课时13

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数学(广东)
第1部分 第三单元 函数
解：(1)把 P(1，m)代入 y＝2x，得 m＝2.∴P(1,2)．
把 P(1,2)代入 y＝kx＋1，得 k＋1＝2.
解得 k＝1.
···················· 3 分
(3)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c.
P(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0)，则
F(t，t＋3)．
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答图1
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第1部分 第三单元 函数
∴PF＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t.∴S△PAB＝S△
PAF＋S△PBF＝21PF·OH＋21PF·BH＝21PF·OB＝23(－t2－
3t)＝－
二、二次函数的应用 1．利用二次函数求图形面积的最值问题； 2．利用二次函数求最大利润问题； 3．利用二次函数解决抛物线型建筑物的相关问 题．
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第1部分 第三单元 函数
知识过关
知识点 1 二次函数的应用(7年未考)
考情分析 二次函数的最值问题常利用函数的
(2) w ＝ －10x2＋700x－10 000 ＝ －10(x－35)2 ＋ 2 250，
∵－10＜0，∴当x＝35时，w取到最大值，最大值 为2 250.
答：销售单价为35元时，每天销售利润最大．
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第1部分 第三单元 函数
知识点 2 一次函数与二次函数的综合(7年2考)
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第1部分 第三单元 函数
3．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m 的图象无交点，即方程ax2＋(b－k)x＋c－m＝0无实数 根⇔Δ＝(b－k)2－4a(c－m)＜0.
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第1部分 第三单元 函数
①当△BCP∽△CDO时，CBDC＝CBOP，即 3 22＝ B3P，解得BP＝9.∴OP＝12.∴P(12,0)．
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第1部分 第三单元 函数
②当△BPC∽△CDO时，CBOC＝CBDP，即 3 3 2＝ BP2，解得BP＝2.∴OP＝5.∴P(5,0)．
图2 (1)求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值 范围； (2)怎样围才能使长方形花圃的面积最大？最大面 积为多少？
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第1部分 第三单元 函数
解：(1)由题可知AB＝x米，则BC＝(24－2x)米． ∴S＝x(24－2x)＝－2x2＋24x. ∵墙的最大可用长度为10米，∴0＜24－2x≤10. 解得7≤x＜12. ∴S与x之间的函数关系式为 S＝－2x2＋24x(7≤x<12)．
Байду номын сангаас
4＝－k1.解得k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝4x.
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第1部分 第三单元 函数
(3)∵△BCP与△OCD相似，则必有∠OCD＝∠ CBP＝135°，∴点P在点B右侧的x轴上．∵B(3,0)， C(0,3)，D(－1，－4)，∴BC＝ 32＋32 ＝3 2 ，CD ＝ 12＋4－32＝ 2.
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利 润最大？
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第1部分 第三单元 函数
解：(1)由题意可得w＝(x－20)[250－10(x－25)] ＝－10(x－20)(x－50) ＝－10x2＋700x－10 000.
即销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系 式为w＝－10x2＋700x－10 000.
1 2
时，y
＝2×21－6＝－5.∴点D的坐标为21，－5.
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第1部分 第三单元 函数
知识点 3 一次函数、反比例函数与二次函数的综合
(7年1考) 考情分析 2016年第23题涉及已知反比例函数的解
析式求一次函数及二次函数的解析式．
6．已知二次函数y＝x2－2x－3.
x(元) … y(间) …
190 200 210 220 … 65 60 55 50 …
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如答图2，过点D作DE⊥y轴于E.∴∠DEC＝∠BOC
＝90°.∵∠DCE＝∠BCO，∴△DEC∽△BOC．∴
DBOE＝OECC＝DBCC.∵BC＝3CD，∴DE＝31OB＝1，CE＝
1 3
OC＝1.∴OE＝OC＋CE＝4.∴D(－1，－4)．设反
比例函数的解析式为y＝
k x
.将D(－1，－4)代入，得－
连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式； (2) 点 D 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上，当△ACD的周长最小时，求 点D的坐标．
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图4
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第1部分 第三单元 函数
解：(1)∵OA＝2，OC＝6，∴A(－2,0)，C(0，
－6)．将A，C两点的坐标代入抛物线y＝x2＋bx＋
综上，当P的横坐标为5或12时，△BCP与△ OCD相似．
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第1部分 第三单元 函数
课堂检测
1．已知函数y＝－(x－m)(x－n)(其中m＜n)的 图象如图6所示，则一次函数y＝mx＋n与反比例函 数y＝m＋x n 的图象可能是( C )
图6
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的关系式为y＝－
1 12
(x－4)2＋3，由此可知铅球推出
的距离是____1_0_____m.
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图1
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第1部分 第三单元 函数
2．如图2，有长为24米的篱笆，围成一个长方形 的花圃，已知其中一面是利用墙(墙的最大可用长度为 10米)．设花圃的边AB为x米，面积为S平方米．
增减性来解答，首先要根据题意确定变量，建立函
数模型，然后结合实际来选择最优方案．注意应在
自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，二次函
数的最值不一定在x＝－2ba时取得．
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第1部分 第三单元 函数
1．教练对小明推铅球的录像进行技术分析(如
图1)，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间
3 2
t＋32
2＋
27 8
.∵－
3 2
<0，∴当t＝－
3 2
时，△
PAB的面积最大．此时点P的坐标为－32，145.
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第1部分 第三单元 函数
5．(2019齐齐哈尔)如图4，抛物线y＝x2＋bx＋c与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝2，OC＝6，
考情分析 2018年、2017年均在第23题考查一次函 数与二次函数的综合．
4．(2019西藏节选)如图3，抛
物线y＝ax2＋bx＋3与坐标轴分别
交于点A，B(－3,0)，C(1,0)，点P
是线段AB上方抛物线上的一个动
点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，
△PAB的面积最大？
图3
∵抛物线过点 N0，53，∴c＝53.
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第1部分 第三单元 函数
将 P(1,2)，Q(2,1)代入 y＝ax2＋bx＋53，
得a＋b＋53＝2， 4a＋2b＋53＝1.
解得a＝－23， b＝1.
∴该抛物线的解析式为 y＝－23x2＋x＋53. ∴对称轴方程为 x＝－－143＝34. ·········· 9 分
2020 全新版
第三单元 函数
课时13 二次函数的综合
CONTENTS
目 录
知识梳理 知识过关
课堂检测
第1部分 第三单元 函数
知识梳理
一、二次函数与一次函数图象的交点 1．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m 的图象有两个交点，即方程ax2＋(b－k)x＋c－m＝0有 两个不等的实数根⇔Δ＝(b－k)2－4a(c－m)＞0； 2．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m 的图象有一个交点，即方程ax2＋(b－k)x＋c－m＝0有 两个相等的实数根⇔Δ＝(b－k)2－4a(c－m)＝0；
第1部分 第三单元 函数
(2)如答图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于
点F.当x＝0时，y＝3，∴A(0,3)．设直线AB的解析
式为y＝kx＋m.将A(0,3)，B(－3,0)代入y＝kx＋m，
得－m＝3k3＋，m＝0. 解得mk＝＝13，. ∴直线AB的解析式为y＝x＋3.∵点
P在线段AB上方抛物线上，∴可设
1 2
上，点A，B关于直线x＝
1 2
对称，
∴xD＝
1 2
，AD＝BD．∴当点B，D，C在同一直线上
时，△ACD的周长最小，此时△ACD的周长＝AC＋
AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC．设直线BC的
解析式为y＝kx－6.将B(3,0)代入，得3k－6＝0，解
得k＝2.∴直线BC的解析式为y＝2x－6.当x＝
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第1部分 第三单元 函数
解：(1)列表如下：
x
… －1 0 1 2 3 …
y＝x2－2x－ … 0 －3 －4 －3 0 …
3
描点、连线如答图2所示．
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答图2
数学(广东)
第1部分 第三单元 函数
(2)由(1)知，B(3,0)，C(0，－3)，∴OB＝OC＝3.
(1)利用描点法在图5中画出上述二次函数的图象；
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图5
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第1部分 第三单元 函数
(2)如图5，二次函数的图象与x轴的其中一个交点 是点B，与y轴的交点是点C，直线BC与反比例函数的 图象交于点D，且BC＝3CD，求反比例函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，当x轴上的点P的横坐标是多少 时，△BCP与△OCD相似？
4－2b＋c＝0，
b＝－1，
c，得 c＝－6.
解得 c＝－6.
∴抛物线
的解析式为y＝x2－x－6.
(2)当y＝0时，x2－x－6＝0，解得x1＝－2，x2
＝3.∴B(3,0)，抛物线的对称轴为直线x＝
－2＋3 2
＝
1 2.
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第1部分 第三单元 函数
∵点D在直线x＝
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数学(广东)
第1部分 第三单元 函数
2．(2016广东)如图7，在直角坐标系中，直线y
＝kx＋1
(k≠0)与双曲线y＝
2 x
(x＞0)相交于点P(1，
m)．
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图7
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数学(广东)
第1部分 第三单元 函数
(1)求k的值； (2)若点Q与点P关于直线y＝x成轴对称，则点Q 的坐标为Q(___2_,1______)； (3)若过P，Q两点的抛物线与y轴的交点为 N 0，53 ，求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对 称轴方程．
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数学(广东)
第1部分 第三单元 函数
3．某商场要经营一种新上市的文具，进价为每件 20元．试销阶段发现：当销售价为每件25元时，每天的 销售量是250件，销售价每上涨1元，每天的销售量就减 少10件．
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
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第1部分 第三单元 函数
解：(1)将B(－3,0)，C(1,0)代入y＝ax2＋bx＋ 3，
得9aa＋－b3＋b＋ 3＝3＝0. 0， 解得ab＝ ＝－ －12， . ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
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第1部分 第三单元 函数
(2)由(1)，得S＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72. ∵－2＜0,7≤x＜12， ∴当x＝7时，S有最大值，S最大＝7×10＝70. 此时24－2x＝10. 答：当AB为7米，AD为10米时，长方形花圃面积 最大，最大面积为70平方米．
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第1部分 第三单元 函数
3．(2019衢州)某宾馆有若干间标准房，当标准房 的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场 调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间 (含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每 间标准房的价格x(元)的数据如下表：