求由极坐标表示的平面图形的面积 PPT课件

•(4, 2)
A
x y2
O
4
x
•(1, 1)
若把 A 看作 x 型区域, 则
f1(
x)
x
x 2
,0 ,1
x x
1 4
,
f2x x ,0 x 4.
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由于 f1 分段定义, A 分为二图形 A1 和 A2 ,
1
S( A1) 0
x ( x ) dx 4 x3 2 1 4 . 3 03
a2 (1 cos )2d 0
a
3 a2.
O
2
2a x
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例5 求双纽线 r2 a2 cos 2 所围平面图形的面积.
解 因为 r2 0, 所以 的取值
范围是 [ , ] 与 [ 3 , 5 ].
44
44
由图形的对称性,
S( A) 4 1
4 a2 cos 2 d
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扇形，A1，A2， ，An . 设
mi inf{r( ) | [i1,i ]}
Mi sup{r( ) | [i1,i ]}, i 1, 2,L , n.
则
1 2
mi2
i
S( Ai )
1 2
Mi2i ,
从而 由于
1
2
n i 1
mi2 i
n i 1
S( Ai )1 2或S(A) x t yt dt
.
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例3
求由摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
,
t [0, 2 ]
与x轴
所围图形的面积.
y
2a
a
A
O
2 a x
解 S( A)
2
a(1 cos t)[a(t sin t)]dt
0
a2 2 (1 cos t)2dt 3 a2 . 0 前页 后页 返回
§1 平面图形的面积
本节介绍用定积分计算各种表示方法 下的平面图形的面积. 一、求由直角坐标方程表示的平面图形
的面积 二、求由参数方程表示的平面图形的面
积 三、求由极坐标表示的平面图形的面积
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一、求由直角坐标方程表示的 平面图形的面积
用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面 积,通常把它化为 x 型和 y 型区域上的积分来计算.
b
S( A) a y dx y(t) x(t)dt
y(t)x(t)dt.
因此,不论 x(t)递增或递减,
S( A)
yt xt dt.
若上述曲线C 是封闭的，即
x( ) x( ), y( ) y( ),
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则由C 所围的平面图形 A的面积同样是
S( A)
yt xt dt.
x 型区域: A ( x, y) | f1( x) y f2 ( x), x [a, b],
其中 f1 ( x), f2 ( x)是定义在[a, b]上的连续函数.
y 型区域: B ( x, y) | g1( y) x g2 ( y), y [c,d ],
其中 g1 ( y), g2 ( y) 是定义在[c, d ]上的连续函数.
n i 1
Mi2i .
lim
T 0
1 2
n i 1
mi2i
lim
T 0
1 2
n i 1
M
2 i
i
1 2
r 2 ( )d ,
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因此
S( A) 1 r 2 ( )d . 2
例4 由心脏线 r a(1 cos ) 所围平面图形的面积.
解
S( A) 1 2 [a(1 cos )]2d y 20
三、求由极坐标表示的平面图形的面积
设曲线C 的极坐标方程为 r r( ), [ , ].
图形 A 由曲线 C 和两条射线 = 与 = 围成.
r r
n
i i i1
1
A
i
0
O•
x O•
x
作分割 T： 0 1 L n ,射线
i i 1,2,L n 把扇形 A分割成 n 个小
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x 型区域 A
y
y f2(x)
A
O a y f1( x)
bx
通过上移
y
y f2(x) M
A
y f1( x) M 0
Oa
bx
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由定积分的几何意义，可知 A 的面积为
b
b
S( A) a ( f2( x) M )dx a ( f1( x) M )dx
b
a [ f2( x) f1( x)]dx.
同理, y型区域 B 的面积为
d
S(B) c [g2( y) g1( y)]dy.
例1 求由抛物线 y2 x 和 x2 8 y 所围图形A的面积.
解
y2 x2
x 8y
的解为
x1 y1
0 0
,
x2 y2
4 2
.
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y
2 y2 x
• (4, 2)
A x2 8y
O
4
x
图形 A既是 x 型区域又是 y型区域
把
A 看作
x
型区域,则
f1( x)
x2 8
,
f2 ( x)
x,
于是
SA
4 0
x
x2 8
dx
2 3
3
x2
1 24
x3
4 0
16 64 8 . 3 24 3
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把 A 看作为 y 型区域，则 g1( y) y2 , g2 ( y) 8 y ,
4
S( A2 ) 1 x ( x 2) dx
2 3
x3
2
x2 2
4
2x
1
14 3
3 2
.
则
S(
A)
S(
A1 )
S(
A2
)
4 3
14 3
3 2
9 2
.
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若把 A 看作为 y 型区域，则 g1( y) y2,1 y 2, g2( y) y 2,1 y 2.
20
a2 sin 2 4 a2. 0
y
O
a/2 a x
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作业： P242：2，4，6，8，9
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于是
2
S( A) 0
8y y2
dy
82 3
3
y2
y3 3
2 0
82 88 8. 3 33
例2 求由 y2 x 和 x y 2 围成的图形 A 的面积.
解 y2 x 和 x y 2 的交点为 (1, 1) 和 (4, 2). 图形
A 如下图.
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y
2
y2 x
t [ , ]
若 x( ) a , x( ) b, x(t) 在 [ , ] 上单调增,则
由曲线 C 及直线 x a, x b 和 x 轴所围图形的面
积为
b
S( A) a y dx y(t) x(t)dt.
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若 x( ) a , x( ) b, x(t)在 [ , ] 上单调减时，
S( A) 2 [( y 2) y2]dy 1
1 2
y2
2
y
1 3
y3
2 1
9. 2
显然,由于g1(y), g2(y) 非分段定义的函数,计算比 较容易.
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二、求由参数方程表示的图形的面积
设曲线C 形由参数方程
x
y
x(t) ,
y(t )
表示, y(t) 连续, x(t) 连续可微.