初中数学九年级《垂直于弦的直径》教学设计

《垂直于弦的直径》教学设计
一、教学目标
（一）知识技能
1．知道圆是轴对称图形，能说出它的对称轴；知道圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

2．掌握垂径定理，并会用符号表示垂径定理。

（二）数学思考
1．通过垂径定理探索它的推论，初步体会“分类讨论”的数学思想。

2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，感受数学思考的条理性，发展数形结合思想。

（三）解决问题
1．让学生经历观察、探究、归纳、总结等过程，获得解决数学题的经验和方法，能够利用垂径定理及推论解决简单的问题。

2．通过推论的拓展，形成解决问题的一些基本策略，发展学生用数学的意识；培养学生“方程的观点”以及识别基本图形的能力。

（四）情感态度
通过探究垂径定理及其推论的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质，培养学生观察能力、好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心。

二、教学重点
探索垂径定理及其推论，并能正确运用它们解决问题。

三、教学难点
垂径定理推论的探索及应用。

四、教学方法
自主探究——合作交流
五、教学媒体
多媒体
六、教学过程
［活动一］
问题1，圆是轴对称图形吗：是中心对称图形吗？（类比思想）
设计意图：可请一位学生演示：①沿着圆形纸片的任一条直径对折，直径两侧的两个半圆会怎样？从而得出：圆是轴对称图形，且有无数条对称轴——任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

②让学生把一个圆形纸片绕圆心旋转180°后与原来的圆重合，说明圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

（注意：其实圆绕它的圆心旋转任意角度都能与原来的圆重合，所以是特殊的中心对称图形，它的特殊性是具有——旋转不变性）这一性质后面将会用到。

问题2，利用轴对称图形的性质探究，如图：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥
AB ，你在圆中能找出哪些相等的量？并证明。

说出你猜想的结论。

（分组讨论，小组代表叙述结论）
教师重点关注：学生对轴对称图形性质的应用是否熟练， 适当的进行复习巩固。

设计意图：
（1）这样设计是想通过学生对图形的观察和对条件的分析，自己推测可能得到的结论，培养学生的观察能力和直觉的猜想能力。

（2）由于学生思维的差异，各人猜想得出的结论会不同，也不一定全面，教师要认同这样的差异，保护学生的积极性。

（3）在学生猜对了全部结论后，师生再共同研究证明方法，（大屏幕投影已知、求证、证明全过程）由教师板书已知、求证和证明。

（4）引导学生归纳结论，得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平这条弦所对的两条弧。

几何语言为∵CD 为直径，CD ⊥AB 。

∴CD 平分弦AB 、CD 平分弧AB 、CD 平分弧ACB 。

问题3，请画图说明垂径定理的条件和结论，（学生自己画）并判断下列图形是否符合垂径定理的基本要求。

教师重点关注：学生对垂径定理的理解是否全面、到位。

O
C B A
图4
图3
图2
图1
A B
C
D
O
A
B
C
D
O O D
C
B A
.
.
设计意图：
1．让学生自己画图，分清垂径定理的条件和结论，有利于学生清楚地认识该定理的条件和结论。

条件是：CD 为直径，CD ⊥AB 。

结论是：CD 平分弦AB 、CD 平分弧AB 、CD 平分弧ACB 。

2．认识定理中的垂径，可以是直径、半径、过圆心且垂直于弦的直线或线段。

[活动二]
问题4，引申思考：垂径定理可以改述为：一条直线满足条件：
1．过圆心，2．垂直于弦，则可以推出结论3．平分弦所对的优弧，4．平分弦所对的劣弧，5．平分弦。

对于一个圆和一条直线来说，如果以1，2，3，4，5五个条件中的任意两个作为题设那么其它三个就都是结论，这样我们能得到9个推论都是正确的。

本教材只介绍了一个推论即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

即由1，3推出2，4，5。

说明：这里对“弦”限制不能去掉，否则该结论不成立。

大家都知道两条直径一定互相平分，但不一定垂直。

师生共同讨论、证明，大屏幕投影已知、求证、证明全过程或由教师板书已知、求证和证明。

设计意图：这套教材削弱了对几何证明的要求，所以推出格式没有给出，其它几个推论也没有拓展出来，只作简单说明而已，大屏幕投影给出推论的几可语言。

［活动三］
问题5，现在我们用垂径定理解决本节前面提出的求赵州桥桥拱半径的问题。

学生思考：1．如何把实际图形转换成几何图形。

2．利用垂径定理构建什么直角三角形？应用八年级所学的什么定理？应用什么思想来解决这个问题？
解决问题：
如图，用弧ACB 表示桥拱，设弧ACB 所在圆的圆心为O ，半径为R ，连结AB ，弦AB 的长即为桥的跨度。

想一想：如何确定拱高（弧的中点到弦的距离） 即过圆心作弦AB 的垂线OC ，垂足为D ，
OC 与弧AB 相交于点C ，
则D 是AB 的中点，C 是弧AB 中点，CD 即为拱高，然后利用勾股定理列出关于半径R 的方程即可解决问题。

设计意图：
在本次活动中教师应关注：
1．学生能否正确的绘出几何图形，连出相关的线段。

O
A
2．学生能否正确的使用垂径定理做出恰当的辅助线，找出相关的量。

3．学生能否把垂径定理和勾股定理结合起来，得到半径R ，圆心到弦的距离d 和弦长a 之间的关系：R 2 =d 2 +(
2
a )2
,据此关系式在a 、R 、d 三个量中，已知任意两个可以求出第三个量，这就是十分重要的方程思想。

4．利用所学的数学知识，解决生活中的实际问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段，即培养学生用数学知识解决实际问题的能力，树立了学生学好数学的信心。

问题6，判断1．平分弦的直径垂直于弦（ ）
2．平分弦的直径平分弦所对的两条弧（ ） 小马利用垂径定理的推论认为这两句话是正确的。

聪明的同学，你能告诉他究竟错在哪里吗？
同桌讨论：教师可提示将被平分的弦进行分类：它为直径；它为非直径。

设计意图：通过替人排忧解难，强化“推论”中对“弦”的限制条件不能丢失。

问题7，课本30页练习1
2．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，半径R 为5cm ，E 为弦AB 的中点，求圆心O 到弦AB 的距离。

教师重点关注：学生能否熟练应用垂径定理及其推论。

设计意图：对学生进行推理训练，让学生明白解决问题要有依据，进一步提高学生的逻辑思维能力和几何语言表达能力，然后通过变式训练加深对新知识的理解，培养学生分析、探究问题的能力。

问题8，课本30页练习2。

教师重点关注：学生对矩形的证明思路是否明确。

设计意图：加强知识间联系，达到复习巩固的目的。

［活动四］拓广探索：
AB 、CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离。

学生试着自己完成。

然后教师展示部分学生答案，加以订正，最后教师给出图形和完整解题过程。

教师重点关注：学生能否将本题分为两种情况来解决。

设计意图：培养学生用所学知识解决问题的能力，强化训练分类讨论的数学思想，使学生养成仔细审题、考虑问题全面的良好学习品质和个性思维品质，进一步提高学生自身的素质。

七、小结
这节课你有哪些收获？有何体会？你认为自己的表现如何？
教师引导学生回顾、思考、交流。

教师重点关注：
1．学生的归纳总结能力。

2．能否对问题有进一步的思考。

3．能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程。

4．学生对垂径定理及其推论的理解程度。

大屏幕给出本节课的知识网络图。

设计意图：回顾、总结、矫正、提高学生的自觉形成本节课的知识网络。

八、作业
习题20.1 第7、8、9题，补充求证“圆的两条平行弦所夹的弧相等”。

写好数学日记。

九、教学反思（略）。