坐标系中的将军饮马,如何求点关于直线的对称点

坐标系中的将军饮马，如何求点关于直线的对称点
最短路径问题之“将军饮马”一直是中考的热点。

今天介绍坐标系下的将军饮马，重点讲解如何求点关于直线的对称点的坐标！
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？即在直线L(河流)上找一点C，求
AC+BC最小值。

过点A作关于直线(河流)的对称点A′，然后连接A′B交直线于点C，那么A-C-B这种走法路程最短。

简证：设C′是直线L上C以外任意一点，则A′B<A′C′+BC′(三角形两边之和大于第三边)。

“将军饮马”模型，其原理是“两点之间，线段最短”（线段公理）
分如下两种情况：
(一)如果点A与点B在直线异侧，那么直接连接AB即可。

(二)如图点A与点B在直线同侧，作一点关于直线的对称点，把同侧转化成异侧。

由于A′C永远等于AC，所以转化成A′C+BC的最小值，直接连接A′B即可，非常容易理解。

简单总解一下，将军饮马模型，其实就是两个定点，一个动点在定直线上，这个是它的基本组成。

分析题目时，先确定两个定点是在直线的同侧还是异侧，然后按照上面方法就能确定最短路径。

坐标系下，需要求定点关于定直线的对称点坐标，然后再利用两点间距离公式求出最短距离。

特殊情况：直线平行坐标轴
已知点M(x，y)
关于x轴的对称点坐标是(x，-y)
关于y轴的对称点坐标是(-x，y)
关于直线x=m的对称点坐标是(2m-x，y)
关于直线y=m的对称点坐标是(x，2m-y)
一般情况：直线不是特殊直线，比较麻烦，结合例题参照下面的方法
例题：已知直线y=2x上一个动点C，点A(0，5)，B(-3，2)，求AC+BC的最小值。

由于点A与点B在直线同侧，所以需要转化到异侧。

如图作点A关于直线的对称点A′(a，b)，则A′B即是所求。

方法一
过点A作AP垂直y=2x于点P，可以求得点P的坐标是(2，4)。

然后根据中点公式，0+a=2×2,5+b=4×2，解得a=4，b=3，
最后根据两点间距离公式，求出A′B=5√2。

方法二
也可以直接利用二元一次方程组，a与b两个未知数，两个等量关系如下。

①直线AA′与直线y=2x的斜率乘积是-1。

(5-b)/(0-a) × 2 = -1
②点A与点A′的中点P在直线y=2x上。

(5+b)/2 = 2 × (0+a)/2
解方程组，得到a=4，b=3。

则A′B=5√2。