利用DFT分析连续信号频谱

实验三 利用DFT 分析连续信号频谱
1. 利用FFT 分析信号的频谱。

(1) 确定DFT 计算的各参数（抽样间隔，截短长度，频谱分辨率等）；
(2) 比较理论值与计算值，分析误差原因，提出改善误差的措施。

答： (1)选取fm=25Hz 为近似的最高频率，抽样间隔T=1/(2fm)=0.02s; 选取Tp=6s 进行分析，则截短点数为N=Tp/T=300,采用矩形窗，确定作fft 的点数为N=512。

(2)计算程序如下：
fsam=50;
Tp=6;
N=512;
T=1/fsam;
t=0:T:Tp;
x=exp(-2*t);
X1=T*fft(x,N);
subplot(4,1,1)
plot(t,x)
title('时域波形')
subplot(4,1,2)
w=[-N/2:N/2-1]*(2*pi/N)/T;
plot(w,abs(fftshift(X1)));
title('幅度谱计算值')
X2=1./(2+j*w);
subplot(4,1,3)
plot(w,abs(X2),'r');
title('幅度谱理论值')
error=abs(abs(fftshift(X1))-abs(X2));
subplot(4,1,4)
plot(w,error)
title('理论值与计算值的误差')
运行结果：
)(e )(2t u t x t
-=
产生误差的原因：在整个计算过程中存在密集频点上的插值，插值就会存在精度问题。

改善措施：可以增加作fft 运算的点数N 来提高插值的精度，从而减小误差。

2. 分析周期信号的频谱时，如果分析长度不为整周期，利用 fft 函数计算并绘出其频谱，总结对周期信号进行频谱分析时，如何选取信号的分析长度。

答：周期信号x(t)，若分析长度为其周期T=1s ，程序如下：
T=1;
fsm=19;
Ts=1/fsm;
t=0:Ts:1;
N=fsm;
x=cos(2*pi*5*t)+2*sin(2*pi*9*t);
X=Ts*fft(x,N);
f=(-(N-1)/2:(N-1)/2)/N/Ts;
stem(f,abs(fftshift(X)));
title('幅度谱')
运行结果：
时域波形
幅度谱计算值
幅度谱理论值
理论值与计算值的误差
)π18sin(2)π10cos()(t t t x +=
若分析长度为其周期T=1.6s ，程序如下：
T=1.6;
fsm=19;
Ts=1/fsm;
t=0:Ts:1.6;
N=length(t);
x=cos(2*pi*5*t)+2*sin(2*pi*9*t);
X=Ts*fft(x,N);
f=(-(N-1)/2:(N-1)/2)/N/Ts;
stem(f,abs(fftshift(X)));
title('幅度谱')
运行结果：
幅度谱
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
幅度谱
根据以上两图可以看出：分析周期信号频谱时，如果分析长度不为信号的整周期，其频谱图会发生改变，不再反映原周期信号的频谱结构。

因此，当我们分析周期信号的频谱结构时，要选择的分析长度一定为信号的整周期。

4. 产生一个淹没在噪声中的信号x(t)，例如由50Hz和120Hz的正弦信号以及一个零均值的随机噪声叠加而成。

确定抽样间隔和信号截短长度，分析信号的频谱，指出50Hz和120Hz 的正弦成分对应的谱峰位置，详细写出检测信号的步骤和原理。

答：程序如下：
t=0:0.001:0.6;
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);
y=x+3*randn(size(t));
subplot(2,1,1)
plot(1000*t(1:50),y(1:50));
title('信号受零均值的随机噪声干扰')
xlabel('毫秒')
Y=fft(x,512);
Py=Y.*conj(Y)/512;
f=1000*(0:256)/512;
subplot(2,1,2)
plot(f,Py(1:257))
title('y的频率成分')
xlabel('频率')
运行结果：
信号受零均值的随机噪声干扰
毫秒
y的频率成分
频率
从图中可以明显看出：信号包括50Hz和120Hz频率成分。