第二讲-Peano余项的Taylor公式
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1 x x x 6 o x o x6 3 6 120 5040
2 4 6 3
解：
x2 x4 x6 o x6 6 180 2835
仅保留到x的6 次方
仅保留到x的6 次方
例4 将tanx展到５次
解：
sin x x3 x5 6 tan x x o x cos x 6 120
3 5
1 x2 x4 1 o x5 2 24
2 2 4 x2 x4 x x x x 6 5 5 4 x o x 1 o x o x o x 6 120 2 24 2 24
2
B f ' ( x0 ).
⑶
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) o[( x x0 ) 2 ] C 2 ( x x0 ) ( x x0 ) 2
f ' ( x ) f ' ( x0 ) 1 C lim f " ( x0 ). x x0 2( x x0 ) 2
( 2 n 1)
例3
：
sin x f x ln x
x6
将此函数展开到6次
x3 x5 x7 7 x o x sin x 3! 5! 7! x 2 x 4 x 6 6 f x ln ln ln 1 o x x x 3! 5! 7! 2 2 4 6 2 4 6 x x x 1 x x x 6 6 o x o x 6 120 5040 2 6 120 5040
2
2
2
2
4
x4 o( x 4 ) 1 12 原式＝ lim 4 x 0 12 x
例3 lim
sin x arctan x x 0 tan x sin x sin x sin x 解： tan x sin x cos x
1 1 sin x( 1) sin x(1 cos x ) cos x 3 cos x x tan x sin x ~ , 2 3 3 x x 3 sin x x o( x ), arctan x x o( x 3 ) 3 3! 1 3 x o( x 3 ) 1 6 原式 lim 3 x0 3 x 2
arctan的麦克劳林展开式阶导数两边求灵活利用莱布兹公式仅保留到x的6次方仅保留到x的6次方应用1极值问题定理不是极值点为奇数时是极值点为偶数时极大极小极大极小应用2求极限coslim12limsintanarctansinlimsincossinsintansintansinlimtaylor公式局部逼近特征taylor公式局部逼近特征taylor公式局部逼近导数的数学定义计算机实现导数的计算7taylor应用举例
3.
x2 x4 x6 ( 1) n 2 n 2 n1 cos x 1 x o( x ) 2! 4! 6! ( 2n)!
4.
x x ( 1) ln(1 x ) x 2 3 n
2 3
n 1
x n o( x n )
n
x x x n ln(1 x ) [ x ] o( x ) 2 3 n
1 2 3 n n n 1 x x x (1) x o( x ) 1 x
( 1) k x k o( x n )
k 0 n
1 ( 1) ( 2k 1)!! k n x o( x ) 1 x k 0 ( 2k )!!
n k
. 例1 求y arctan x的麦克劳林展开式
应用2
例2
求极限
x2 2
cos x e lim x 0 x4 x2 x4 o( x 4 ) 解： cos x 1 2! 4!
eபைடு நூலகம்
x2 2
x 1 x 2 x 2 x x 1 ( ) o[( ) ] 1 o( x 4 ) 2 2! 2 2 2 8
( 1)
k 0 n k 1
( 2k 3)!! k x o( x n ) ( 2k )!!
11 1 1 ak ( 1)( k 1) k! 2 2 2
( 1)
k 1
1 3( 2k 3) k 1 ( 2 k 3 )!! ( 1) k ( 2k )!! 2 k!
取x 0, f
( n 1)
(0) n(n 1) f
( n 1 )
(0)
0, (n) f ( 0) ( 1) k ( 2k )! ,
3 5
n 2k n 2k 1
7
x x x arctan x x 3 5 7 ( 1) n x 2 n 1 o( x 2 n 2 ) ( 2n 1)
广义二项式
k 0
n
( 1)( k 1)
k!
x k o( x n )
证： f ( k ) ( x ) ( 1)( k 1)(1 x ) k
f
(k )
(0) ( 1)( k 1)
特例：
1 1 1 ( 1)( k 1) n 2 1 x 2 2 x k o( x n ) k! k 0
证明：
2
3
( 1) k 1 ( k 1)! ( k ) (k ) k 1 f ( x) , f (0) ( 1) ( k 1)! k ( x 1)
5.
f ( x ) (1 x ) , ( x 1)
C x k o( x n )
k k 0 n
1
2
k为奇数时x0不是极值点 ,
k为偶数时x0是极值点 ,
f (k ) ( x ) 0 0 (k ) f ( x0 ) 0 极小 极大
f ( k ) ( x0 ) 证： f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) k o[( x x0 ) k ] k! f ( x ) f ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) o[( x x0 ) k ] k k k! ( x x0 ) ( x x0 )
'
f ( x ) Tk 1 ( f , x0 ; x ) lim x x0 ( x x0 ) k 1
f '( x ) Tk ( f ', x0 ; x ) lim 0. k x x0 (k 1)( x x0 )
结论得证
五 常用展开式
x2 xn x n 1. e 1 x o( x ) 2! n!
解：关键是求出(n) (0) : f ⑴
1 f '( x) , 2 1 x
f ' (0) 1.
(1 x 2 ) f ' ( x) 1,两边求 阶导数 n . ⑵
(1 x ) f
2 ( n 1)
( x ) n 2 xf
( n)
n( n 1) ( x) 2 f ( n 1) ( x ) 0 2
x 2 5 x 4 x3 x5 6 4 x o x 1 o x 6 120 2 24 1 3 2 5 5 x x x o x 3 15
六 应用
应用1
极值问题
定理 设f有k阶导数（在 0处） x ,
f ' ( x 0 ) f " ( x 0 ) f ( k 1 ) ( x 0 ) 0, f ( k ) ( x 0 ) 0,
f ( x ) Tn ( f , x0 ; x ) o[( x x0 ) ],
n
Tn ( f , x0 ; x )
k 0
n
f ( k ) ( x0 ) k ( x x0 ) . k!
称Tn ( f , x0 ; x)为f 在x0处的n阶Taylor多项式.
证明： 归 纳 法 ：
三、进一步推广结论的猜想
f ( x ) Tn ( f , x0 ; x ) o[( x x0 ) ],
n
Tn ( f , x0 ; x )
k 0
n
f ( x0 ) k ( x x0 ) . k!
(k )
？
四 Taylor定理(Peano余项)
设函数f ( x )定义在U ( x0 ; d ),在点x0 存在n阶可导, 则 x Î U ( x0 ; d ) :
n 1时, 微分定义 .
设n k时成立即： ,
f ( x ) Tk ( f , x0 ; x ) lim 0. k x x0 ( x x0 )
考 虑 k 1 n ：
k 1 ( j)
' ( f , x ; x ) f ( x0 ) ( x x ) j Tk 1 0 0 j 0 j ! k 1 ( j ) f ( x0 ) ( x x0 ) j 1 Tk ( f ', x0 ; x ), j 1 j 1 !
2.带Peano余项的Taylor公式
一 问题的提出
微分：
用一次函数逼近( x ) f
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
提出问题
用二次多项式近似 , 使误差是 o(( x x 0 ) 2 ) ?
用n次多项式近似 , 使误差是 o(( x x 0 ) n ) ?
证明：
由f
( n)
( x) e , f
x
( n)
(0) 1,可得.
2.
x3 x5 x7 (1)n1 2n1 sin x x x o( x 2n ) 3! 5! 7! (2n 1)!
(n)
证明： f
n 2k n 0, (0) sin( 0 ) 2 ( 1) k 1 , n 2k 1
⑷ 令二次多项式
1 T2 ( f , x0 ; x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f "( x0 )( x x0 )2 2 f ( x ) T2 ( f , x0 ; x ) lim 0. ( L' Hospital ) 2 x x0 ( x x0 )
二 初步分析
设f ( x ) A B( x x0 ) C ( x x0 ) o[( x x0 ) ]，
2 2
求A、B、C . (设f "( x0 )存在)
⑴ 令x x0，A f ( x0 ). ⑵ f ( x ) f ( x0 ) B C ( x x ) o[( x x0 ) ] 0 ( x x0 ) ( x x0 )
f ( x ) f ( x0 ) 与f ( k ) ( x 0 )符号相同. 当0 x x0 时, ( x x0 ) k
不是极值点； k为奇数时 f ( x) f ( x0 )在x0两侧变号， ,
f ( k ) ( x ) 0, 0 k为偶数时 ( k ) , f ( x 0 ) 0, f ( x ) f ( x 0 )极小 f ( x ) f ( x 0 )极大
例2
类似地， ( x ) arcsin x f
f '( x ) 1 1 x
2 2
f
2
( x)
1 x
2
x 1 x
2
1 x
f
2
( x ) xf '( x )
( 2n 1)! 灵活利用莱 f ( 0) , 布兹公式 2 n k 1 2 n x 2n 2 arcsin x k o( x ) k 0 2
例4
e sin x x(1 x ) lim 3 x 0 sin x
x
2 3 x
x x 2 解：e sin x [1 x o( x )][ x o( x 3 )] 2 6 3 4 3 5 x x x x 2 3 x x o( x ) 6 6 2 12
2 4 6 3
解：
x2 x4 x6 o x6 6 180 2835
仅保留到x的6 次方
仅保留到x的6 次方
例4 将tanx展到５次
解：
sin x x3 x5 6 tan x x o x cos x 6 120
3 5
1 x2 x4 1 o x5 2 24
2 2 4 x2 x4 x x x x 6 5 5 4 x o x 1 o x o x o x 6 120 2 24 2 24
2
B f ' ( x0 ).
⑶
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) o[( x x0 ) 2 ] C 2 ( x x0 ) ( x x0 ) 2
f ' ( x ) f ' ( x0 ) 1 C lim f " ( x0 ). x x0 2( x x0 ) 2
( 2 n 1)
例3
：
sin x f x ln x
x6
将此函数展开到6次
x3 x5 x7 7 x o x sin x 3! 5! 7! x 2 x 4 x 6 6 f x ln ln ln 1 o x x x 3! 5! 7! 2 2 4 6 2 4 6 x x x 1 x x x 6 6 o x o x 6 120 5040 2 6 120 5040
2
2
2
2
4
x4 o( x 4 ) 1 12 原式＝ lim 4 x 0 12 x
例3 lim
sin x arctan x x 0 tan x sin x sin x sin x 解： tan x sin x cos x
1 1 sin x( 1) sin x(1 cos x ) cos x 3 cos x x tan x sin x ~ , 2 3 3 x x 3 sin x x o( x ), arctan x x o( x 3 ) 3 3! 1 3 x o( x 3 ) 1 6 原式 lim 3 x0 3 x 2
arctan的麦克劳林展开式阶导数两边求灵活利用莱布兹公式仅保留到x的6次方仅保留到x的6次方应用1极值问题定理不是极值点为奇数时是极值点为偶数时极大极小极大极小应用2求极限coslim12limsintanarctansinlimsincossinsintansintansinlimtaylor公式局部逼近特征taylor公式局部逼近特征taylor公式局部逼近导数的数学定义计算机实现导数的计算7taylor应用举例
3.
x2 x4 x6 ( 1) n 2 n 2 n1 cos x 1 x o( x ) 2! 4! 6! ( 2n)!
4.
x x ( 1) ln(1 x ) x 2 3 n
2 3
n 1
x n o( x n )
n
x x x n ln(1 x ) [ x ] o( x ) 2 3 n
1 2 3 n n n 1 x x x (1) x o( x ) 1 x
( 1) k x k o( x n )
k 0 n
1 ( 1) ( 2k 1)!! k n x o( x ) 1 x k 0 ( 2k )!!
n k
. 例1 求y arctan x的麦克劳林展开式
应用2
例2
求极限
x2 2
cos x e lim x 0 x4 x2 x4 o( x 4 ) 解： cos x 1 2! 4!
eபைடு நூலகம்
x2 2
x 1 x 2 x 2 x x 1 ( ) o[( ) ] 1 o( x 4 ) 2 2! 2 2 2 8
( 1)
k 0 n k 1
( 2k 3)!! k x o( x n ) ( 2k )!!
11 1 1 ak ( 1)( k 1) k! 2 2 2
( 1)
k 1
1 3( 2k 3) k 1 ( 2 k 3 )!! ( 1) k ( 2k )!! 2 k!
取x 0, f
( n 1)
(0) n(n 1) f
( n 1 )
(0)
0, (n) f ( 0) ( 1) k ( 2k )! ,
3 5
n 2k n 2k 1
7
x x x arctan x x 3 5 7 ( 1) n x 2 n 1 o( x 2 n 2 ) ( 2n 1)
广义二项式
k 0
n
( 1)( k 1)
k!
x k o( x n )
证： f ( k ) ( x ) ( 1)( k 1)(1 x ) k
f
(k )
(0) ( 1)( k 1)
特例：
1 1 1 ( 1)( k 1) n 2 1 x 2 2 x k o( x n ) k! k 0
证明：
2
3
( 1) k 1 ( k 1)! ( k ) (k ) k 1 f ( x) , f (0) ( 1) ( k 1)! k ( x 1)
5.
f ( x ) (1 x ) , ( x 1)
C x k o( x n )
k k 0 n
1
2
k为奇数时x0不是极值点 ,
k为偶数时x0是极值点 ,
f (k ) ( x ) 0 0 (k ) f ( x0 ) 0 极小 极大
f ( k ) ( x0 ) 证： f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) k o[( x x0 ) k ] k! f ( x ) f ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) o[( x x0 ) k ] k k k! ( x x0 ) ( x x0 )
'
f ( x ) Tk 1 ( f , x0 ; x ) lim x x0 ( x x0 ) k 1
f '( x ) Tk ( f ', x0 ; x ) lim 0. k x x0 (k 1)( x x0 )
结论得证
五 常用展开式
x2 xn x n 1. e 1 x o( x ) 2! n!
解：关键是求出(n) (0) : f ⑴
1 f '( x) , 2 1 x
f ' (0) 1.
(1 x 2 ) f ' ( x) 1,两边求 阶导数 n . ⑵
(1 x ) f
2 ( n 1)
( x ) n 2 xf
( n)
n( n 1) ( x) 2 f ( n 1) ( x ) 0 2
x 2 5 x 4 x3 x5 6 4 x o x 1 o x 6 120 2 24 1 3 2 5 5 x x x o x 3 15
六 应用
应用1
极值问题
定理 设f有k阶导数（在 0处） x ,
f ' ( x 0 ) f " ( x 0 ) f ( k 1 ) ( x 0 ) 0, f ( k ) ( x 0 ) 0,
f ( x ) Tn ( f , x0 ; x ) o[( x x0 ) ],
n
Tn ( f , x0 ; x )
k 0
n
f ( k ) ( x0 ) k ( x x0 ) . k!
称Tn ( f , x0 ; x)为f 在x0处的n阶Taylor多项式.
证明： 归 纳 法 ：
三、进一步推广结论的猜想
f ( x ) Tn ( f , x0 ; x ) o[( x x0 ) ],
n
Tn ( f , x0 ; x )
k 0
n
f ( x0 ) k ( x x0 ) . k!
(k )
？
四 Taylor定理(Peano余项)
设函数f ( x )定义在U ( x0 ; d ),在点x0 存在n阶可导, 则 x Î U ( x0 ; d ) :
n 1时, 微分定义 .
设n k时成立即： ,
f ( x ) Tk ( f , x0 ; x ) lim 0. k x x0 ( x x0 )
考 虑 k 1 n ：
k 1 ( j)
' ( f , x ; x ) f ( x0 ) ( x x ) j Tk 1 0 0 j 0 j ! k 1 ( j ) f ( x0 ) ( x x0 ) j 1 Tk ( f ', x0 ; x ), j 1 j 1 !
2.带Peano余项的Taylor公式
一 问题的提出
微分：
用一次函数逼近( x ) f
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
提出问题
用二次多项式近似 , 使误差是 o(( x x 0 ) 2 ) ?
用n次多项式近似 , 使误差是 o(( x x 0 ) n ) ?
证明：
由f
( n)
( x) e , f
x
( n)
(0) 1,可得.
2.
x3 x5 x7 (1)n1 2n1 sin x x x o( x 2n ) 3! 5! 7! (2n 1)!
(n)
证明： f
n 2k n 0, (0) sin( 0 ) 2 ( 1) k 1 , n 2k 1
⑷ 令二次多项式
1 T2 ( f , x0 ; x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f "( x0 )( x x0 )2 2 f ( x ) T2 ( f , x0 ; x ) lim 0. ( L' Hospital ) 2 x x0 ( x x0 )
二 初步分析
设f ( x ) A B( x x0 ) C ( x x0 ) o[( x x0 ) ]，
2 2
求A、B、C . (设f "( x0 )存在)
⑴ 令x x0，A f ( x0 ). ⑵ f ( x ) f ( x0 ) B C ( x x ) o[( x x0 ) ] 0 ( x x0 ) ( x x0 )
f ( x ) f ( x0 ) 与f ( k ) ( x 0 )符号相同. 当0 x x0 时, ( x x0 ) k
不是极值点； k为奇数时 f ( x) f ( x0 )在x0两侧变号， ,
f ( k ) ( x ) 0, 0 k为偶数时 ( k ) , f ( x 0 ) 0, f ( x ) f ( x 0 )极小 f ( x ) f ( x 0 )极大
例2
类似地， ( x ) arcsin x f
f '( x ) 1 1 x
2 2
f
2
( x)
1 x
2
x 1 x
2
1 x
f
2
( x ) xf '( x )
( 2n 1)! 灵活利用莱 f ( 0) , 布兹公式 2 n k 1 2 n x 2n 2 arcsin x k o( x ) k 0 2
例4
e sin x x(1 x ) lim 3 x 0 sin x
x
2 3 x
x x 2 解：e sin x [1 x o( x )][ x o( x 3 )] 2 6 3 4 3 5 x x x x 2 3 x x o( x ) 6 6 2 12