第06讲 立方根与实数(教师版)
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p （2）任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数； （3）两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 3.实数的分类：
【问题】如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到 达点 O’，点 O’对应的数是多少？
答案：π
七年级提高体系
第 10 页 共 22 页
【探究】以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正 半轴的交点 A 就表示数 2 ，与负半轴的交点 B 就表示数 2 ．
∴ 的立方根是 ，﹣0.064 的立方根是﹣0.4；0 的立方根是 0；4 的立方根是 ．
故答案是： ，﹣0.4，0， ．
【例 2-1】（★★☆☆☆）（2014▪沛鸿中学期中考）下列说法中，正确的是（ ）
七年级提高体系
第 5 页 共 22 页
A．4 的算术平方根是－2
B．－81 的平方根是 9
C．8 的立方根是 2
故选：B．
） D．±4
【例 3】（★★★☆☆）（课本）比较 3.4， 3 50 的大小． 【考点】立方根． 【分析】每个数进行三次方运算即可比较大小．
【解答】3.43=39.304， 3 50 3 50 ；
因为 50＞39.304． 故答案为： 3.4 50 ．
练 3.（★★★☆☆）（课本）比较下列各组数的大小．
因为（ 2 ）3= 8 ，所以 8 的立方根是（ 2 ）．
3
27
27
3
知识总结：正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是 负数 ，0 的立方根是 0 ．
【探究】因为 3 8 = －2 ， 3 8 = －2 ，所以 3 8 = 3 8 ； 因为 3 27 = －3 ， 3 27 = －3 ，所以 3 27 = 3 27 ． 知识总结：一般地，a 为任意实数，则 3 a 3 a ．
故答案为： 3 3 ． 2
七年级提高体系
第 7 页 共 22 页
【例 4】（★★★☆☆）（课本）求下列各式中 x 的值：
（1） x3 0.008
（2） x3－3 3 8
【考点】立方根．
【分析】（1）直接开立方即可
（2）先把常数移到等式右边，再开立方即可
（3）直接开立方可得 x－1 的值，再求出 x 值即可
A．0.4 的算术平方根是 0.2
B．16 的平方根是 4
C．64 的立方根是 4
D． - 2 3 的立方根是 2
3
3
【考点】立方根．
【分析】根据立方根、平方根以及算数平方根的定义和分别判断得出即可．
【解答】解：A．0.4 的算术平方根是 0.4 ，故此选项错误；
B．16 的平方根是±4，故此选项错误；
2
中，无理数的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【考点】实数．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：实数﹣1.732， ， ，0.121121112…， 3 0.001 中，
显然﹣1.732 是小数，所以是有理数； 3 0.001 =0.1，0.1 是小数，是有理数；0.121121112 是
D．－1 的立方根是 1
【考点】立方根．
【分析】根据立方根、平方根及算数平方根的定义分别判断得出即可．
【解答】解：4 的算术平方根是 2，故此选项错误；
B．－81 没有平方根，故此选项错误；
C．8 的立方根是 2，故此选项正确；
D．－1 的立方根是－1，此选项错误．
故选：C．
【例 2-2】（★★☆☆☆）（2017-2018 三美段考）－27 的立方根与 4 的平方根的和是（ ）
第六讲 立方根与实数
1.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根； 2.会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值； 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围； 5.会进行有关实数的简单四则运算。
考点：1`.会用根号表示数的立方根； 2.会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根；
【解答】
（1） x3 0.008
3 x3 3 0.008 x 0.2
（2） x3－3 3 8
x3 27 8
3 x3 3 27 8
x 3 2
（3） (x－1)3 64
（3） (x－1)3 64 3 (x 1)3 3 64 x 1 4 x 41 x5
练 4-1.（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
（1） 2x3 16
（2） x3 3 5
（3） 8(x 1)3 1 0
【考点】立方根． 【分析】（1）直接开立方即可 （2）先把常数移到等式右边，再开立方即可 （3）先通过移项、系数化一、开立方求出 x-1 的值，再求出 x 值即可 【解答】
（1） 2x3 16
x3 8 3 x3 3 8 x2
A．±1
B．－5
C．－1 或－5
D．±1 或±5
【考点】立方根．
【分析】直接利用立方根以及平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣27 的立方根是﹣3，4 的平方根是±2，
故﹣27 的立方根与 4 的平方根的和是：﹣1 或﹣5．
故选：C．
练 2-1.（★★☆☆☆）（2013-2014▪三美段考）下列说法中，正确的是（ ）
（1） 3 9 与 2.5
（2） 3 3 与 3 2
【考点】立方根．
【分析】每个数进行三次方运算即可比较大小．
【解答】（1） 3 9 3 9 ，2.53=15.625；
因为 15.625＞9．
故答案为： 9 2.5 ．
（2） 3 3 3 3 ， 3 3 27 ； 2 8
因为 27 3 ． 8
（2） 3 a a ， 3 a 3 a ．
（3） 3 a 3 a
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第 3 页 共 22 页
【问题 1】（课本）要制作一种容积为 27m3 的正方形形状的包装箱，这种包装箱的棱长应 该是多少？
知识总结：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的 立方根 ； 若 x3 a 则 x 就叫做 a 的 立方根 ，一个数 a 的立方根可用符号表“ 3 a ”，其中“3”叫做根指 数，不能省略．
（2） x3 3 5
x3 8 3 x3 3 8 x2
（3） 8(x 1)3 1 0
8(x 1)3 1 (x 1)3 1
8 3 (x 1)3 3 1
8 x 1 1
2 x 1 1
2 x1
2
七年级提高体系
第 9 页 共 22 页
模块二 实数
一．无理数 无理数的概念：无理数是无限不循环小数；常见的无理数有：无限不循环小数（例如 ）， 开方开不尽的数． 二．实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 2.实数的性质： （1）有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数 q 的形式；
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第 4 页 共 22 页
【例 1】（★☆☆☆☆）（课本）求下列各式的值：
（1） 3 64
（2） 3 0.027
（3） 3 27 64
（4） 3 1 37 64
【考点】立方根． 【分析】根据立方根的定义即可运算． 【解答】
（1） 解：原式 4 （2）解：原式 0.3 （3）解：原式 3 （4）解：原式 3
3
2
练 1-2.（★☆☆☆☆）求下列各数的立方根：
（1） ：
；（2）﹣0.064：
；
（3）0：
；（4） ：
．
【考点】立方根． 【分析】如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根，根据此定义求解即可． 【解答】解：∵ 的立方是 ；﹣0.4 的立方是﹣0.064；0 的立方是 0； 的立方是 4 ．
p 5．实数与数轴上的点一一对应．
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第 2 页 共 22 页
模块一 立方根
一．立方根 1.立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根； 若 x3 a 则 x 就叫做 a 的立方根，一个数 a 的立方根可用符号表“ 3 a ”，其中“3”叫做根指数， 不能省略． 2.立方根的特点： （1）任意一个数都有立方根； （2）正数立方根是正值； （3）负数的立方根是负值； （4）0 的立方根是 0． 二．开立方 1.开立方的概念：求一个数的立方根的运算． 2.开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不 是另一个数的立方根． 3.开立方运算的性质： （1）当被开方数（大于 0）扩大（或缩小） n3 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．
知识总结：这说明，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，也就是说，数轴上的 点有些表示有理数，有些表示无理数，当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就 是一一对应的．
【例 5-1】（★☆☆☆☆）（2017-2018 三美段考）实数－1.732，
，3
4
，0.121121112，3
0.001
x3 64 125
3 x3 3 64 125
x4 5
（3） 2(x 1)3 128
（3） 2(x 1)3 128 (x 1)3 64 3 (x 1)3 3 64 x 1 4 x 41 x3
练 4-2.（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
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【问题 2】（课本）根据立方根的意义填空，你能发现正数、0 和负数的立方根各有什么特
点吗？
因为 23=8，所以 8 的立方根是（ 2 ）；
因为（ 0.2 ）3=0.064，所以 0.064 的立方根是（ 0.2 ）；
因为（ 0 ）3=0，所以 0 的立方根是（ 0 ）；
因为（－2）3=－8，所以－8 的立方根是（－2）；
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3.知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；会进行有关实数的简单四 则运算。 重难点：1.会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值； 3.会进行有关实数的简单四则运算。 易错点：
练 5-1.（★☆☆☆☆）（2017-2018 新民段考）下列一组数：－8，－|－3|，2.6， 、， 22 ， 7
0.1010010001...
中，无理数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】实数．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：实数－8，－|－3|，2.6， ， 22 ，0.1010010001...中， 7
4
4
练 1-1.（★☆☆☆☆）（课本）求下列各式的值：
（1） 3 1000
（2） 3 0.001
（3） 3 64 27
（4） 3 7 1 8
【考点】立方根． 【分析】根据立方根的定义即可运算． 【解答】
（1）解：原式 10 （2）解：原式 0.1 （3）解：原式 4 （4）解：原式 1
C．64 的立方根是－4，故此选项错误；
D．（ 2 ）3 的立方根是 2 ，此选项正确．
3
3
故选：D．
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第 6 页 共 22 页
练 2-2.（★★☆☆☆）（2016-2017 柳州市期末）8 的立方根为（
A．±2
B．2
C．4
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的定义算出即可．
【解答】解：8 的立方根为 2
1． 平方根“ a ”其实省略了根指数“2”，即： 2 a 也可以表示为 a ，而立方根“ 3 a ”的根 指数“3”不能省略． 2．立方根等于本身的数有“±1”和“0”． 3．两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数． 4．无理数是无限不循环小数，不能写成分数 q 的形式，这里 p、q 是互质的整数，且 p 0 ．
小数，是有理数；
故
、3
4
是无理数．
2
故选：A．
【例 5-2】（★☆☆☆☆）（2016-2017 钦州市期末）请你写出一个大于 0 而小于 2 的无理
数：
．
【考点】实数．
【分析】依据算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：∵1＜2＜4， ∴1＜ ＜2．
故答案为： （答案不唯一）．
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（1） x3 0.027
（2） x3 1 61 125
【考点】立方根．
【分析】（1）直接开立方即可
（2）先把常数移到等式右边，再开立方即可
（3）先通过开立方求出 x+1 的值，再求出 x 值即可
【解答】
（1） x3 0.027
3 x3 3 0.027 x 0.3
（2） x3 1 61 125
【问题】如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到 达点 O’，点 O’对应的数是多少？
答案：π
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【探究】以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正 半轴的交点 A 就表示数 2 ，与负半轴的交点 B 就表示数 2 ．
∴ 的立方根是 ，﹣0.064 的立方根是﹣0.4；0 的立方根是 0；4 的立方根是 ．
故答案是： ，﹣0.4，0， ．
【例 2-1】（★★☆☆☆）（2014▪沛鸿中学期中考）下列说法中，正确的是（ ）
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第 5 页 共 22 页
A．4 的算术平方根是－2
B．－81 的平方根是 9
C．8 的立方根是 2
故选：B．
） D．±4
【例 3】（★★★☆☆）（课本）比较 3.4， 3 50 的大小． 【考点】立方根． 【分析】每个数进行三次方运算即可比较大小．
【解答】3.43=39.304， 3 50 3 50 ；
因为 50＞39.304． 故答案为： 3.4 50 ．
练 3.（★★★☆☆）（课本）比较下列各组数的大小．
因为（ 2 ）3= 8 ，所以 8 的立方根是（ 2 ）．
3
27
27
3
知识总结：正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是 负数 ，0 的立方根是 0 ．
【探究】因为 3 8 = －2 ， 3 8 = －2 ，所以 3 8 = 3 8 ； 因为 3 27 = －3 ， 3 27 = －3 ，所以 3 27 = 3 27 ． 知识总结：一般地，a 为任意实数，则 3 a 3 a ．
故答案为： 3 3 ． 2
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第 7 页 共 22 页
【例 4】（★★★☆☆）（课本）求下列各式中 x 的值：
（1） x3 0.008
（2） x3－3 3 8
【考点】立方根．
【分析】（1）直接开立方即可
（2）先把常数移到等式右边，再开立方即可
（3）直接开立方可得 x－1 的值，再求出 x 值即可
A．0.4 的算术平方根是 0.2
B．16 的平方根是 4
C．64 的立方根是 4
D． - 2 3 的立方根是 2
3
3
【考点】立方根．
【分析】根据立方根、平方根以及算数平方根的定义和分别判断得出即可．
【解答】解：A．0.4 的算术平方根是 0.4 ，故此选项错误；
B．16 的平方根是±4，故此选项错误；
2
中，无理数的个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【考点】实数．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：实数﹣1.732， ， ，0.121121112…， 3 0.001 中，
显然﹣1.732 是小数，所以是有理数； 3 0.001 =0.1，0.1 是小数，是有理数；0.121121112 是
D．－1 的立方根是 1
【考点】立方根．
【分析】根据立方根、平方根及算数平方根的定义分别判断得出即可．
【解答】解：4 的算术平方根是 2，故此选项错误；
B．－81 没有平方根，故此选项错误；
C．8 的立方根是 2，故此选项正确；
D．－1 的立方根是－1，此选项错误．
故选：C．
【例 2-2】（★★☆☆☆）（2017-2018 三美段考）－27 的立方根与 4 的平方根的和是（ ）
第六讲 立方根与实数
1.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根； 2.会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值； 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围； 5.会进行有关实数的简单四则运算。
考点：1`.会用根号表示数的立方根； 2.会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根；
【解答】
（1） x3 0.008
3 x3 3 0.008 x 0.2
（2） x3－3 3 8
x3 27 8
3 x3 3 27 8
x 3 2
（3） (x－1)3 64
（3） (x－1)3 64 3 (x 1)3 3 64 x 1 4 x 41 x5
练 4-1.（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
（1） 2x3 16
（2） x3 3 5
（3） 8(x 1)3 1 0
【考点】立方根． 【分析】（1）直接开立方即可 （2）先把常数移到等式右边，再开立方即可 （3）先通过移项、系数化一、开立方求出 x-1 的值，再求出 x 值即可 【解答】
（1） 2x3 16
x3 8 3 x3 3 8 x2
A．±1
B．－5
C．－1 或－5
D．±1 或±5
【考点】立方根．
【分析】直接利用立方根以及平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣27 的立方根是﹣3，4 的平方根是±2，
故﹣27 的立方根与 4 的平方根的和是：﹣1 或﹣5．
故选：C．
练 2-1.（★★☆☆☆）（2013-2014▪三美段考）下列说法中，正确的是（ ）
（1） 3 9 与 2.5
（2） 3 3 与 3 2
【考点】立方根．
【分析】每个数进行三次方运算即可比较大小．
【解答】（1） 3 9 3 9 ，2.53=15.625；
因为 15.625＞9．
故答案为： 9 2.5 ．
（2） 3 3 3 3 ， 3 3 27 ； 2 8
因为 27 3 ． 8
（2） 3 a a ， 3 a 3 a ．
（3） 3 a 3 a
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【问题 1】（课本）要制作一种容积为 27m3 的正方形形状的包装箱，这种包装箱的棱长应 该是多少？
知识总结：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的 立方根 ； 若 x3 a 则 x 就叫做 a 的 立方根 ，一个数 a 的立方根可用符号表“ 3 a ”，其中“3”叫做根指 数，不能省略．
（2） x3 3 5
x3 8 3 x3 3 8 x2
（3） 8(x 1)3 1 0
8(x 1)3 1 (x 1)3 1
8 3 (x 1)3 3 1
8 x 1 1
2 x 1 1
2 x1
2
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模块二 实数
一．无理数 无理数的概念：无理数是无限不循环小数；常见的无理数有：无限不循环小数（例如 ）， 开方开不尽的数． 二．实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 2.实数的性质： （1）有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数 q 的形式；
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【例 1】（★☆☆☆☆）（课本）求下列各式的值：
（1） 3 64
（2） 3 0.027
（3） 3 27 64
（4） 3 1 37 64
【考点】立方根． 【分析】根据立方根的定义即可运算． 【解答】
（1） 解：原式 4 （2）解：原式 0.3 （3）解：原式 3 （4）解：原式 3
3
2
练 1-2.（★☆☆☆☆）求下列各数的立方根：
（1） ：
；（2）﹣0.064：
；
（3）0：
；（4） ：
．
【考点】立方根． 【分析】如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根，根据此定义求解即可． 【解答】解：∵ 的立方是 ；﹣0.4 的立方是﹣0.064；0 的立方是 0； 的立方是 4 ．
p 5．实数与数轴上的点一一对应．
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模块一 立方根
一．立方根 1.立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根； 若 x3 a 则 x 就叫做 a 的立方根，一个数 a 的立方根可用符号表“ 3 a ”，其中“3”叫做根指数， 不能省略． 2.立方根的特点： （1）任意一个数都有立方根； （2）正数立方根是正值； （3）负数的立方根是负值； （4）0 的立方根是 0． 二．开立方 1.开立方的概念：求一个数的立方根的运算． 2.开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不 是另一个数的立方根． 3.开立方运算的性质： （1）当被开方数（大于 0）扩大（或缩小） n3 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．
知识总结：这说明，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，也就是说，数轴上的 点有些表示有理数，有些表示无理数，当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就 是一一对应的．
【例 5-1】（★☆☆☆☆）（2017-2018 三美段考）实数－1.732，
，3
4
，0.121121112，3
0.001
x3 64 125
3 x3 3 64 125
x4 5
（3） 2(x 1)3 128
（3） 2(x 1)3 128 (x 1)3 64 3 (x 1)3 3 64 x 1 4 x 41 x3
练 4-2.（★★★☆☆）求下列各式中 x 的值：
七年级提高体系
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【问题 2】（课本）根据立方根的意义填空，你能发现正数、0 和负数的立方根各有什么特
点吗？
因为 23=8，所以 8 的立方根是（ 2 ）；
因为（ 0.2 ）3=0.064，所以 0.064 的立方根是（ 0.2 ）；
因为（ 0 ）3=0，所以 0 的立方根是（ 0 ）；
因为（－2）3=－8，所以－8 的立方根是（－2）；
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3.知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；会进行有关实数的简单四 则运算。 重难点：1.会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值； 3.会进行有关实数的简单四则运算。 易错点：
练 5-1.（★☆☆☆☆）（2017-2018 新民段考）下列一组数：－8，－|－3|，2.6， 、， 22 ， 7
0.1010010001...
中，无理数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】实数．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：实数－8，－|－3|，2.6， ， 22 ，0.1010010001...中， 7
4
4
练 1-1.（★☆☆☆☆）（课本）求下列各式的值：
（1） 3 1000
（2） 3 0.001
（3） 3 64 27
（4） 3 7 1 8
【考点】立方根． 【分析】根据立方根的定义即可运算． 【解答】
（1）解：原式 10 （2）解：原式 0.1 （3）解：原式 4 （4）解：原式 1
C．64 的立方根是－4，故此选项错误；
D．（ 2 ）3 的立方根是 2 ，此选项正确．
3
3
故选：D．
七年级提高体系
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练 2-2.（★★☆☆☆）（2016-2017 柳州市期末）8 的立方根为（
A．±2
B．2
C．4
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的定义算出即可．
【解答】解：8 的立方根为 2
1． 平方根“ a ”其实省略了根指数“2”，即： 2 a 也可以表示为 a ，而立方根“ 3 a ”的根 指数“3”不能省略． 2．立方根等于本身的数有“±1”和“0”． 3．两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数． 4．无理数是无限不循环小数，不能写成分数 q 的形式，这里 p、q 是互质的整数，且 p 0 ．
小数，是有理数；
故
、3
4
是无理数．
2
故选：A．
【例 5-2】（★☆☆☆☆）（2016-2017 钦州市期末）请你写出一个大于 0 而小于 2 的无理
数：
．
【考点】实数．
【分析】依据算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：∵1＜2＜4， ∴1＜ ＜2．
故答案为： （答案不唯一）．
七年级提高体系
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（1） x3 0.027
（2） x3 1 61 125
【考点】立方根．
【分析】（1）直接开立方即可
（2）先把常数移到等式右边，再开立方即可
（3）先通过开立方求出 x+1 的值，再求出 x 值即可
【解答】
（1） x3 0.027
3 x3 3 0.027 x 0.3
（2） x3 1 61 125