广东省天河地区高考数学一轮复习试题精选 三角函数03

三角函数03
1.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且q p //．求：
（I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式
1tan 12cos 2++-C
C
的取值范围．
【答案】解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， 根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，
又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C Θ，2
1cos =∴A ， 又0A π<<Q 3
π
=
∴A ；sin A =
2
3
………6分 （II ）原式C C C C
C C C C
C cos sin 2cos 21cos sin 1)
sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+
--=++-=
，
)4
2sin(22cos 2sin π
-
=-=C C C ，
∵π3
20<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-π
C ，
∴2)4
2sin(21≤-
<-π
C ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． ………12分
2.（本题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，
且
sin cos b A B =.
（1）求角B 的大小；
（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.
【答案】（1）
Q sin cos b A B =
，由正弦定理得sin sin cos B A A B =--3分
即得tan B =3
B π
∴=.---------------------------------------------------6
分
（2）sin 2sin C A =Q ，由正弦定理得2c a =，-------------------------8分
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos 3
a a a a π
=+-⋅，---------10分
解得a =
2c a ∴==分
3.（本题满分12分）已知函数π
π1()cos()cos()sin cos 334
f x x x x x =+--+ （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；
（2）求函数()f x 单调递增区间 【答案】（Ⅰ）ππ11
()cos()cos(
)sin 23
324f x x x x =+--+
Q --------1分
1111
(cos )(cos sin )sin 2222224x x x x x =-+-+----------
2分 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824
x x x +-=--+----4分
1(cos 2sin 2)2x x =-224x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭------------------6分 函数)(x f 的最小正周期为 T π=，-------------------7分
函数)(x f 的最大值为
2
-------------8分 （II ）由 222,4
k x k k z π
πππ-≤+≤∈------------------10分
得 5,8
8
k x k k z π
πππ-≤≤-
∈------------------------11分
函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88
k k k z ππ
ππ-
-∈------------12分 4. (本小题满分12分)设x x x x f cos sin 32cos 6)(2
-=.
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移
3
π
个单位，得)(x g y =的图象， 求
x x g x F 323)()(-=
在
4π
=
x 处的切线方程.
【答案】（Ⅰ）(1cos 2)()6
2)326
x f x x x π
+==++, ……３分
故f (x )的最小正周期π=T , ………………………………………………4分
由ππ
ππk x k 26
22≤+
≤+-
得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--
]12
,127[π
πππ.……………６分 （Ⅱ）由题意：()23cos[2()]323sin 2336
g x x x π
π
=-
++=+, ………８分 x
x x
x g x F 2sin 323)()(=
-=, 2
'2sin 2cos 2)(x
x
x x x F -=
, ……………………………………１０分 因此切线斜率2'16
)4(π
π-==F k ,
切点坐标为)4
,4(π
π，
故所求切线方程为)4(1642π
π
π--=-x y ,
即08162
=-+ππy x . …………………………………………………１２分 5.（本小题满分10分）
已知B A ,是直线0y =与函数2
()2cos cos()1(0)23
x
f x x ωπ
ωω=++->图像的两个相
邻交点，且.2
||π
=AB
（1）求ω的值；
（2）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,2
3
)( 的面积为33，求a 的值．
【答案】解：（1）1
3()1cos cos sin 13sin()2
3
f x wx wx wx wx π
=++-
-=--…2分 由函数的图象及2
AB π
=
，得到函数的周期222
T w ππ
=
=⨯，解得2w = ………4分 （2）33
()3sin(2),sin(2)323f A A A π
π=--=-∴-=Q 又
是锐角三角形2223
3
3333
A A π
π
ππππ
-
<-
<
∴-=，，即A=，………6分 由133
sin 3322ABC b S bc A =
==V ，得b=4 …………8分
由余弦定理得
2222212cos 43243132
a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯==，即10分
6.（本小题满分12分）
已知向量3(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-r r
．
（1）当//a b r r 时，求2
cos sin 2x x -的值；
（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r
，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，
若3
6sin ,2,3=
==B b a
,求()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
+62cos 4πA x f （0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的取值范围． 【答案】解： （1）33
//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-r r Q
…………2分
22
222cos 2sin cos 12tan 8
cos sin 2sin cos 1tan 5
x x x x x x x x x ---===++ …………6分
（2）()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r +3
2
由正弦定理得
sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以或4
3π=A 因为a b
>，所以4
π
=
A …………9分
()
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++62cos 4πA x f =
)4x π+12-,0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以
()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++≤-πA x f …………12分 7.（本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满
2sin b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；
【答案】解：(1)2sin b A =Q
2sin sin A B A = 所以sin B =
因为三角形ABC 为锐角三角形，所以3
B π∠=
（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得227a c ac +-=
5a c +=Q 所以 6ac =
所以1sin 2
ABC S ac B ==
V
(I)求()f x 的最小正周期； (I I )求()f x 在区间[0,]4
π
上的取值范围.
【答案】解：11()sin 2sin 2222
f x x x x ==
sin(2)3
x π=+
（1）T π=
（2）[0,]4x π∈Q 52[,]336
x πππ∴+∈
max ()()112f x f π∴==，min 1()()42f x f π==9. (本小题共13分)已知函数sin cos sin cos y x x x x =++，求[0,]3
x π∈时函数y 的最值。

【答案】解：令sin cos x x t +=，则2
1sin cos 2t x x -=， 2
2111222
t y t t t -∴=+=+-
[0,]3x π∈Q sin cos )4t x x x π∴=+=+∈
max 12
y ∴=min 1y = 10.本小题满分13分）已知函数
1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=x
x x x x f .
（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42
ππ
上的最值.
【答案】解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，
故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分
因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=
x
x
x x x f
2cos )cos 1x x x =-⋅+
2cos 2x x =-
π
2sin(2)6
x =-，………………………………6分
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T =
=．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636
x x x ππππππ
π挝-?…………..9分 当52,,()1662
x x f x πππ
-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623
x x f x πππ
-
==即时取得最大值.……………….13分 11.（本小题满分13分）
已知函数2()sin
cos cos 1222
x x x
f x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数()f x 在[,
]π3π
42
上的最小值. 【答案】解：（Ⅰ）1cos ()sin cos 1
222x x x
f x +=+-
111
sin cos 222x x =+-
…………………………………………2分
1).242x π=
+- ……………………………………………4分
所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分
由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244
k x k πππ+≤≤π+. 函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44
k k ππ
π+π+
，k ∈Z . ………………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244
x πππ
≤+≤. ………………………………………11分
则当342x ππ+
=
，即54
x π
=时，()f x
取得最小值12-. …………………13分 12.（本小题共13
分）已知函数2
()cos cos f x x x x a =++．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-
上的最大值与最小值的和为3
2
，求a 的值．
【答案】 解：
（Ⅰ）1cos 2()22
x
f x x a +=
++ 1
sin(2)62
x a π=+++
.……………………………………………3分 所以T =π．……………………………………………………………4分 由
3222262k x k πππ+π≤+≤+π， 得263
k x k ππ+π≤≤+π． 故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63
k k ππ
+π+π（k ∈Z ）
．…………………7分 （Ⅱ）因为63x ππ
-≤≤，
所以52666x πππ-≤+≤．
所以1sin(2)126
x π
-≤+≤．…………………………………………………………10分
因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和1113
(1)()2222
a a +++-++=，
所以0a =．…………………………………………………………………………13分
13.（本小题满分13分）
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）函数)(x f 的图象经过怎样的变换可以得到x y 2sin =的图象？ 【答案】解：
…………………6分 最小正周期 π=T
，k Z ∈ ………………9分
(2)
………………13分 14.（本题共13分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．
（Ⅰ）若点A 的横坐标是
35，点B 的纵坐标是12
13，求sin()αβ+的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=3
2
, 求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值.
【答案】解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
3cos 5α=
， 12
sin 13
β=． ………………………………………………………2分 ∵α的终边在第一象限，∴4
sin 5
α=． ……………………………………………3分
∵β的终边在第二象限，∴ 5
cos 13β=-．………………………………………4分
∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=16
65
．……………7分
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB u u u r
|=|OB OA -u u u r u u u r |, ……………………………………9分
又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，…………………11分
∴9224
OA OB -⋅=u u u r u u u r ，
∴1
8
OA OB ⋅=-u u u r u u u r ．…………………………………………………………………13分
方法（2）∵222||||||1
cos 2||||8
OA OB AB AOB OA OB +-∠=
=-， …………………10分 ∴OA OB ⋅u u u r u u u r =1
||||cos 8
OA OB AOB ∠=-u u u r u u u r ． ………………………………… 13分。