学年新教材高中数学第章导数及其应用..第课时最大值与最小值课时素养评价含解析苏教版选择性必修第一册

三十八 最大值与最小值
(15分钟 30分)
1．函数y ＝ln x x
的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D ．103
【解析】选A.令y′＝（ln x ）′x －ln x·x′x 2
＝1－ln x x 2
＝0(x ＞0)，解得x ＝e. 当x ＞e 时，y′＜0；当0＜x ＜e 时，y′＞0.
y 极大值＝f(e)＝1e ，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以y max ＝1e
. 2．函数f(x)＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( )
A ．0≤a<1
B ．0<a<1
C ．－1<a<1
D ．0<a<12
【解析】选B.因为f′(x)＝3x 2－3a ，则f′(x)＝0有解，可得a ＝x 2.又因为x ∈(0，1)，所以0<a<1.
3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π 的最大值是( )
A ．π－1
B ．π2
－1 C ．π D ．π＋1
【解析】选C.因为y′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π 时，y′>0，则函数在区间⎣⎡⎦
⎤π2，π 上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π.
4．已知a≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1，1]都成立，则实数a 的取值范围是________．
【解析】设f(x)＝4x 3＋4x 2＋1，则f′(x)＝12x 2＋8x ＝4x(3x ＋2)，由f′(x)＝0得x ＝－23
或x ＝0.
又f(－1)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－23 ＝4327
，f(0)＝1，f(1)＝9， 故f(x)在[－1，1]上的最小值为1.
故a≤1.
答案：(－∞，1]
【补偿训练】
函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
【解析】f′(x)＝1－1
x，令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1.
答案：1
5．(2021·徐州高二检测)已知函数f(x)＝x·e x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[－2，1]上的最大值和最小值．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝e x＋xe x＝(x＋1)e x，
由f′(x)>0得x>－1，由f′(x)<0得x<－1，
所以函数f(x)的增区间为(－1，＋∞)，
减区间为(－∞，－1).
(2)f′(x)＝e x＋xe x＝(x＋1)e x，
令f′(x)＝0得x＝－1，
列表：。