高数(下)2

r 同向； λ > 0 时， 与 a 同向； r r （2） λ a 的方向 λ < 0 时， 与 ar 反向； 反向； λ = 0 时， 为 0 。 r 1r r a − a 2a 2 r r r 方向上的单位向量， 记 ea 为 a ( ≠ 0) 方向上的单位向量，则
{
r r r r r a ea = r ， a = | a | ea . |a |
AB可用向径表示： = OB − OA 可用向径表示： AB
→
→
向量的加法符合下列运算规律： 向量的加法符合下列运算规律：
→
→
O
[3]向量与数的乘法 向量与数的乘法(Multiplication by Numbers): 向量与数的乘法
r r 向量 a 与实数 λ 的乘积 λ a 规定为 r r （1） | λ a |=| λ | ⋅ | a | ；
我们用数乘向量来说明两个向量的平行关系： 我们用数乘向量来说明两个向量的平行关系：
r r r |b| r同向时； sgnλ = + ，a、b同向时； * 证： ⇒”：令| λ |= r , “ r 反向时。 −，a、b反向时。 |a| r r r r r r 则| b |=| λa |, 且b与λa同向 ∴b = λa 存在性证毕） . （存在性证毕） , r r r r r r 若 b = λ1a, b = λ2a ⇒ (λ1 − λ2 )a = 0
数与向量的乘积符合下列运算律
r r r （1）结合律：λ ( µ a ) = µ ( λ a ) = (λµ )a 结合律： r r r 分配律： （2）分配律： (λ + µ )a = λ a + µ a r r r r （3）分配律： λ (a + b ) = λ a + λ b 分配律：
向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算 向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算. 线性运算
r r r r r r 定理1 定理1 设 a ≠ 0，则a // b ⇔ ∃ 唯一的 ，使 b = λa. λ
{
r . （唯一性证毕） Q| a |≠ 0 ∴| λ1 − λ2 |= 0 ∴λ1 = λ2 唯一性证毕）
. 义即得 证毕. ⇐ 由数乘向量的方向的定 “ ” r r r r r 注：一般地，a // b ⇔ ∃ λ1 与λ2 ， λ1a + λ2b = 0 . ∋
思考题解答
A
D
r b
M
r a
B
C
1 r r BC = AD = AM + MD = (a + b ). 2 1 r r DC = AB = AM + MB = (a − b ). 2
练 习 题
一、填空： 填空： 向量是_________的量； 既有大小， _________的量 1 、向量是_________的量； 既有大小，又有方向 大小 向量的___________叫做向量的模； ___________叫做向量的模 2 、向量的___________叫做向量的模； 模等于1 ___________的向量叫做单位向量 的向量叫做单位向量； 3 、模等于 ___________的向量叫做单位向量； 模等于0 的向量叫做零向量； 模等于 _____________的向量叫做零向量 4 、_____________的向量叫做零向量； 起点 无关的向量称为自由向量； _____无关的向量称为自由向量 5 、与_____无关的向量称为自由向量； 共线向量 平行于同一直线的一组向量叫做_________ 6 、平行于同一直线的一组向量叫做 _________ ， 三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 共面向量 ； _________； _________ 模相等且方向相同 两向量___________ 我们称这两个向量相等； ___________， 7 、两向量___________，我们称这两个向量相等； 两个模相等、____________的向量互为逆向量 8 、两个模相等、____________的向量互为逆向量； 方向相反 的向量互为逆向量； 把空间中一切单位向量归结到共同的始点， 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点 半径为1的球面 半径为 的球面 构成____________ ____________； 构成____________；
Q CD = CA +
四、小结
向量的概念 （注意与标量的区别） 注意与标量的区别） 向量的加减法 平行四边形法则） （平行四边形法则）
注意数乘后的方向） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线 的对角线 已知平行四边形
r r AC = a , BD = b r r 表示平行四边形四边上对应的向量. 试用 a , b 表示平行四边形四边上对应的向量
r r r 1 r b − 3a r 例1 化简 a − b + 5 − b + 5 2 r r r 1 r b − 3a r 解 a − b + 5 − b + 5 2
5 1 r r = (1 − 3)a + − 1 − + ⋅ 5 b 2 5
7/26
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 10、 始点，则终点构成____________________ ____________________； 始点，则终点构成____________________； 距离等于2的两点 距离等于 的两点 → → r r r r r r a 垂直于 11、 成立， 应满足_______ 11、要使 a + b = a − b 成立，向量a , b 应满足_______ b _________________； _________________； → → r r r r r r a 与b同向 12、要使 a + b = a + b 成立，向量a , b 应满足_______ 12、 成立， 应满足_______ ___________ ___________ .
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或 字母上面添加箭头 手写体） （手写体）
M2 ⋅
⋅M
1
r a
r 向量的模： 向量的模： 向量的大小 | a | 或 | M 1 M 2 |
单位向量：模长为1的向量。 单位向量：模长为1的向量。
或 M1M2
r 零向量： 模长为0 零向量： 模长为0的向量 0 （方向任意）。 方向任意）
自由向量： 不考虑起点位置的向量（默认）. 自由向量： 不考虑起点位置的向量（默认） 相等的向量：大小相等且方向相同的向量. 相等的向量：大小相等且方向相同的向量. 向量
r r r r 交换律： （1）交换律： a + b = b + a . r r r r r r r r r 结合律： （2）结合律： a + b + c = (a + b ) + c = a + (b + c ). r r r r （3） a + ( − a ) = 0. ） r r b a r r r [2] 减法(Subtraction) a − b = a + (−b) r r −b r r r −b r a+b r a−b b → A r r r AB a −b a r r r r B 易知， 易知， a ± b | ≤ | a | + | b | |
r 5r = − 2a − b . 2
试证： *例2 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成 一个三角形。 一个三角形。 证 设 ∆ ABC 的三条边的中点依次为
（如图所示） . 如图所示） D、 E、 F
A
1 AB 2 D F 1 AE = AB + BC 2 1 B C BF = BC + CA E 2 1 ∴ CD + AE + BF = CA + AB + BC + ( AB + BC + CA ) = 0 , 2 ∴ ∆ ABC 的三条中线可构成一个 三角形 . 证毕 .
abc如图所示aebcbfcaabc三角形的三条中线可构成一个向量的概念向量的加减法向量与数的乘法注意与标量的区别平行四边形法则注意数乘后的方向已知平行四边形abcd的对角线ac试用表示平行四边形四边上对应的向量
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一、向量(Vector)的概念
向量（矢量）： 既有大小又有方向的量. 向量（矢量）： 既有大小又有方向的量. 向量的表示： 向量的表示： 有 向线 段 . 向量的记法： 向量的记法： 黑体（印刷体） 黑体（印刷体）
r a
r 向量：大小相等但方向相反的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量.− a r a r −a
向径： 起点在原点的向量。 向径： 起点在原点的向量。
r b
r r r r 平行的向量 向量： 平行的向量： a // b ⇔ a ）
二、向量的线性运算（Operations of Vectors) 向量的线性运算（ r r r r r b c [1] 加法(Addition)： a + b = c ： r a （1）平行四边形法则 ） r r 特殊地： 特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 r r r r r | c |=| a | + | b | c b r r a r b c r r a r r | c |= | a | − | b | r （2）三角形法则 ） r b c r a