我又知道了这个角（），我知道了这条边（b），你现在能不能把这条边（c）算出来？啊这是不是就是这里面最简单的应用，是不是
应该这样的？我知道了这个角知道了这个角知道了这条边，你是不是应该可以把这条边算出来？好，那么知道了这两个角，你是不是还可以把这个角（）算出来？诶，是不是应该是这样的？然后再知道了这个角，是不是你又可以把这条边算出来，是不是应该这样的？是这么回事儿吧？其实这个解决的是我们三角形当中的哪个问题？诶，其实解决的是我们哪个问题？全等三角形刚才那几个问题当中的哪个？其实是什么呀？AAS，是不是应该解决的是这个问题。

诶，是不是解决的是AAS的问题，对吧？哦，且在AAS当中，有两个角（B C），然后呢这个角（A）是不是可以求出来了？然后呢，有这个角（B）和这个边（b），有这个角（C），这个边（c）是不是可以求出来？相应的这个边（a）是不是也可以被求出来？是不是应该是这么一回事儿？好，这种类型的解三角形应该为我们所熟知。

OK，我们把讲义翻开。

我们来看一下讲义上的例一的这样的三道小题，这三道小题都是用这个正弦定理做一个最基本的了解。

三道小题，一共给大家三分钟的时间。

每道题一分钟，我觉得应该是足够的。

以后做这种题，都控制在30秒以内。

例1 根据正弦定理求出下列的边长
（1）在△ABC中，已知，，，求a
（2）在△ABC中，已知，，，求b
（3）在△ABC中，已知，，，求c
这是正弦定理的最基本的使用，下面我们来看看正弦定理所引导出来的一些最基本的形式。

正弦定理被诱导出来的第一个形式叫作三角形当中大边对大角。

诶你们初中都觉得，这个东西学过。

为啥呢？为啥初中学过大边就对大角呢？（板书作图）为什么我说这个角C比角B大，为什么这个边c就比边b要大呢？（学
生答画圆）什么？怎么画圆，说说看。

有人能给我一个基本的解答么？能不能告诉我，为什么会出现大边对大角，大角对大边这样的一个局面呢？这是正弦定理的第一个很重要的……就是能够藏在你们内心的很重要的事情。

好啦，初中呢其实想解释这个也是可以解释的，只不过有些东西呢你可能说不清楚。

啊真的是有些东西说不清楚。

好，那么我们用正弦定理的这个方式呢，我们来对这个呢，给出一个最简单的……。

好，我们假设是个锐角三角形。

注意啊，既然要用到角之间的比较和边之间的比较，请告诉我，它基本上一定会用到什么，能用到什么知识点？（学生答函数）一定会用到函数的什么？函数的单调性的使用，是不是应该这样的？你们以后一定要有这个意识，一旦遇到题目当中的不等关系，量之间的不等关系，函数的单调性一定要在你们脑子当中能够出现。

那么sin这个函数的单调性，如果它是一个锐角，这个函数单调性是怎么出现的呢？（板书作正弦函数图像）在0到π上，因为三角形的一个角……呃，应该是开区间，0到上它的单调性是怎样的，0到的时候单调增，到π上单调减，是不是应该这么一回事儿？是这么一回事儿吧？好，首先因此，这道题目我们天然的会把角分成锐角三角形和钝角三角形两种。

第一，我们来看看两个锐角。

两个锐角相比就非常简单了，既然a比上等于b比上（板书），如果角A大于角B说明什么？诶如果角A大于角B说明什么呀？是不是说明大于，是不是应该这样的？是不是大于，是不是说明边a比边b要大，是不是应该这样的？这个没问题吧，两个锐角没问题吧？那如果是钝角呢，那如果是钝角呢，如果是钝角呢？钝角，假设一个三角形ABC，它是个钝角三角形（板书作图），你如何来处理这个边a一定是最长边？你觉得这显然是一定的，是不是应该这样的？诶但是不能觉得，日子得慢慢过，你不能觉得这就觉得了。

你怎么来说明这个呢，这个时候你会发现，这没有单调
性啊，这怎么办呢？啊？（学生答补角）取补角，OK。

这个时候我们重新来关注这个式子（）。

既然角A是一个钝角，那么我们知道π-A是不是就是一个锐角了，是不是应该这样的？那么和B谁大呢？和B谁大？π-A就是什么呀，它就是B+C是不是应该这样的？所以π-A是不是仍然是大于B的？也就是我们可以得到什么呀？是不是仍然是大于的，是不是应该是这样的？也就是仍然是怎么样？大于的。

大于，当然边a仍然是大于边b的，是不是这么一回事儿？这个没问题吧？诶，是不是应该是这么一个处理？好，因此，我们同样的可以获得这样的一个关系。

一样的可以获得，在钝角三角形当中较大的那个边仍然对应的是较大的那个角。

那么，为什么要处理大边对大角的关系呢？（擦掉板书）下面，我们的一系列的解三角形的小问题当中，我们就马上能发现这样的一些东西。

好，我们从刚才的那个问题开始谈起，刚才我们说过AAS是可以被随意解决的，是不是应该这样的？AAS的问题是不是可以被随意解决。

那么相应的ASA也可以被随意解决。

为什么ASA可以随意解决呢？因为ASA的话相应的，你知道两个角是不是就知道三个角了，是不是应该这样的？知道三个角和一个边，其他的两条边是不是都应该可以顺势算出来？那么，如果我现在处理的是这样的一个情况。

（板书作图）如果我知道的不是两个角，我知道的是两条边。

比如说，我知道的是c这条边，我知道了b这条边，我又知道了B这个角，我能不能求出C这个角呢？我能不能求出C这个角呢，能不能求出来？（学生答能）确定？为什么，为什么能求出来？因为我们知道b比上应该等于什么呀？c比上。

但是注意，你求出来的是不是C这个角？你求出来的是什么？你求出来的是。

请注意，你求出来的不是C 这个角，你求出来的是。

这个地方其实在三角形当中是一个很恶心的东西，因为
对于角而言，一个角的正弦值能不能对应的是唯一的角，在三角形当中？不一定对应的是唯一的角。

它有可能对应的是一个锐角，有可能对应的是一个钝角，是不是应该这样的？这也就是初中当中为什么这个定理SSA不能用来证明的原因。

来想想看，初中的时候为什么SSA不能用来证明？（板书作图）画的一个基本的图形是应该是这么一个图形吧？这条边和这条边相等，是不是应该这样的？这条边是公共边，是不是应该这样的？这个角是公共角，是不是应该这样的？但是这个三角形和这个三角形是不是就不全等？好，现在用正弦定理的知识，你能不能告诉我为什么会出现这种情况？因为你由这条边，这条边和这个角，你能求出这个角的正弦，是不是应该这样的？当这是一个等腰三角形的时候，这个角的正弦和这个角的正弦是怎么样？是相等的，是不是应该这样的？是不是两个角的正弦其实是相等的？既然两个角的正弦是相等的，你能不能断定这个角到底是大的还是小的？这个时候你是不是就说不清楚。

诶，能理解这么回事儿吧？这个时候你发现你就根本说不清楚。

好，那么也就意味着当我们知道两条边和一个角的时候，有可能会发生我们所未知的情况，有可能能发生我们所未知的情况。

能理解我这句话的意思吗？好，比如说，那么我们比如说来解这个三角形，这个三角形叫作什么呢？叫作……啊知道两条边啊，（板书）a这条边等于6，然后呢，A等于多少呢A呢等于吧，等于吧。

然后呢，这样是不是太恶心了点，我也没算过啊。

b等于多少呢……a这条边不等于6吧，等于4吧等于4吧。

b这条边呢等于6，然后呢，你求角B，求B等于多少。

这个时候你能不能确定求出来，我们来算一算。

这个时候呢如果一般求角B我们应该怎么求，这个时候呢求角B我们应该怎么求？应该利用正弦定理去做是不是应该这样的？我们得到等于多少，啊别到时候算出来没有解就完了。

等于多少，来来来赶紧给我算一下，应该等于
多少？别到时候算出来没有解我就虚了。

（板书），看来这个不行，这个三角形是不存在的。

大家有没有发现，知道两条边和一个角的时候，这个三角形不一定能解出来。

那么有没有简单一点的呢？举个例子，我们把这里改为b=3（板书b=3），那么这个时候（板书），B有两个解，一个锐角一个钝角，对吗？大家再仔细想想，应该有几个解？（有学生答一解、有学生答两解）我听到有人说是一个解，有人说是两个解，请注意，当你求出这个角的正弦值是的时候，一定要看一下其他的条件，看这里，边a比边b要大，这其实意味着∠A一定比∠B大，所以说在这种情况之下，你求出之后B可不可能是钝角？B不可能是钝角，所以这个时候只有一解，是不是？所以说在三角形中，如果知道两边和其中一个边的对角，那么我们可以引导出若干种不同的情况，有的时候你会发现它可能是无解的，有的时候你发现它只有一解，而有的时候你可能发现它有两解，这是使用正弦定理最大的麻烦之处，在于你有可能会解出类似于这样的情况。

OK，我先写一系列的条件，大家来看一看这些东西到底有几解，你们先自己感觉一下可能会有几个解，（板书
= 1 \* GB3 ①在△ABC中，已知，，；
= 2 \* GB3 ②在△ABC中，已知，，；
= 3 \* GB3 ③在△ABC中，已知，，；
= 4 \* GB3 ④在△ABC中，已知，，。

）
分别告诉我这里面的三角形解出来是一解、两解还是无解。

（3分钟时间后）我们来看怎样迅速的观察出来，第一个肯定无解，不用算就知道了，a这个边比b这个边短，A都是钝角了，B还能大到哪儿去？我们刚才说了大角对大边，大边对大角，b这条边只要比a这条边长，就意味着B角一定比A角大，A已经
是钝角了，B不可能再是钝角，所以第一个是无解。

第二个呢？其实一看就知道有一个解，边b比边a小，所以通过正弦定理解出，B也只能取锐角，是不是？算出（板书）。

来看第三个，第三个光看是很难看出来的，因为你看啊，边b 比边a长，所以∠B比∠A大，我们求出，是不是只有一解，如果算出来是小于1的数，那就会有两解，所以说这里的B只能是。

最后一题，边b比边a大一点，通过正弦定理可以求出，而且A是一个锐角，B可能是锐角也可能是钝角，所以最后一题有两解。

好，综上所述，我们来看一下，在这种情况下如果要去判断有两解还是一解，一定要注意，首先它有一个基调，这个基调就是看边a与边b 哪个长，从而得到哪个角比较大，如果大的那个角是锐角，那么肯定只有一解了，如果小的那个角是钝角，那么就无解，所以只有小的那个角是锐角，然后你算出来大的那个角的正弦才有可能会出现两解，这就是为什么初中SSA真的不能算，SSA你不知道这个三角形是什么样的，其他的东西是可以唯一确定的，唯有你知道两个边和其中一边的对角这个情况的难以确定的。

好，大家把讲义上的例2和后面的易错门诊来速度看一下，已经做完的同学来思考这样一个小小的问题，（边板书边读题）
题目是：在△ABC中，有∠1=∠2=∠3=∠4，求证△ABC三边成等比数列。

如果讲义上的题目做完的同学可以来看一下白板上的这个题目。

这里需要插入一个概念：等比数列，反正我们寒假班也要讲的，等比数列的意思很简单，两个边的比等于另外两个边的比。

这道题是2021年底北京大学保送生考试当中的第二题。

（7分钟后）再给大家半分钟时间吧，好，先看一下讲义上的题目，
题目：
= 1 \* GB3 ①在△ABC中，已知，，，则=_______；。