高三数学一轮复习 第十二章 第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 新人教A
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图 12－５－１
(1)动点M 通过点P与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点 M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可．(2)直线 方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关
系，结合两点的距离公式计算．(3)可以直接利用弦长公式，死求 点的坐标再用两点间的距离公式很容易计算错误．
【互动探究】 1．椭圆 x2＋4y2＝4 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作 16
思想与方法 18．圆锥曲线中的函数与方程思想 例题：(2011 年广东广州综合测试)已知直线 y＝－2 上有一个 动点 Q，过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴，动点 P 在 l1 上，且满足 OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线，当点(0,2)到直线 l2 的距离 最短时，求直线 l2 的方程．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
4．椭圆的中心在原点，有一个焦点 F(0，－1)，它的离心率 是方程 2x2－5x＋2＝0 的一个根，椭圆的方程是___y4_2＋__x_32_＝__1__.
5．抛物线 y2＝8x 的焦点坐标是__(_2_,0_)_．
考点1 弦长公式的应用 例1：(2011年陕西)如图12－5－1，设P是圆x2＋y2＝25上的 动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．
本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距 离、曲线的切线等知识，注意求切线可以先设斜率再与抛物线联 立利用根的判别式求解，也可以利用导数求斜率；同时本题还考 查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，求最值 时要注意使用基本不等式时的“配”和“凑”．
1．直线与圆锥曲线的综合，是高考最常见的一种题型，涉及 求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题，参数的 取值范围问题等等．分析问题时需借助于数形结合、设而不求， 弦长公式及韦达定理等来
41
5
41
A.3
B. 4
C.4
D. 5
2．若椭圆经过点 P(2,3)，且焦点为 F1(－2,0)，F2(2,0)，则这 个椭圆的离心率等于( C )
A.
2 2
B.13
C.12
D.
3 2
3．若椭圆的一个焦点与圆 x2＋y2－2x＝0 的圆心重合，且经
过( 5，0)，则椭圆的标准方程为_x5_2_＋__y4_2＝__1__.
第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系
考纲要求
考纲研读
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断
1.了解直线与圆锥曲线的位置 可利用根的判别式．
关系．
2．涉及线段中点、弦长等知识点
2．理解数形结合的思想． 时，要注意数形结合的思想、设而
3．了解圆锥曲线的简单应用. 不求方法及一元二次方程根与系
数的关系的运用.
直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程，消去 y 或者消去 x，得到 一个关于 x(或 y)的方程 ax2＋bx＋c＝0. (1)交点个数 ①当 a＝0 或 a≠0，Δ＝0 时，曲线和直线只有一个交点； ②当 a≠0，Δ>0 时，曲线和直线有两个交点； ③当Δ<0 时，曲线和直线没有交点．
一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是__2_5_.
考点2 点差法的应用 例 2：已知椭圆x22＋y2＝1. (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程； (2)过点 A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点 P12，12且被点 P 平分的弦所在的直线的方程． 解题思路：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解． 解析：(1)设AB为斜率为2的任意一条弦，设A(x1，y1)，B(x2， y2)，AB的中点P(x，y)．
(1)本题的三小题都设了端点的坐标，但最终没有 求点的坐标，这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常 重要的思想方法．
(2)本例这种方法叫“点差法”，“点差法”主要解决四类题型： ①求平行弦的中点的轨迹方程；②求过定点的割线的弦的中点的 轨迹方程；③过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程；④有 关对称的问题．
•
【互动探究】 3．(2011 届广东惠州调研)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离
心率为 23，过坐标原点 O 且斜率为12的直线 l 与 C 相交于 A，B， |AB|＝2 10.
(1)求 a，b 的值； (2)若动圆(x－m)2＋y2＝1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点，试 求 m 的取值范围．
B.x42－y52＝1 D.x52－y42＝1
解析：由双曲线 E 的中心为原点，P(3,0)是 E 的焦点，可设双 曲线的方程为ax22－by22＝1，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，即ax212－by212＝1，ax222 －by222＝1.则yx11－ －yx22＝ba22·xy11＋ ＋xy22＝ab22·－ －1125＝03＋ ＋1152＝1，则ba22＝54.∵a2＋ b2＝9，∴b2＝5，a2＝4.故 E 的方程式为x42－y52＝1.
(3)本题中的“设而不求”的思想法和“点差法”还适用于双曲线 和抛物线．
【互动探究】
2．已知双曲线 E 的中心为原点，P(3,0)是 E 的焦点，过 P 的 直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，
则 E 的方程式为( )
A.x32－y62＝1 C.x62－y32＝1
(2)弦长公式：|AB|＝ 1＋k2·|x2－x1| ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1·x2
＝ 1＋k12|y1－y2|，可作为公式用，必须清楚该公式推导的基础是 两点间距离公式和韦达定理．
1．两个正数 a，b 的等差中项是92，等比中项是 2 则双曲线ax22－by22＝1 的离心率为( D )
2．在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时， 我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直 线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”．
研究直线与圆锥曲线的位置关系，经常用到一元二次方程根 的判别式、根与系数的关系、弦长公式等，要重视设而不求及数 形结合思想的运用，切忌一味呆板地去求方程的根；在解题时应 注意讨论二次项系数为 0 的情况，否则会漏解．要强调根的判别 式，这是直线与圆锥曲线有交点的前提，也是求参数范围的基本 方法．
答案：B
考点3 直线与圆锥曲线的位置关系
例 3：已知动圆 C 过点 A(－2,0)，且与圆 M：(x－2)2＋y2＝64 相内切．
(1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程； (2)设直线 l：y＝kx＋m(其中 k，m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不 同两点 B，D，与双曲线x42－1y22 ＝1 交于不同两点 E，F，问是否存 在直线 l，使得向量 DF ＋ BE ＝0，若存在，指出这样的直线有多 少条？若不存在，请说明理由．
(1)动点M 通过点P与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点 M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可．(2)直线 方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关
系，结合两点的距离公式计算．(3)可以直接利用弦长公式，死求 点的坐标再用两点间的距离公式很容易计算错误．
【互动探究】 1．椭圆 x2＋4y2＝4 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作 16
思想与方法 18．圆锥曲线中的函数与方程思想 例题：(2011 年广东广州综合测试)已知直线 y＝－2 上有一个 动点 Q，过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴，动点 P 在 l1 上，且满足 OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线，当点(0,2)到直线 l2 的距离 最短时，求直线 l2 的方程．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
4．椭圆的中心在原点，有一个焦点 F(0，－1)，它的离心率 是方程 2x2－5x＋2＝0 的一个根，椭圆的方程是___y4_2＋__x_32_＝__1__.
5．抛物线 y2＝8x 的焦点坐标是__(_2_,0_)_．
考点1 弦长公式的应用 例1：(2011年陕西)如图12－5－1，设P是圆x2＋y2＝25上的 动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．
本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距 离、曲线的切线等知识，注意求切线可以先设斜率再与抛物线联 立利用根的判别式求解，也可以利用导数求斜率；同时本题还考 查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，求最值 时要注意使用基本不等式时的“配”和“凑”．
1．直线与圆锥曲线的综合，是高考最常见的一种题型，涉及 求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题，参数的 取值范围问题等等．分析问题时需借助于数形结合、设而不求， 弦长公式及韦达定理等来
41
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A.3
B. 4
C.4
D. 5
2．若椭圆经过点 P(2,3)，且焦点为 F1(－2,0)，F2(2,0)，则这 个椭圆的离心率等于( C )
A.
2 2
B.13
C.12
D.
3 2
3．若椭圆的一个焦点与圆 x2＋y2－2x＝0 的圆心重合，且经
过( 5，0)，则椭圆的标准方程为_x5_2_＋__y4_2＝__1__.
第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系
考纲要求
考纲研读
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断
1.了解直线与圆锥曲线的位置 可利用根的判别式．
关系．
2．涉及线段中点、弦长等知识点
2．理解数形结合的思想． 时，要注意数形结合的思想、设而
3．了解圆锥曲线的简单应用. 不求方法及一元二次方程根与系
数的关系的运用.
直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程，消去 y 或者消去 x，得到 一个关于 x(或 y)的方程 ax2＋bx＋c＝0. (1)交点个数 ①当 a＝0 或 a≠0，Δ＝0 时，曲线和直线只有一个交点； ②当 a≠0，Δ>0 时，曲线和直线有两个交点； ③当Δ<0 时，曲线和直线没有交点．
一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是__2_5_.
考点2 点差法的应用 例 2：已知椭圆x22＋y2＝1. (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程； (2)过点 A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点 P12，12且被点 P 平分的弦所在的直线的方程． 解题思路：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解． 解析：(1)设AB为斜率为2的任意一条弦，设A(x1，y1)，B(x2， y2)，AB的中点P(x，y)．
(1)本题的三小题都设了端点的坐标，但最终没有 求点的坐标，这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常 重要的思想方法．
(2)本例这种方法叫“点差法”，“点差法”主要解决四类题型： ①求平行弦的中点的轨迹方程；②求过定点的割线的弦的中点的 轨迹方程；③过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程；④有 关对称的问题．
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【互动探究】 3．(2011 届广东惠州调研)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离
心率为 23，过坐标原点 O 且斜率为12的直线 l 与 C 相交于 A，B， |AB|＝2 10.
(1)求 a，b 的值； (2)若动圆(x－m)2＋y2＝1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点，试 求 m 的取值范围．
B.x42－y52＝1 D.x52－y42＝1
解析：由双曲线 E 的中心为原点，P(3,0)是 E 的焦点，可设双 曲线的方程为ax22－by22＝1，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，即ax212－by212＝1，ax222 －by222＝1.则yx11－ －yx22＝ba22·xy11＋ ＋xy22＝ab22·－ －1125＝03＋ ＋1152＝1，则ba22＝54.∵a2＋ b2＝9，∴b2＝5，a2＝4.故 E 的方程式为x42－y52＝1.
(3)本题中的“设而不求”的思想法和“点差法”还适用于双曲线 和抛物线．
【互动探究】
2．已知双曲线 E 的中心为原点，P(3,0)是 E 的焦点，过 P 的 直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，
则 E 的方程式为( )
A.x32－y62＝1 C.x62－y32＝1
(2)弦长公式：|AB|＝ 1＋k2·|x2－x1| ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1·x2
＝ 1＋k12|y1－y2|，可作为公式用，必须清楚该公式推导的基础是 两点间距离公式和韦达定理．
1．两个正数 a，b 的等差中项是92，等比中项是 2 则双曲线ax22－by22＝1 的离心率为( D )
2．在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时， 我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2， y2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直 线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”．
研究直线与圆锥曲线的位置关系，经常用到一元二次方程根 的判别式、根与系数的关系、弦长公式等，要重视设而不求及数 形结合思想的运用，切忌一味呆板地去求方程的根；在解题时应 注意讨论二次项系数为 0 的情况，否则会漏解．要强调根的判别 式，这是直线与圆锥曲线有交点的前提，也是求参数范围的基本 方法．
答案：B
考点3 直线与圆锥曲线的位置关系
例 3：已知动圆 C 过点 A(－2,0)，且与圆 M：(x－2)2＋y2＝64 相内切．
(1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程； (2)设直线 l：y＝kx＋m(其中 k，m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不 同两点 B，D，与双曲线x42－1y22 ＝1 交于不同两点 E，F，问是否存 在直线 l，使得向量 DF ＋ BE ＝0，若存在，指出这样的直线有多 少条？若不存在，请说明理由．