北师版数学九下9B教材知识梳理及中考复习 第17讲 相似三角形

第17 讲相似三角形
一、知识清单梳理
知识点一：比例线段关键点拨与对应举例在四条线段a，b，c，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即列比例等式时，注意四条线段的大小
1.比例
线段a c
，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例
b d
线段．
顺序，防止出现比例混乱.
(1)基本性质：
a c
⇔ad＝bc；（b、d≠0）
b d
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同
2.比例(2)合比性质：a c ⇔a
b
b d b ＝
c
d
d
；（b、d≠0）
一个参数的式子表示，再求代数式的值，也
可以用给出的字母中的一个表示出其他的
的基
本性质(3)等比性质：
a c
＝…＝m
＝k(b＋d＋…＋n≠0)
⇔
b d n
a c ... m
＝k.（b、d、···、n≠0）
b d ... n
字母，再代入求解.如下题可设
a=3k,b=5k,再
代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b
代入求解.
例：若
a
b
3 ，则a b
8
5 b
5
.
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线利用平行线所截线段成比例求线段长
l1
l2
D
l
3
段成比例. 即如图所示，若l3 ∥l4 ∥l5 ，则
A
或线段比时，注意根据图形列出比例
l4
AB DE 等式，灵活运用比例基本性质求解.
B
E
.
F
l
5
C
BC EF 例：如图，已知D，E 分别是△ABC的
3.平行
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，
A B
线分线段成比例定理的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则
O A OB
.
OD OC C
O
D
要使DE∥AB，那么BC：CD 应等于
5
3
.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
A
所构成的三角形和原三角形相似．
D
E
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
B
C
4.黄金
AC 5－1
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC，如果＝= ≈
AB 2
0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，
那么较长线段长为5( 5 －1)cm．
分割
金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
知识点二：相似三角形的性质与判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
D
A
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
5.相似
B CE
F
DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
D
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，
三角
形的
AC AB
，则△ABC∽△DEF. B
DF DE
判定(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，
A
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
CE F
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
D
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等AB AC BC
，则△ABC∽△DEF. DE DF EF B
A
若
或找底、腰对应成比例.
CE F
1
(1)对应角相等，对应边成比例．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长6.相似(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF
的面积之比为9：4.
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
三角形的(2) 如图，DE∥BC，AF⊥
性质BC,已知S△ADE:S△
相似比．
ABC=1:4，则AF:AG=1：2.
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，
可以迅速找到解题思路，事半功倍. 7.相似三（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经
常把等积式化为比例式，把比例式的四条角形的线段分别看做两个三角形的对应边.然后，基本模
通过证明这两个三角形相似，从而得出结型果.
2。