高二数学下学期入学摸底考试试题 文 试题

卜人入州八九几市潮王学校屯溪一中2021–2021高二
第二学期开学考试
数学〔文科〕试题
第一卷〔选择题，一共60分〕
题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

〕 1.和直线l 都平行的直线
,a b 的位置关系是〔〕
A.相交
B.异面
C.平行
D.平行、相交或者异面
2.
直线
30x +-=的倾斜角为〔〕
A.
6
π
-
B.3π
C.23π
D.56π
3.“1a =〞是“直线230a x y -+=与20x ay +-=垂直〞的〔〕。

A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.某四棱锥的三视图如下列图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔〕 A ．1 B.2 C ．3
D.4
5.设
A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆
为等边三角形且其面积为棱锥D ABC -体积的最大值为〔〕 A
．
B
．
C
．
D
．
6.从甲、乙等5名同学中选2人参加社区效劳，那么甲恰被选中的概率为〔〕 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3
7.双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，那么其渐近线方程为〔〕
A
．
y = B
．y = C
．
y = D
．y =
8.直线
b y x =+43与圆012222=+--+y x y x 相切，那么b 的值是〔〕
A.2-或者12
B.2或者12-
C.2-或者12-
D.2或者12
9.抛物线
x y C 8:2
=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，
Q 是直线PF
与C 的一个交点，假设
FQ FP 4=，那么=QF 〔〕。

A.27
B.3
C.25
D.2
10.设(2,3)A -,(1,2)B ,假设直线10ax y +-=与线段AB 相交，那么a 的取值范围是〔〕
A.
[1,1]- B.(1,1)- C.(,1][1,)-∞-+∞ D.(,1)(1,)-∞-+∞
11.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
2
22x y -+=上，那么ABP ∆面
积的取值范围是〔〕。

A ．
[]26，
B ．
[]48，
C
．
D
．⎡⎣
12.
过
M 作圆221x y +=的切线l ，直线l 与x 轴的交点为抛物线
2
:2(0)E y px p =>的焦点，l 与E 交于
,A B ，那么AB 的中点到E 的准线的间隔为〔〕
第二卷〔非选择题总分值是90分〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

把答案填在答题卡的相应位置上。

〕
13.“存在
2000,8180
x R x x ∈-+<〞的否认是
14.在空间直角坐标系中，设(1,3,0)A ，(3,6,12)B -，那么=AB 。

15.双曲线
C
的离心率为
3
，焦点为
21,F F ，点A
在曲线
C
上，假设
A
F A F 213=，那么
=∠12cos F AF 。

16.1F 、2F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A
且斜率为
的直线上，假设
12PF F ∆为等腰三角形，12120
F F P ∠=，那么C 的离心率为。

三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

解答写在答题卡上的指定区域内。

〕 17.〔本小题总分值是10分〕
:p 对于任意实数x ，都有228ax ax >--:q 方程2240x y x a +-+=表示一个圆。

假设“q
p ∨“
q p ∧a 的取值范围。

18.〔本小题总分值是12分〕
如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC ==，
4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
⑴证明：PO ⊥平面ABC ；
⑵假设点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的间隔． 19.〔本小题总分值是12分〕
圆
22
:(2)(2)16C x y -+-=，点(10,0)A 。

⑴设点P 是圆C 上的一个动点，求
AP 的中点Q 的轨迹方程；
⑵直线
:100l kx y k --=与圆C 交于,M N ，求AM AN ⋅的值。

20.〔本小题总分值是12分〕
如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB=2，
AD=，
∠BAD=90° ⑴求证：AD ⊥BC ；
⑵求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； ⑶求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值． 21.〔本小题总分值是12分〕
过抛物线
2
:2(0)C y px p =>的焦点F 作倾斜角为45︒的直线l ，直线l 与抛物线C 交于,A B ，假设
16
AB =。

⑴抛物线C 的方程；
⑵假设经过
(1,2)M 的直线交抛物线C 于,P Q ，(5,0)N ，假设PN QN
=，求直线
PQ 的方程。

22.〔本小题总分值是12分〕
椭圆)
0(1:22
22>>=+b a b y a x E 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 是椭圆E 上的一个动点，
21F PF ∆的周长为6，且存在点P 使得21F PF ∆为正三角形。

⑴求椭圆E 的方程；
⑵假设
D C B A ,,,是椭圆
E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1
F ，0=⋅BD AC 。

假设AC 的
斜率为
3，求四边形ABCD 的面积。

屯溪一中2021–2021高二第二学期开学考试 数学〔文科〕参考答案
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

〕
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。

把答案填在答题卡的相应位置上。

〕
13.
2
,8180x R x x ∀∈-+≥；14.13；；16.14。

三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

解答写在答题卡上的指定区域内。

〕
17.〔本小题总分值是10分〕
解：假设p
真，即对于任意实数
x，都有2280
ax ax
++>恒成立。

ⅰ〕假设
=
a，即对于任意实数x，都有22880
ax ax
++=>恒成立；
ⅱ〕假设
≠
a，必须满足2
(2)480
a
a a
>
⎧
⎨
∆=-⨯<
⎩
由ⅰ〕、ⅱ〕得p
真，
a的取值范围是[0,8)………………5分
假设q
真，即方程
2240
x y x a
+-+=
表示一个圆，只需
2
(4)40
a
-->
，即
4
a<。

所以q
真，
a的取值范围是(,4)
-∞。

………………
7分
假设“
q
p∨
“
q
p∧q
p,
一真一假。

所以a的取值范围是(,0)[4,8)
-∞。

………………
10分
18.〔本小题总分值是12分〕
⑴因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．
由知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
⑵作CH⊥OM，垂足为H．又由〔1〕可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的间隔．
由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==
．
所以点C 到平面POM 的间隔为．
【解析】分析：〔1〕连接，欲证
平面
，只需证明
即可；〔2〕过点作
，
垂足为，只需论证
的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：〔1〕因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=
．
连结OB ．因为AB=BC=，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB=
=2．
由
知，OP ⊥OB ．
由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
〔2〕作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由〔1〕可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的间隔．
由题设可知OC==2，CM==
，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==
．
所以点C 到平面POM 的间隔为．
19.〔本小题总分值是12分〕
解：⑴设
(,)Q x y ，那么(210,2)P x y -，由于点P 是圆C 上的一个动点，有
故AP 的中点Q 的轨迹方程为
22
(6)(1)4x y -+-=。

………………6分 ⑵
设1122(,),(,)M x y N x y ，那么221212222(1022)100408,11k k k k x x x x k k +++-+==++
20.〔本小题总分值是12分〕
〔Ⅰ〕由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD=AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ． 〔Ⅱ〕解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN 〔或者其补角〕为异面直线BC 与MD 所成的角．
在Rt △DAM 中，AM=1，故
．因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN=1，故
．
在等腰三角形DMN 中，MN=1
，可得
12cos MN
DMN DM ∠==
． 所以，异面直线BC 与MD
〔Ⅲ〕解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，
ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．
在Rt △CAD 中，
=4．
在Rt △CMD
中，
sin CM CDM CD ∠=
=．
所以，直线CD 与平面ABD
所成角的正弦值为。

21.〔本小题总分值是12分〕
解：⑴依题意：(,0)2p F ，
:2p l y x =- 设
1122(,),(,)A x y B x y ，那么123x x p +=。

故抛物线C 的方程为
28y x =。

⑵假设经过
(1,2)M 的直线的斜率不存在，此时直线与抛物线交于,P Q ，那么,P Q 关于x 轴对称，满足
PN QN
=，即直线
1x =满足题意。

假设经过(1,2)M 的直线的斜率存在，设它为k
，那么
:2(1)PQ y k x -=-。

设3344(,),(,)P x y Q x y ，那么2342
2342248
242k k x x k x x k k k -++=
+-+=
即
PN QN
=说明点
(5,0)N 在线段PQ 的中垂线上，即线段PQ 的中垂线为：
224124()k k y x k k k -+-=--即22
41240(5)k k k k k -+-=--
所以直线PQ 的方程为22(1)2y x y x -=-=即。

故直线
PQ 的方程为1x =或者2y x =。

22.〔本小题总分值是12分〕
解：⑴设c 为椭圆的半焦距，依题意,有：⎩⎨⎧==+c a c a 2622解得⎩
⎨⎧==12
c a 。

故椭圆E 的方程为1342
2=+y x 。

………………4分
⑵
0=⋅BD AC BD AC ⊥⇒，又3=AC k ，那么
3
3
-
=BD k 。

0=⇒x 或者
58-
=x
∴
()5
16
)58(0312
=
--+
=AC 。

………………7分
13
48133124133124)33(12=---+--
+=∴BD 。

………………10分
6538413485162121=⨯⨯=⨯⨯=
BD AC S ABCD 。

故四边形ABCD 的面积为65384。

………………12分。