2018版高考帮·数学-第14章第二讲 古典概型与几何概型
§14.4 古典概型与几何概型
“围棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选担任监督职务
的概率.
解析
【解析】(1)设抽样比为 x,则由分层抽样可知,从“街舞”“围棋”“武术”三个社团 抽取的人数分别为 320x,240x,200x,则由题意得 320x-240x=2,解得 x=410,
故从“街舞”“围棋”“武术”三个社团抽取的人数分别为 320×410=8,240×410=6, 200×410=5.
.
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、几何概型 1.定义:若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 无限多个 . (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .
构成事件������的区域长度(面积或体积) 3.几何概型的概率公式 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积. 或体积)
������
2.利用古典概型求概率的关键是要正确求出基本事件的总数和随机事件包 含的基本事件的个数,对于较复杂的题目,计数时要正确分类,分类时应不重不漏, 要正确选择列举法、列表法、树状图法等.
【追踪训练 1】(2020 届天津高考模拟)根据调查,某学校开设了“街舞”“围
棋”“武术”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
(2)从抽出的 6 人中,任选 2 人参加一对一的对抗比赛,基本事件总数为 n=C62=15, 这 2 人来自同一年龄组包含的基本事件个数为 m=C32+C22=4, ∴这 2 人来自同一年龄组的概率 P=������������=145.
解析
点拨：1.求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (3)利用公式 P(A)=������,求出事件 A 的概率.
专题16 古典概型与几何概型基础篇-2018年高考数学备考
专题十六 古典概型与几何概型古典概型【背一背基础知识】1．基本事件的特点：（1）同一试验中任何两个基本事件都是互斥．．的；（2）任何事件都可以表示成几个基本事件．．．．．．的和．．． 2．什么叫古典概型？我们将具有（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．如何计算古典概型的概率？如果试验的基本事件的总数为n ，随机事件A 所包含的基本事件的个数为m ，则m n就是事件A 出现的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作为()p A ，即()m p A n =．【讲一讲基本技能】1．必备技能：求古典概型概率的步骤是：（1）求出总的基本事件数；（2）求出事件A 所包含的基本事件数，然后用公式()A p A =所包含的基本事件数总的事件个数计算．在求基本事件的个数时，要做到不重不漏，可以用列举法把基本事件一一牧举出来，也可用排列组合的思想来求． 2． 典型例题例1【2017课标II ，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.110 B. 15 C. 310 D. 25【答案】D例2【2016高考新课标Ⅲ文数】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） （A ）815 （B ）18 （C ）115 （D ）130【答案】C【解析】开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C ． 【练一练趁热打铁】1．【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）45（B ）35（C ）25（D ）15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===.本题选择C 选项.2．【2016高考四川文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则l o g a b 为整数的概率= . 【答案】16【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==.几何概型【背一背基础知识】1．什么叫几何概型？事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，事件A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与形状和位置无关，满足以上条件的试验称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式：()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量． 【讲一讲基本技能】1．必备技能：解决几何概型问题的关键是对区域Ω和子区域A 选用什么几何度量？是长度？还是面积？体积？这主要根据具体问题来解决． 2．典型例题例1【2017课标1，文4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 4【解析】例2【2016高考山东理数】在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】34【练一练趁热打铁】1．【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==．故选B ． 2．在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14【解析】由121-1log 2x ≤+≤（）1得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，332204P -==-，故选A .一、选择题（12*5=60分）1．【2018届河北省衡水市武邑中学高三下学期开学】一次数学考试中，2位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ） A.14 B. 13 C. 12 D. 34【答案】C2．【2018届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为A.125 B. 925 C. 1625 D. 2425【答案】D【解析】外面大正方形边长为5，所以大正方形面积为25，四个全等的直角三角形面积为1344242⨯⨯⨯= ，因此概率为24,25选D. 3．已知函数()()2log 3f x x =+，若在[]2,5-上随机取一个实数0x ，则()01f x ≥的概率为( )A. 37B.47C.57D.67【答案】D4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A.710B.58C.38D.310【答案】B【解析】至少等待15秒的对立事件为等待不超过15秒，由几何概型知1551408P=-=，故选B.5．【2018届贵州省凯里市第一中学高三下学期开学】大型反贪电视剧《人民的名义》播出之后，引起观众强烈反响，为了解该电视剧的人物特征，小赵计划从1～6集中随机选取两集进行观看，则他恰好选择连续的两集观看的概率为（）A. 14B.13C.12D.23【答案】B【解析】基本事件如下12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种，其中连续的有12,23,34,45,56共5种，故概率为51 153=.6．一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥的事件是（）A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 恰有一次不中靶D. 至少有一次中靶【答案】B【解析】互斥事件指的是两个事件的交集为空集。
古典概型与几何概型的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师,理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念,下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍.一、古典概型和几何概型的意义（一）。
几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。
1。
几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．．．．。
（2)每个基本事件出现的可能性相等．．．．．。
2。
几何概型求事件A的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二) 古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点:（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．．．。
（2）每个基本事件出现的可能性相等．．．．．.2。
古典概型求事件A的概率公式：P（A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。
三。
利用不同概率模型，培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球,这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球,小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明:第一组题是古典概型,（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；(2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。
2018高考数学文科一轮复习讲义 7.2 第二节 古典概型
第二节 古典概型【考点点知】知己知彼，百战不殆古典概型是新课标概率知识中最重要的内容，高考对这一部分的考查，主要是利用古典概型的概率公式解决一些古典概型的应用题，是考查的重点．复习时，应先加强对基本事件的定义及古典概型定义的理解，从而更好地利用古典概型的概率公式求解古典概型问题． 考点一: 基本事件1.在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示，这样的事件称为基本事件. 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间.2.古典概型，都具有两个特征：（1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性相同.我们把具有这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型（古典的概率模型），试验的每一个可能结果称为基本事件.考点二: 有放回抽样与无放回抽样1.在随机试验中有两种重要的概率模型,即有放回抽样与无放回抽样.（1）有放回的抽样：每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样.显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去.（2）无放回的抽样：每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次.2.由此可见有放回的抽样不是古典概型，无放回的抽样是古典概型.考点三: 古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P （A ）=nm .由此规定可知，在古典概型中，计算事件A 的概率，关键是计算试验的所有可能结果（基本事件）数n 和事件A 包含的可能结果（基本事件）数m .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007江西文,6)一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132 Ｂ．164 Ｃ．332 Ｄ．364思路透析:两个球的编号和不小于．．．15, 则两球号码可以为7,8; 8,7; 8,8三种可能, 其概率为338864P ==⨯, 故应选D. 点评:应用枚举法列出基本事件的个数,再利用公式求概率,求解中有不少考生遗漏了8,8这一可能性.例2.(基础·2007上海春季)在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有 人．思路透析:设男教师有x 人,则女教师有12x +人,则随机挑选一人是男教师的概率1112912220xx x C x C x ++==+,解之得54x =, ∴参加联欢会的教师共有122120x +=人.点评:本题考查了随机事件的概率事件的分析与实际应用, 概率与方程思想相交汇的综合考查. 不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以看作是随机事件的两个极端情况，用这种既对立又统一的观点去看待它们，有利于认识它们的内在联系.例3.(综合·2007山东卷文科12)设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4思路透析:当2x =时, 211()236P C ==⨯; 当3x =时, 321()233P C ==⨯; 当4x =时, 421()233P C ==⨯; 当5x =时, 511()236P C ==⨯, 综上可得事件n C 的概率最大时, n 的所有可能值为3或4,故应选D.点评:考生在求解不同的赋值情况下的概率时,对于点在直线上的点坐标的对号选择有部分错误,导致结论出解中出现错误,也有部分考生对于得到的两个值持怀疑态度,进行二次概率求解,试图比较其两者的大小而出现延时现象.高考概率试题的求解,对概率事件的分析过程一要细心,二要清楚的理解该事件所有可能发生的情况,作出正确的判断后再进行求解.例 4.(综合·2007山东临沂期中,17)已知△ABC ，向量ABC k AB AC k BC ∆∈≤=-=求且,,4||),4,2(),3,2(Z 为直角三角形的概率.思路透析:).1,(),3,2()3,2(k CB AC AB k CB k BC =+=∴--=∴-=又.1515,15,161,4||22≤≤-∴≤≤+∴≤k k k又.3,2,1,0,±±±=∴∈k k Z若△ABC 为直角三角形，则（i ）2,042,0-=∴=+∴=⋅k k ；（ii ）13,32,02-=∴--∴=⋅或k k k ；（iii ）8,012)2(2,0=∴=+-∴=⋅k k （舍去）.∴△ABC 为直角三角形的k 的值为－1，－2，3，而基本事件总数为7.由古典概型知，.73=P 即△ABC 为直角三角形的概率为.73点评:本题以平面向量的坐标运算与点坐标间的相互联性定义进行命题,通过直角三角形的个数作为事件,考查了古典概型及其概率计算公式,属于一道综合题,考查了考生对复杂的概率事件的分析与推理论证的能力.例 5.(创新探究·2008如东、启东期中,18)已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，且,b c Z ∈，记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，求事件A 发生的概率．思路透析:由 ⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 得:282b c b c +≤⎧⎨-+≤⎩ 且 04,04b c ≤≤≤≤,b c Z ∈ . 当b=0时c=0,1,2 ; 当b=1时c=0,1,2,3 ; 当b=2时c=0,1,2,3,4 ;当b=3时c=0,1,2 ; 当b=4时c=0以上共16种情形 .故事件A 发生的概率为16()25P A = . 点评:古典概型是近几年高考考查的热点内容.在计算其基本事件的个数以及事件A 所包含的基本事件的个数时，既可以直接列举，也可借用平面直角坐标系、有序实数对（有序实数组或有序元素等）、树枝状图等方法来列举. 本例中是通过有序实数对来计数的.例6.(创新探究·2007湖北八校联考)箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为n 的卡片反面标的数字是21240n n -+．（卡片正反面用颜色区分）（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率；（2）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．思路透析:（1）由不等式21240n n n >-+，得58n <<.由题意知6,7n =，即共有2张卡片正面数字大于反面数字，故所求的概率为215． 答：所求的概率为215. （2）设取出的是第m 号卡片和n 号卡片（m n ≠）， 则有2212401240m m n n -+=-+.即2212()n m n m -=-，由m n ≠得12m n +=.故符合条件的取法为1，11；2，10；3，9；4，8；5，7． 故所求的概率为2155121C =． 答：故所求的概率为121． 点评:本题为一个不等式与概率问题的交汇考题,通过解不等式得出符合条件的基本事件数,也可以用列举法列出所有的基本事件(当基本事件个数较少时适用),然后分别求得符合条件的概率值.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)一般地,对于古典概型,如果试验的n 个基本事件组成基本事件集合(称为基本事件空间),随机事件A 含有m 个基本事件,这m 个基本事件构成集合A,则集合A 中元素的个数m 与基本事件的个数n 的比值,就是事件A 的概率,即P (A )=n m . (2) P （A ）=nm ,既是概率的古典定义又是求古典概型的概率的基本方法. 求P(A)时，首先要判断是否是古典概型，它的计算步骤是： ①判断事件A 是否为古典概型; ②算出基本事件的总个数n ;③算出事件A 包含的基本事件的个数m ；④算出事件A 的概率P （A ）=A 事件所包含的基本事件数试验的所有可能的基本事件总数=nm . 2.学以致用:(1)将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为A ．91B ．121C ．151D ．181 (2)将一枚硬币连掷3次，出现“2个正面，1个反面”的概率是 A.31 B.81 C.83 D.32 (3)在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率 是 （结果用数值表示）．(4)豌豆的高矮性态的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d,第一子代的一对基因为D d ，若第一子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率.（只要有基因D,则茎就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎）答案:(1)D 解析: 设骰子连续抛掷三次向上的对应的点数所成等差数列的公差为d ,若0d =,则该等差数列有6个; 若1d =,则该等差数列有4个; 若2d =,则该等差数列有2个; 若3d ≥,则该等差数列不存在; 若1d =-,则该等差数列有4个; 若2d =-,则该等差数列有2个; 若3d ≤-,则该等差数列不存在.由此可得点数依次成等差数列的概率3642421618P ++++==, 故应选D. (2)C 解析:用“×”表示反面向上，“√”表示正面向上，所有的可能结果有“√√√”“√√×”“√×√”“×√√”“√××”“×√×”“××√”“×××”共8种；其中“2个正面，1个反面”的有3种，概率为83. 故应选C.(3)3.0解析:从5个数中任取3个共有10种方法,而取出三个数字后剩下的两个数字都是奇数,则取出的三个数中必有一个是奇数,两个是偶数,共有3种取法,∴剩下两个数字都是奇数的概率30.310P ==. (4)解析:由于第一子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都列举出来. 如图所示，Dd 与Dd 的组合有4种：DD ，Dd ，d D ，dd ， 其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为375%4=. 3.易错分析:(1)在运用公式时，关键在于求出m 、n. 在求n 时，必须注意几种结果必须是等可能的，这一点比较容易出错.(2)利用图表的形象直观性，可以清晰地分析基本事件空间，确定随机事件中所含的基本事件的个数，进而利用古典概型的概率公式来求其概率.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则2log 1x y =的概率为 （ ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 2.从1,2,…,9共9个数字中任取一个数字,取出数字为偶数的概率为 ( ) A.0 B.1C.95D.94 3.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是( ) A.21 B.31 C.41 D.32 4.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( ) A.51 B.103 C.53 D.21 5.从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是 ( ) A .53 B.52 C.41 D.81 6.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．47二、填空题:7.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取1把能将该锁打开的概率为 .8.从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,取出的两件产品中恰有一件次品的概率为 .9.某号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码(开锁号码)时，锁才能打开．如果不知道开锁号码，试开一次就把锁打开的概率是 ?10.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡片是7的倍数的概率是_______.三、解答题:11.抛掷两粒均匀的骰子，求：（Ⅰ）点数和为7的概率；（Ⅱ）出现两个5点的概率.12.某校举行运动会，高三（一）班有男乒乓球运动员4名，女乒乓球运动员3名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能结果,若某女乒乓球运动员为国家一级运动员,则她参赛的概率是多少?13.某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码中任指一个电话号码，求（Ⅰ）头两位号码都是8的概率；（Ⅱ）头两位号码都不超过8的概率；（Ⅲ）头两位号码不相同的概率.14.已知袋中有编号为1~9的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个小球.求：(Ⅰ)恰好有一球编号是3的倍数的概率；(Ⅱ)至少有一球编号是3的倍数的概率；(Ⅲ)三个小球编号之和是3的倍数的概率.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. D3. D4. B5. C6. C二、填空题:7. 15 8. 32 9. 11000000 10. 0.14 三、解答题:11.解析:用有序实数对（x ，y ）表示基本事件，其中x 、y 分别表示两粒骰子的点数，易知所有基本事件数为36.（Ⅰ）用A 表示事件“点数之和为7”，则事件A 所含有的基本事件数为6.所以P （A ）=61366=. （Ⅱ）用B 表示事件“出现两个5点”，则事件B 所含有的基本事件数为1.所以P （B ）=361. 12.解析:由于男生从四人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A,B,C,D,女生为1,2,3,我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果如（A ，1）表示：第一次随机选取中从男生中选的是男生A ，从女生中选取的是女生1, 可用列举法列出所有可能的结果. 如下表所示：由表可知，可能结果总数是12个.设该国家一级运动员为编号1,她参赛的可能事件有4个,故她参赛的概率为41123P == 13.解析:电话号码的第一位可以是0~9中的任一个数字.第二位也是0~9中的任一个数字，我们把前2位号码用（,x y ）表示，试验的所有结果如下表：从表中可以看出，头两位号码的所有可能的结果共有100个，由于是随机抽取，每个号码是等可能出现的，这个试验属于古典概型.（Ⅰ）记A 为“头两位号码都是8”，事件A 包含的基本事件只有1个（8，8），∴事件A 的概率1()0.01100P A ==. （Ⅱ）记B 为“头两位号码都不超过8”，则事件B 包含的基本事件由表可知共有81个, ∴事件B 的概率81()0.81100P B ==. （Ⅲ）记C 为头两位号码不相同，则事件C 包含的基本事件数由表可以数出共90个, ∴事件C 的概率90()0.9100P C ==. 14.解析:(Ⅰ)从九个小球中任取三个共有39C 种取法，它们是等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A ， 则2815)(392613=⋅=C C C A P . (Ⅱ)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B ， 则2116)(21161)(3926131623333936=++==-=C C C C C C B P C C B P 或 . （Ⅲ）设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C ，设集合}7,4,1{},9,6,3{21==S S ,}8,5,2{3=S ,则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有131313333C C C C ⋅⋅+种，则1453)(3913131333=⋅⋅+=C C C C C C P .。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：古典概型与几何概型
【知识再现】1. 古典概型：一般地，一次试验有下面两个特征：（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相同，称这样的概率模型为古典概型。
判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性。
2. 几何概型：一般地，一次试验有下面两个特征：（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 古典概型与几何概型的区别（1）相同点：基本事件发生的可能性都是相同的；（2）不同点：古典概型的基本事件是有限个；几何概型的基本事件是无限个。
【关键点拨】1.计算古典概型概率的基本步骤有：①判断试验结果是否为等可能事件；②求出试验包括的基本事件的个数n，以及所求事件A包含的基本事件的个数m；③代入公式P（A）＝mn，求概率值。
2. 在几何概型中，事件A的概率计算公式：P（A）＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解。
例题已知函数f（x）＝x2－2ax＋b2，a，b∈R。
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）＝0有两个不相等实根的概率；（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）＝0没有实根的概率。
解析：本题第（1）问是古典概型问题，第（2）问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题。
答案：（1）∵a取集合{0，1，2，3}中任一个元素，b取集合{0，1，2}中任一个元素，∴a，b的取值情况有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12。
2018届高考数学艺体生文化课复习讲义考点50 几何概型
考点五十 几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性． 4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一 与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32. ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 题型二 与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．题型三 与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 1－π12解析 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________． 答案 14－12π解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________． 答案127解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.3. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为________． 答案 13解析 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.4．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为________． 答案 45解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________． 答案 23解析 由3a －1＞0得a ＞13，由几何概型知P ＝1－131＝23.课后作业一、 填空题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为________． 答案 15解析 可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间为事件A ，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A 构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10cm ，则P (A )＝210＝15.2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是________． 答案310解析 这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P ＝(10，13)的区间长度(10，20]的区间长度＝310.3．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为________． 答案 23解析 由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P ＝812＝23.4．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．答案235解析 据题意得S 阴影S 矩形＝S 阴影2×5＝138300⇒S 阴影＝235.5．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为________． 答案334π解析 设圆O 的半径为R ，“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则P (A )＝34AB 2πR 2＝34(3R )2πR 2＝33. 6．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为________． 答案 2－ 2解析 如图，E 为斜边AC 上的点，且AE ＝1cm ，则蚂蚁应在线段AE 及边AB 上爬行，所求概率P ＝22＋2＝2－ 2. 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则________． 答案 p 1<12<p 2解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABO S 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE，而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2.8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________． 答案512解析 选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20＝512.9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝______.答案 3解析 由图知要使|x |≤m 的概率为56，易得m ＝3.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18.∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．答案 π4解析 记“豆子落入圆内”为事件A ，则P (A )＝μA μΩ＝圆面积正方形面积＝πa 24a 2＝π4.二、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．解析 (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解析 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8. 因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，所求概率为P 2＝S 2S ＝12.。
精品教案：古典概型与几何概型
古典概型与几何概型【知识网络】1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。
【典型例题】[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）A ．49B ．29C ．23D ．13（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12 C ．13D ．16（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。
[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．方案1：总点数是几就送礼券几十元．方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．【课内练习】1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （）A ．15 B ．524C ．1081D ．512 2． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1，第8个人摸出红球的概率是P 8，则（）A ．P 8=18P 1B ．P 8=45P 1C ．P 8=P 1D ．P 8=03． 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．14第3题图4．两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）A．12B．13C．14D．235．一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为．6．某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．7．在圆心角为150°的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P，则同时满足：∠AOP≥45°且∠BOP ≥75°的概率为．8．某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．①设“V P-ABC≥14V”的事件为X，求概率P(X)；②设“V P-ABC≥14V且V P-BCD≥14V”的事件为Y，求概率P(Y)．17、概率17．2 古典概型与几何概型A 组1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（ ）A ．2π B ．2ππ- CD ．4π2． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．163． 已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)及内部面积为S=πab ，A 1，A 2是长轴的两个顶点，B 1，B 2是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （ ） ①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1； ②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0；③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为ba ；④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为ba ；⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a ba-。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十四章14.2第2课时含解析
第2课时不等式的证明1．不等式证明的方法（1）比较法:①作差比较法：知道a〉b⇔a－b〉0，a<b⇔a－b<0,因此要证明a〉b只要证明a－b〉0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a〉b〉0⇔错误!>1且a>0，b>0，因此当a>0，b〉0时,要证明a>b,只要证明错误!>1即可,这种方法称为作商比较法．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．（3)分析法：从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法:一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k（k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式（1）柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b,c，d都是实数,则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd)2（当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α|｜β｜≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R,则x1－x22＋y1－y22＋错误!≥错误!.④柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 是实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)≥（a1b1＋a2b2＋…＋a n b n）2，当且仅当b i＝0 （i＝1,2，…,n)或存在一个数k，使得a i＝kb i (i＝1,2，…，n）时，等号成立．(2）算术—几何平均不等式若a1，a2,…,a n为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．1．设a,b，m,n∈R，且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,求错误!的最小值．解根据柯西不等式(ma＋nb）2≤(a2＋b2）(m2＋n2），得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为错误!.2．若a，b，c∈(0,＋∞),且a＋b＋c＝1,求错误!＋错误!＋错误!的最大值．解（错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．∴（错误!＋错误!＋错误!）2≤3。
2018版高考数学二轮复习第2部分必考补充专题第20讲古典概型、几何概型理
第20讲古典概型、几何概型（对应学生用书第114页）、选择题1. （2017 •全国I 卷）如图20-1，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称•在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是（ ）【导学号：07804128】图 20-1A.C.B [（概率中的数学文化）不妨设正方形 ABCD 勺边长为2,则正方形内切圆的半径为 1, 可得S 正方形=4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑=S 白=令圆=于,故选B.]2 . （2017 •深圳一模）袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字 6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A.-D.C [从4个球中随机选取三个球，共有 （2,3,4） , （2,3,6） , （2,4,6） , （3,4,6）四种情 况，其中所选的三个球上的数字能构成等差数列的为 （2,3,4） , （2,4,6）,故所求事件1的概率为2故选C .]B.D.所以由几何概型知所求概率P = FS E 方形“2B.A丹C13. （2017 •福州五校联考）小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口•已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为 40秒，黄灯5秒，红灯45秒•如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于3A .4D.D ［法一：（直接法）设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事法二：（间接法）设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于 20秒”为事件 A其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于 40 + 20 140+ 5+ 45 = 3,选 D.]4.（2016 •全国n 卷）从区间［0,1］随机抽取2n 个数 刘，X 2,…，x n , y 1, y 2，…，y n ,构成n 个数对（X 1, y” , （X 2,汨，…，（X n , y n ），其中两数的 平方和小于1的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 n 的近似值为（）20秒的概率是B.件A ,则P (A = 45 + 5-2040+ 5+ 4513，选 °，20 秒”，1B. 2n m4m C. _D.2mnC ［因为X 1,X 2,…，x n , y 1, y 2,…，r jlcBI fA工拟的方法可得4m n=孑]5. （2017・福建高三4月质量检查）某食品厂做了 3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐 3种卡片才可获奖，则购买该食品 4袋，获奖的概率为（3一S 正方形A. C.B.D.nV 2[鱼缸底面正方形的面积为22= 4，圆锥底面圆的面积为n .所以"鱼食能被鱼缸n内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1 ―玄，故选A.]7. （2017 •沈阳一模）将A B , C, D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是（）1 A.^B.D.B [A , B, C, D 4名同学排成一排有 A 4 = 24种排法•当A ,C 之间是B 时，有2X 2 = 4种排法，当 代C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率为三¥ =1，故选B.]& （2017 •河南平顶山一模）甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有 4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个 球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）【导学号：07804129】92A.— B. —44 44 3537 C.- D. — 444C [白球没有减少的情况有：抓出黑球，放回任意球，概率是8；抓出白球，放回白 8，-.C 4 •A 3 6X64「，丄 B [P （获奖）=-^一= -8- = ©•故选 B.]（2017 •湖南长沙四县联考）如图20-2，在一个棱长为 2的正方体鱼缸内放入一个倒置的 无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底 上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则"鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的 概率是（）3 3"46. 13515 5 15 35球，概率是3x話88故所求事件的概率为5+护45故选C.]9. （2017 •太原二模）如图20-3，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点1 ____落在小正方形内的概率为 5则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为 （ ）1 B.- e 1 D. 1 —-e0<x <e , 又不等式组 0<y <e ,xy <eA-5 5 1B.2.55D.B [法一：（直接法）设大正方形的边长为 1 ,直角三角形较大的锐角为a ，则小正方 形的边长为sin a — cos a ，所以（sin21—cos a)=5,所以a — cos a2sin a cos a4=5，所以sin攀故选B. 5法二：（排除法）由赵爽弦图可知,n直角三角形较大的锐角一定大于 壬,所以其正弦值定大于 ¥，故排除选项 A , C, D,选B.]10. （2017 •福建宁德一模）若从区间（0 , e ）（e 为自然对数的底数，e = 2.718 28…）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为（C.A [设随机选取的两个数为的区域面积为e 2,0<x <e ,x , y ，由题意得|0<y <e ,该不等式组在坐标系中对应 在坐标系中对应的区域面积为e +〈=2e ,•••所求概率1x为&故选A.］11.（湖南五市十校联考）在矩形ABCD中, AB= 2AD在CD上任取一点P,A ABP的最大边是AB的概率是（）2 9A.B. D.3- 1D ［分别以A B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交 CD 于 P i , F 2, 则当P 在线段PF 2间运动时，能使得△ ABP 的最大边是AB 易得 PF 2 CD即厶ABP 的最大边是 AB 的概率是，3— 1.］"x + y —4W012. （2017 •云南统一考试）在平面区域$x>0内随机取一点（a , b ），则函数f （x ）y>o=ax 2 — 4bx +1在区间［1 ,+^）上是增函数的概率为B.D.B ［不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB 的内部及边界1 2AB 不包括边界 OA OB ，贝U &AO F -x 4X 4= 8.函数 f （x ） = ax 24b —4bx + 1在区间［1 ,+^）上是增函数，则应满足 a >0且x =a >0W 1,即 <，可得对应的平面区域如图中阴影部分（包括边界OC BC 不包括a >2 bj a = 2b边界OB ，由a +b — 4=08 4 1 4 8，解得 a =3, b = 3，所以 S A CO = ?x 4x ?=?，根据8 3 1几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为=；,故选B.］ 8 32A B11321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为【导学号：07804130】32316二、填空题13. （2013 •全国n 卷）从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数1之和等于5的概率为14，则n =8 ［由题意知n > 4,取出的两数之和等于 5的有两种情况：1,4和2,3 ,所以P = C =1 2 帀即n -n-56= 0,解得n=- 7（舍去）或n= 8.】14. （2017 •湖南百所重点中学联考则圆 C ： x 2+ （y — 2）2= 1 与圆O）若a 是集合{1,2,3,4,5,6,7} 中任意选取的一个元素， x 2+ y 2= a 2内含的概率为 _____________ . 47 ［由圆 C ： x 2+ (y — 2)2= 1与圆O x 2+ y 2= a 2内含，可知|a — 1|>2，解得a <— 1或 a >3.又 a € {1,2,3,4,5,6,7}4所以a 只能取4,5,6,7四个数，故所求事件的概率为-.］15. （2017 •郑州三模）已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生 0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9 表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数:0.3 ［由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有 421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为—=0.30.］16. （2017 •江西红色七校二模且与抛物线y = x 2及x）已知直线l : x + y — 6 = 0与x 轴交于点 A,与y 轴交于点B,轴正半轴围成图形 Q , 若从Rt △ AOB 区域内任取一点 Mx , y ），则点M 取自图形 Q的概率为1627［如图所示，由定积分可求得阴影部分图形1Q 的面积 S = 2x 2d x + 6(6 — x) d x =aJ 。
8.5古典概型及几何概型(教师版)
科目数学年级高三备课人高三数学组第课时8.5古典概型及几何概型考纲定位掌握古典概型及其概率计算公式；了解几何概型的意义；一、基本事件：1、定义：；2、关于基本事件，下列说法错误的是（）DA.一次试验中只能发生一个基本事件B.任何两个基本事件都是互斥的C.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和D.每个基本事件发生的概率相等3、(1)已知箱中有6个除了编号外完全相同的小球，若一次取两个小球，则共有个基本事件；(2)已知箱中有6个除了编号外完全相同的小球，若先后取两个小球，则共有个基本事件.二、古典概型：1、古典概型的特点：（1）；（2） .2、古典概型的计算公式：例1、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.（1）如果从中取出一件，确认产品等次后放回，然后再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率；（3）求有放回地连续取3次，3次中恰有2次取到次品的概率.变式训练：1、将一骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是（）BA.23B.56C.2936D.342、（2011 新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）AA.13B.12C.23D.343、（2012 安徽）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（）BA.15B.25C.35D.454、（2012 广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）DA.49B.13C.29D.195、（2012 重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率是3 56、（2012 江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 357、（2011 江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 13小结：古典概型的概率求解步骤：（1） （2） （3） “一判、二列、三数”三、几何概型：1．几何概型的概念及特点： ；2．几何概型的概率计算公式：3．几何概型的常见类型：（1） （2） （3）例2、（1）在区间[1,3]上任取一个数，则这个数大于2的概率为（ ）BA.0.25B.0.5C.0.75D.1（2）取一个正方形，作它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（ ）BA.2π B.2ππ- C.2πD.4π变式训练：1、已知一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为 ；2、已知一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的内部随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为 ；3、（2012 辽宁）在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为（ ）CA.16 B.13 C.23 D.454、（2012 北京）设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）DA.4π B.22π- C.6π D.44π- 5、（2011 湖南）已知圆C:2212x y +=，直线:4325l x y +=，则圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 16【课后反思】。
2018版高考文科数学古典概型高品质版
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4．[2015·广东卷] 已知 5 件产品中有 2 件次品， 其余为合格品，现从这 5 件产品中任取 2 件，恰 有 1 件次品的概率为( ) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
[解析] B 5 件产品中有 2 件次品，记 为 a，b，有 3 件合格品，记为 c，d， e，从这 5 件产品中任取 2 件，有 10 种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)， (a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c， d)，(c，e)，(d，e)，恰有 1 件次品， 有 6 种，分别是(a，c)，(a，d)，(a， e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)．设事件 A
所以构成勾股数的概率为110.
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4．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 从 1，2，3，4 中 任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的 绝对值为 2 的概率是( )
1111 A.2 B.3 C.4 D.6
[解析] B 基本事件是(1，2)，(1，3)，(1， 4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 6 个，其中 两数之差的绝对值为 2 的基本事件是(1，3)， (2，4)，共 2 个，根据古典概型公式得所求
意，故所求概率为122＝16.
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3．[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各 个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体 玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是________．
[答案]
5 6
[解析] 本题为古典概型，基本事件共 有 36 个，点数之和大于等于 10 的有 (4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6， 5)，(6，4)，共计 6 个基本事件，故点 数之和小于 10 的有 30 个基本事件，
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型一、古典概型 1、定义（1）样本空间的元素只有有限个； （2）每个基本事件发生的可能性相同。
比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。
称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
2、古典概型中事件概率的计算设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1}{n i n P i ==ω若事件A 包含m 个样本点，即{}ωωωi i i A m,,,21 =， 则有 ：中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数发生的基本事件数使A =n m= 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.752．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A ．310B ．15C ．110D ．1123.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .4．（2009·安徽文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
18版：§12.2 古典概型（步步高）
审题路线图系列 六审细节更完善 典例 (12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别 为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再 从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率.
事件A包含的基本事件数 P(A)＝ 试验的基本事件总数 .
知识拓展
从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组 成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I 的一个包含m个元素的子集. 故 P(A)＝ccaarrddAI＝mn .
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型， 其基本事件是“发芽与不发芽”.( × ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”， 这三个结果是等可能事件.( × ) (3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，
2
5
A.3
B.2
C.3
D.6
(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记 的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片 上的数字依次记为a，b，c. ①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； 解答
②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率. 解答
由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法. 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的 编号为基本事件的概率模型为古典概型.
②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基 本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 解答
高考数学总复习 第十四章 第2讲 古典概型配套课件 文
同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确的判断试验的
类求型出是事解决件概A率问中题的的基关键本. (
jīběn)事件，利用公式
m
P(A)＝，求出事件(shìjiàn)
A
的
n
率.这(2)用是列一举个法把形古象典概、型直试验观的的基本好事方件一法一，列出但来列，然举后时再必须按照某一顺序
做到不重复、不遗漏.
还是去下棋．游戏规则为以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，
A5，A6(如图 14-2-2)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向
量，记这两个向量的数量积为 X，若 X>0 就去打球(dǎ qiú)，若 X＝0
就去唱歌，若 X<0 就去下棋．
第九页，共33页。
图 14-2-2
(1)写出数量(shùliàng)积 X 的所有可能取值；
A.15
B.12
C.23
D.45
解析(jiě xī)：因为文艺书只有 2 本，所以选取的 3 本书中必有科
技书，这样问题就等价于求选取的 3 本书中有文艺书的概率．
(1)求 A1 恰被选中的概率(gàilǜ)；
成一个(小2组)求． B1 和 C1 不全被选中的概率．
第二十四页，共33页。
解：(1)从7人中选出日语、韩语和印度语志愿者各1名，所有可能 的结果组成的基本事件(shìjiàn)有：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)， (A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2， B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2， C1)，(A3，B2，C2)，共12个．由于每一个基本事件(shìjiàn)被抽取的 机会均等，因此这些基本事件(shìjiàn)的发生是等可能的．
2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第13章第2讲 古典概型与几何概型(考题帮.数学理)
题组 2 几何概型的概率计算
7.[2016 全国卷Ⅰ,4,5 分][理]某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到 达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )
1
1
2
3
A.3 B.2 C.3 D.4
8.[2016 全国卷Ⅱ,10,5 分][理]从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成 n 个数
2.C 从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另 一个花坛中,共有 6 种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法,根据古典概型的概
42
率计算公式,所求的概率为6=3.故选 C.
3.C 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},
1
率为6.
6.用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间 Ω 与点集 S={(x,y) |x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为 S 中元素的个数是 4×4=16,所以基本事件总数 n=16.
(Ⅰ)记“xy≤3”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件共 5 个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
第二讲 古典概型与几何概型
题组 1 求古典概型的概率
1.[2017 全国卷Ⅱ,11,5 分]从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽
取 1 张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
古典概型与几何概型中的易错题型归类辨析
古典概型与几何概型中的易错题型归类辨析
吴继敏
【期刊名称】《中学生数理化:高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2022()5
【摘要】在概率学习中,不少同学因对概念理解不清,对题意理解不透等原因而出错。
本文针对同学们学习时易混淆的概念进行归纳总结,希望能对同学们有所帮助。
一,
古典概型中的易错题型辨析1.古典概型中忽视事件发生的等可能性。
例1任意抛
掷两次骰子,计算:(1)出现的点数相同的概率;(2)出现的点数之和为奇数的概率。
【总页数】2页(P32-33)
【作者】吴继敏
【作者单位】江苏省宜兴第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.古典概型与几何概型易错点辨析
2.把准联系与区别细斟慎选稳解题——古典概
型与几何概型的辨析与应用3.两种概型探风韵——“古典概型”与“几何概型”
问题揽胜4.几何概型与古典概型概念认识的统一性及几何概型的应用5.古典概型
和几何概型辨析
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①如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示,则其概率的计算公
式为 P (A)
构成事件A的区域角度 试验的全部结果构成的区域角度
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第二讲
古典概型与几何概型
②解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的,进而判定事件的发生 是等可能的. (4)与体积有关的几何概型的求法
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第二讲
古典概型与几何概型
考法示例1 某班级的某一小组有6位学生,其中4位男生,2位女生,现从中选取2位学生参加 班级志愿者小组,求下列事件的概率: (1)选取的2位学生都是男生;
(2)选取的2位学生一位是男生,另一位是女生.
思路分析
首先,直接列举出任取2位学生的所有基本事件,求出总数,其次,分别列举
频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 相同点
名称
频率计 算公式
不同点
频率计算中的m,n均随随机试验的变化而变 化,但随着试验次数的增多,它们的比值逐渐趋 近于概率值
古典概型 的概率计 算公式
是一个定值,对同一个随机事件而言,m,n都不 会变化
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第二讲 考点2 几何概型
(2)等可能性,即每个基本事件出现的可能性是相等的.
【注意】下列三类试验不是古典概型:(1)基本事件个数有限,但非等可 能;(2)基本事件个数无限,但等可能;(3)基本事件个数无限,也不等可能.
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古典概型与几何概型
3.古典概型的概率公式 (1)古典概型的概率公式
计算频率fn(A)= M/n作为所求概率的近似值.
随机模拟估计概率的适用范围是:(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性” 的概率问题我们可采取随机模拟方法;(2)对于一些基本事件的总数比较大而导 致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性比 较难于验证的概率问题,应考虑用随机模拟方法.
填空题、选择题中单独考查,分值5分,也可在解 答题中与统计、计数原理、分布列等综合考查, 分值6~12分.
命题趋势
2.趋势分析 预测2018年,古典概型仍是考查
的重点,此外几何概型与线性规划、立体几何、 定积分相联系的题目也是高考考查的趋势,应 引起重视.
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,(4,6),(5,6),共15个.
(1)从6位学生中选取2位学生,所选取的2位全是男生的取法,有 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个.
∴选取的2位学生都是男生的概率为P=
(2)从6位学生中选取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括 (1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个. ∴选取的2位学生一位是男生,另一位是女生的概率为P=
因此由P(A)=1不能推出A是必然事件.
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第二讲
古典概型与几何概型
4.几何概型的常见类型 (1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关; (2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不
明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了
8 15
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古典概型与几何概型
【突破攻略】
列举法是一种形象、直观的好方法，列举时需注意：（1）尽量按某一顺序， 以做到不重复、不遗漏.(2)是否有顺序，有序和无序是有区别的，可以交换 次序来看是否对结果造成影响，有影响就是有序，无影响即无序.(3)是否允 许重复，即是放回的还是不放回的，放回的取元素是允许重复的，不放回 的取元素是不允许重复的.
2014上海,10,4分
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第二讲
古典概型与几何概型
考纲解读
考点
2016全国
2014全国
2015全国
自主命题区域
命题规律
几何概型 【10%】 ·全国Ⅰ,4,5分
命题趋势
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古典概型与几何概型
考纲解读
1.热点预测 古典概型是高考考查的热点,可在
命题规律
的概率.
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第二讲
古典概型与几何概型
解析
(1)如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意,知AB=AC.
由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域 应是线段AB. 所以
P( AM AC ) AC' AC 2 AB 2 2 AC
数(card(I))的比值,即 P card(A) m
card(I ) n
【注意】(1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特 征——有限性和等可能性;(2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关.
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第二讲
古典概型与几何概型
【辨析比较】
P (A) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
(2)从集合的观点看古典概型
从集合的观点来看,如果把一次试验中出现的n个等可能结果组成一个集合I,那 么每个结果都是I的元素.包含m个结果的一个事件就对应I的某个有m个元素的
子集A.所以该事件的概率是子集A的元素个数(记为card(A))与集合I的元素个
第二讲
古典概型与几何概型
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能力大提升
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能力大提升 1
第二讲 专题1 “约会型”问题的求解
古典概型与几何概型
求解由两个量决定的概率问题时,通过建立坐标系,借助于纵、横坐标关系产生的区域面积,得
到问题的结论,我们称此类问题为“约会型”概率问题.“约会型”概率问题的求解关键在于合
理、恰当地引入变量,再将具体问题“数学化”,通过建立数学模型,得出结论. 示例6 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的 时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中任意一船都不需要 等待码头空出的概率.
取点的全部结果构成的区域.
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第二讲
古典概型与几何概型
考法示例5
如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落
在椭圆外的黄豆为96颗,以此试验数据为依据估计椭圆的面积为 A.7.68 B.8.68 C.16.32 D.17.32
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第二讲 考法2 与长度、角度有关的几何概型问题
古典概型与几何概型
考法指导 求几何概型概率的基本步骤:
考法示例3 在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C. (1)在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率; (2)在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC
P (A)
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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古典概型与几何概型
【名师提醒】
在几何概型中,如果A是随机事件,(1)若A是不可能事件,则P(A)=0肯定成立; 如果随机事件所在的区域是一个单点,由于单点的长度、面积和体积都是0, 则它出现的概率为0,显然它不是不可能事件,因此由P(A)=0不能推出A是不 可能事件.(2)若A是必然事件,则P(A)=1肯定成立;如果一个随机事件所在的 区域是从全部区域中扣除一个单点,则它出现的概率是1,但它不是必然事件,
考法指导 求解与面积有关的几何概型问题,关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利 用图形的几何特征找出两个“面积”,套用几何概型的概率计算公式,从而求得随机事件的概率.
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古典概型与几何概型
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第二讲 考法4 随机模拟的应用
古典概型与几何概型
①如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示,则其概率的计算公
式为P (A)
构成事件A的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积
②解此类问题一定要注意几何概型的条件.
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第二讲 考点3 随机模拟
古典概型与几何概型
用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这种方法 的基本步骤是:(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随 机数一定的意义;(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;(3)
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1
考法1 考法3
考法2
专题1 专题2
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