解析安徽省滁州市定远县育才学校高二实验班下学期期末考试数学理试题含解析

育才学校2018-2019学年度第二学期期末试卷
高二实验班理科数学
一、选择题。

1.下列说法正确的是( )
A. 若命题,p q ⌝均为真命题，则命题p q ∧为真命题
B. “若6π
α=，则1sin 2α=”的否命题是“若1sin 62
παα=≠，则” C. 在ABC ∆，“2C π
=”是“sin cos A B =”的充要条件
D. 命题:p “2000,50x R x x ∃∈-->”的否定为:p ⌝“2,50x R x x ∀∈--≤”
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可．
【详解】对于A ：若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p∧q 为假命题，所以A 不正确；
对于B ：“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2
α≠”，所以B 不正确； 对于C ：在△ABC 中， “2C π=”⇔“A+B=2π”⇔“A=2
π-B”⇒sinA=cosB ， 反之sinA=cosB ，A+B=2π，或A=2π+B ，“C=2
π”不一定成立， ∴C=2π是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，所以C 不正确； 对于D ：命题p ：“∃x 0∈R，x 02-x 0-5＞0”的否定为￢p ：“∀x∈R，x 2-x-5≤0”，所以D 正确．
故选：D ．
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查．
2.若函数()2
f x x =，设514a o
g =，151log 3
b =，152
c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系( )
A. ()()()f a f b f c >>
B. ()()()f b f c f a >>
C. ()()()f c f b f a >>
D. ()()()f c f a f b >>
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意，结合二次函数的性质可得()2
f x x =在()0,+∞上为增函数，结合对数的运算性质可得1
551log 133
b og ==，进而可得1b a
c <<<，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()2f x x =，是二次函数，
其对称轴为y 轴，且在()0,+∞上为增函数，
514a og =，1
551log 133
b og ==，152
c =， 则有1b a c <<<，
则()()()f c f a f b >>；
故选：D ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题．
3.已知i 为虚数单位，复数9321i z i i
-=++，则z =（ ）
A. 2+
C. 5
D. 25 【答案】C
【解析】
【分析】 对z 进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到z
【详解】对复数z 进行化简
()()93193223412
i i i z i i i i ---=+=+=-+
所以22345z =+= 【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.
4.已知集合{}30,0,x A x
B x x A B x 则-⎧⎫=≤=≥⋂=⎨⎬⎩⎭ A. {}03x x <≤ B. {}03x x ≤≤ C. {}13x x ≤< D. {}13x x <<
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简求出集合A ，B ，进而求出A ∩B．
【
详解】∵集合A={x|
3x x -≤0}={x|0＜x≤3}， B={x|x≥0}，
∴A∩B={x|0＜x≤3}．
故选：A ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
5.已知函数12
21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，且102f m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则不等式()f x m >的解集为 A. 20,2⎛ ⎝⎭
B. 20,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C. 21,4⎛- ⎝⎭
D. (1,)-+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 由1()02
f m -=，可分别考虑分段函数的每一段取值为0的情况，即可求解出m 的值；然后再分别利用每一段函数去考虑()f x m >的情况.
【详解】函数1221,0()log ,0x x f
x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，可知0x ≤时，()1f x >， 所以102m ->，可得121log 02m ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭解得32m =． 不等式()f x m >即不等式3()2f x >
， 可得：03212x x ≤⎧⎪⎨+>⎪⎩或12
03log 2x x >⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得：(1,0]x ∈-或20,4x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即21,4x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭
故选：C ．
【点睛】利用分段函数求解参数取值时，需要对分段函数的每一段都进行考虑；并且在考虑每一段分段函数的时候，注意定义域.
6.执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）
A. 18
B. 14
C. 12
D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2x
y =的值. 【详解】根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出11222
x y -=== 【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题.
7.已知函数()()()ln 1220f x x a x a a =+-+->.若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是（ ）
A. (]1ln3,0-
B. (]1ln3,22ln -
C. (]1ln3,12ln --
D. (]0,1ln2-
【答案】D
【解析】
【分析】
对()0f x >进行变形，得到()2ln 2a x x x ->-+-，令()()2h x a x =-，()ln 2g x x x =-+-，即()()h x g x >的整数个数为3，再由()g x 的函数图像和()h x 的函数图像，写出限制条件，得到答案
【详解】()0f x >Q
()ln 1220x a x a +∴+-->，即()2ln 2a x x x ->-+-
设()()()2,ln 2h x a x g x x x =-=-+-，
其中2x =时，()()20,2ln 20h g ==-<
3x =时，()()30,3ln30h a g =>=-<
即2,3x x ==符合要求
()111x g x x x
-'=-+=，所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减 ()1,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，()11g =-为极小值.
()()h x g x >Q 有三个整数解，则还有一个整数解为1x =或者是4x =
①当解集包含1x =时，0x →时，()()20,h x a g x →-<→+∞
所以需要满足()()()()01144a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩
即012ln 442a a a >⎧⎪->-⎨⎪≤-+-⎩，解得01ln 2a <≤-
②当解集包含4x =时，需要满足()()()()()()0114455a h g h g h g >⎧⎪≤⎪⎨>⎪⎪≤⎩即012ln 4423ln 552
a a a a >⎧⎪-≤-⎪⎨>-+-⎪⎪≤-+-⎩ 整理得011ln 23ln 5
3a a a a >⎧⎪≥⎪⎪>-⎨⎪-⎪≤⎪⎩，而3ln 513-<，所以无解集，即该情况不成立. 综上所述，由①②得，a 的范围为(]0,1ln 2-
故选D 项.
【点睛】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.
8.设函数()()g x f x 2x =+是定义R 在上的偶函数，且()()x
F x f x 2=+，若()f 11=，则()F 1(-= ) A. 12- B. 32 C. 72 D. 112
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性求出()1g 和()1f -的值即可得到结论．
【详解】()()2g x f x x =+Q 是定义R 在上的偶函数，
()()112123g f ∴=+=+=，()()()11213g f g -=--==，
即()15f -=，
则()()1111112522
F f --=-+=+=，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
9.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +u u u r u u u r 与向量AD u u u r
共线，若
AC =u u u v ||2BC =u u u r ，0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r ，则AB CG
=u u u v u u u v （ ） A. 3
C. 2
D. 2 【答案】B
【解析】
取BC 的中点E ，则2AB AC AE u u u v u u u v u u u v +=与向量AD u u u v
共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，
则AB AC ==u u u v u u u v 因为0GA GB GC ++=u u u v u u u v u u u v ，所以G 为ABC ∆的重心，则2 2.GA GE ===u u u v u u u v
所以1,AB CE CG CG
===∴==u u u v u u u v u u u v u u u v 本题选择B 选项.
10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()[]()110,1f x f x x f x +=-∈=，且当时，2x m -，则()2019f =( )
A. 1
B. 1-
C. 2
D. 2-
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可得出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f （x ）=2x
-m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．
【详解】∵f（x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+1）=f （1-x ）；
∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；
∴f（x+4）=f （x ）；
∴f（x ）的周期为4；
∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -m ；
∴f（0）=1-m=0；
∴m=1；
∴x∈[0，1]时，f （x ）=2x -1；
∴f（2019）=f （-1+505×4）=f （-1）=-f （1）=-1．
故选：B ．
【点睛】本题考查奇函数的定义，周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．
11.函数22log (1)()x f x x -=的图象大致是( ) A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除法，由()30f >排除选项,A B ；由()30f -<排除选项D ，从而可得结果.
【详解】Q ()()22log 1
x f x x -=，
()2log 83103
f ∴==>，排除选项,A B ； ()2lo
g 83103
f -=-=-<，排除选项D ，故选C. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
12.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2
π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③ 【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭
单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，
()f x ∴
的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．
【点睛】画出函数()sin sin f
x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．
二、填空题。

13.设函数()y f x =的图象与1
3x a y +=（）的图象关于直线y x =-对称，且1(3)()43
f f -+-=，则实数a =_____． 【答案】2
【解析】
【分析】
设f （x ）上任意一点为（x ，y ），则（x ，y ）关于直线y ＝﹣x 对称的点为（﹣y ，﹣x ），把（﹣
y ，﹣x ）代入1
3
x a y （）+=，得f （x ）＝log 3（-x ）+a ，由此利用f （﹣3）+f （﹣13）＝4，能求出a 的值．
【详解】函数y ＝f （x ）的图象与13x a y （）+=
的图象关于直线y ＝﹣x 对称， 设f （x ）上任意一点为（x ，y ），则（x ，y ）关于直线y ＝﹣x 对称的点为（﹣y ，﹣x ），
把（﹣y ，﹣x ）代入13x a y （）+=
，得﹣x ＝13y a （）-+， ∴f （x ）＝log 3（-x ）+a ，
∵f （﹣3）+f （﹣
13
）＝4， ∴1+a ﹣1+a ＝4，
解得a ＝2．
故答案为2． 【点睛】本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题．
14.已知12,e e u r u u r 是夹角为3
π
的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+r u r u u r r u r u u r ，则2a b +=r r ___．
【解析】 【分析】
先计算得到1212
e e ⋅=u r u u r ，再计算1223a b e e +=-r r u r u u r
，然后计算2(2)72a b a b +=⇒+=r r r r 【详解】12,e e u r u u r 是夹角为3π
的两个单位向量1212
e e ⇒⋅=u r u u r
12121222()3a b e e e e e e +=-++=-r r u r u u r u r u u r u r u u r
2222121122(2)(3)9693172a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=r r u r u u r u r u r u u r u u r r r
【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.
15.已知函数()()1ln 1,121,1
x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x a =-有三个不同的零点，则实数
a 的取值范围是__________.
【答案】(]
1,2 【解析】 【分析】
函数()()g x f x a =-有三个不同的零点等价于()y f x =的图象与直线y a =有三个不同交点，数形结合即可得到结果.
【详解】函数()()g x f x a =-有三个不同的零点等价于()y f x =的图象与直线y a =有三个不同交点，
作出函数()y f x =的图象：
由图易得：(]
a 1,2∈ 故答案为：(]
1,2
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16.命题“0x R ∃∈，使()2
00110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为
__________. 【答案】23
3
m > 【解析】 【分析】
0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2
110
m x mx m +-+->是真命题，对1m +是否等于0进行讨论，当10m +=时不符合题意，当10m +≠时，由二次函数的图像与性质解答即可。

【详解】0x R ∃∈，使()2
00110m x mx m +-+-≤是假命题，
则x R ∀∈，使()2
110m x mx m +-+->是真命题，
当10m +=，即1m =-，()2
110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R
恒成立；
当10m +≠，x R ∀∈，使()2
110m x mx m +-+->即恒成立，即
()()()2
104110
m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >，解得23m >或23
m <- 所以23
m >
【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出x R ∀∈，使
()2110m x mx m +-+->是真命题这一条件，属于一般题。

三、解答题。

17.已知函数()()()23f x x m x m =--++（其中1m <-），()22x
g x =-．
（Ⅰ）若命题“
”是真命题，求x 的取值范围；
（Ⅱ）设命题p ：()()()1,,00x f x g x ∀∈+∞<<或；命题q ：
()()()1,0,0x f x g x ∃∈-⋅<．若p q ∧是真命题，求m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）()
1,2；（Ⅱ）42m -≤<- 【解析】
试题分析：（1）2log ()1g x <，即2log (22)1x -<，0222x <-<，解得12x <<；（2）p q
∧是真命题，则,p q 都是真命题. 当1x >时，()220x
g x =->，故需
()0f x <.()02f x x m <⇒<或3x m >--，故31m --≤，4m ≥-.当10x -<<时，
()220x g x =-<，故需()0f x >.()023f x m x m >⇒<<--，所以31m -->-，
2m <-.综上所述，42m -≤<-.
试题解析：
（1）∵命题“2log ()1g x <”是真命题，即2log (22)1x
-<，
∴0222x <-<，解得12x <<，∴x 的取值范围是(1,2)； （2）∵p q ∧是真命题，∴p 与q 都是真命题，
当1x >时，()220x
g x =->，又p 是真命题，则()0f x <
∵1m <-，∴23m m <--，∴()02f x x m <⇒<或3x m >-- ∴31m --≤，解得{|4}A m m =≥- 当10x -<<时，()220x
g x =-<
∵q 是真命题，则(1,0)x ∃∈-，使得()0f x >，而()023f x m x m >⇒<<-- ∵1m <-，∴21m <-，∴31m -->-，解得{|2}A m m =<- 求集合,A B 的交集可得42m -≤<-.
考点：命题真假性判断，含有逻辑联结词的命题．
18.已知集合{
}
|3327x
A x =≤≤，{}
2log 1B x x =． (1)分别求A B ⋂，()R C B A ⋃；
(2)已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合． 【答案】(1) {|23}A B x x ⋂=<≤，(){|3}R C B A x x =≤U (2) 3a ≤ 【解析】 【分析】
(1)根据题干解不等式得到{|13}A x x =≤≤，{}
2B x x =，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知{|13}A x x =≤≤，若C A ⊆，分C 为空集和非空两种情况得到结果即可. 【详解】(1)因为3327x ≤≤，即13333x ≤≤， 所以13x ≤≤，所以{|13}A x x =≤≤， 因为2log 1x >，即22log log 2x >，所以2x >， 所以{}
2B x x =，所以{|23}A B x x ⋂=<≤．
{|2}R C B x x =≤，所以(){|3}R C B A x x ⋃=≤．
(2)由(1)知{|13}A x x =≤≤，若C A ⊆，
当C 为空集时，1a ≤.
当C 为非空集合时，可得13a <≤. 综上所述3a ≤.
【点睛】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.
19.已知||4a =r ，||3b =r ，(23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r
.
()1求a r 与b r
的夹角
；
()2若OA a =u u u r r ， OB b =u u u r r
， 12OC OA =u u u r u u u r ， 23
OD OB =u u u r u u u r ，且AD 与BC 交于点P ，求||OP uuu r .
【答案】()123πθ=；()27
OP =u u u v . 【解析】 【分析】
()1化简(23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r 得到6a b ⋅=-r r
，再利用夹角公式得到答案.
()22(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+u u u r u u u r u u u r r r ，根据向量关系化简得到1142
OP a b =+u u u v v
v ，再平方得到27
||4OP =u u u r 得到答案.
【详解】()1Q (23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r ，∴224||43||61a a b b -⋅-=v v v v . 又||4a =r ，||3b =r ，∴6442761a b -⋅-=v v ，∴6a b ⋅=-r r .
∴61
cos 43
2a b a b θ⋅-==
=-⨯v v v v . 又0θπ≤≤，∴23
πθ=
. ()2 2(1)(1)3
x OP xOA x OD xa b -=+-=+u u u r u u u r u u u r r r
1(1)2
y OP yOB y OC yb a -=+-=+u u u r u u u r u u u r r r
∴11,22y x y -==，∴12,(1)43
x y x ==-，
∴1142OP a b =+u u u v v v ，
∴2221117||16444OP a a b b =+⋅+=u u u r r r r r ，
∴OP =
u u u v
【点睛】本题考查了向量的计算，将1142
OP a b =+u u u v v
v 表示出来是解题的关键，意在考查学生
对于向量公式的灵活运用和计算能力.
20.已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意实数x 恒有()()20x
f x f x a +-+=（0
a >且1a ≠）成立.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）讨论()f x 在R 上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】（1）()()23x x a a f x x R --=∈（2）当1a >时，()23x x
a a f x --=
在R 上为单调减函数；当01a <<时，()23
x x
a a f x --=在R 上为单调增函数.
【解析】
试题分析：（1）()()20x
f x f x a +-+= ①，用x -替换①式中的x 有：
()()20x f x f x a --++= ②，由①②消去()f x -即可得结果；（2）讨论两种情况，分别
利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意12x x R ∈、且12x x <，判定
()()12f x f x -的符合，即可证明结论.
试题解析：（1）∵()y f x =对任意实数x 恒有：()()20x
f x f x a +-+=①，
用x -替换①式中的x 有：()()20x
f x f x a
--++=②，
①×②—②得：()()23
x x a a f x x R --=∈，
（2）当1a >时，函数()x
g x a -=为单调减函数，函数()2x
h x a =-也为单调减函数，
∴()23
x x
a a f x --=在R 上为单调减函数.
当01a <<时，函数()x
g x a -=为单调增函数，函数()2x
h x a =-也为单调增函数，
∴()23
x x
a a f x --=在R 上为单调增函数.
证明：设任意12
x x R ∈、且1
2
x x <，则()()(
)(
)1
221
12
23
x x x x a
a a a f x f x ---+--=
()(
)2
112
12
123x x x x x x a a a a
++-+=
，∵1
2
x x
R ∈、，12x x <，
①当1a >时，则2112
120,0,1210x
x
x x x x a a a
a ++->>+>>，∴()()12f x f x >
∴()23
x x a a f x --=在R 上是减函数.
②当01a <<时，则21
12120,0,1210x
x x x x x a a
a a ++-+，∴()()12f x f x <
∴()23
x x
a a f x --=在R 上是增函数.
综上：当1a >时，()23x x
a a f x --=在R 上为单调减函数；
当01a <<时，()23
x x
a a f x --=在R 上为单调增函数.
21.已知函数()2
1
f x ax x
=+
，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若()1,3a ∈，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）0a =时奇函数，0a ≠时非奇非偶函数；（2）单调递增，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）讨论0,0a a =≠两种情况，分别利用奇偶性的定义判断即可；（2）设1212x x ≤<≤，
再作差()()12f x f x -，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义作出判断即可. 【详解】（1）当时，，显然是奇函数；
当
时，
，
，
且
，
所以此时是非奇非偶函数.
（2）设
，
则
因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，即，
故函数
在
上单调递增.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断
()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得
()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数
22.（2017-2018学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）已知函数
()()
()441R x f x log kx k =++∈偶函数.
(1)求k 的值;
(2)若函数()y f x =的图象与直线1
2
y x a =
+没有交点,求a 的取值范围;
(3)若函数()()[]12
24
21,0,log 3f x x
x h x m x +=+⋅-∈,是否存在实数m 使得()h x 的最小值为
0,若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】（1）1
2
k =-；（2）(],0.-∞（3）存在1m =-得()h x 最小值为0． 【解析】
试题分析：（1）根据偶函数定义()()f x f x -=-化简可得-441
2log 4+1
x x kx +=，2kx x ∴=-即
可求得；（2）即()1
2
f x x a =
+没有解，整理可得方程4=log (41)x a x +-无解，令4()log (41)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点，可证明()g x 在
(),-∞+∞上是单调减函数，又因为1114x +
>，41()log 104x
g x ⎛
⎫
∴=+> ⎪⎝⎭
．求得()g x 的值域即可得到a 的范围；（3）由题意,[]
20,log 3x ∈
令[]21,3
x
t =∈[]2(), 1.3t t mt t ϕ=+∈，转化为轴动区间定求二次函数最值的问题，Q 开口
向上，对称轴2m t =-
，所以分1,22m m -≤≥-即，13,622
m
m 即<-<-<<-，13,622
m
m 即<-
<-<<-三种情况讨论求得 试题解析：（1）()()f x f x Q -=-， 即44log (4
1)log (41)x
x kx kx -+-=++对于x R 任意∈恒成立．
-444412log (41)log (41)log 4+12x x
x
x
kx kx x -+∴=+-+=∴=-
∴1
2
k =-
（2）由题意知方程411
log (41)22
x
x x a +-
=+即方程4=log (41)x a x +-无解． 令4()log (41)x
g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点．
Q 444411()log 41)log log (1)44
x x
x x g x x +=+-==+（ 任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则12044x x <<，12
11
44x x ∴
>．
1
2124411()()log 1log 1044x x g x g x ⎛
⎫⎛
⎫
∴-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()g x ∴在(),-∞+∞上是单调减函数．
1114x +
>Q ，41()log 104x
g x ⎛
⎫
∴=+> ⎪⎝⎭
． ∴a 的取值范围是(],0.-∞
（3）由题意,[]
20,log 3x ∈
令[]
21,3x
t =∈
[]2() 1.3t t mt
t ϕ=+∈
Q 开口向上，对称轴2
m t =-
当1,22
m
m -
≤≥-即， min ()(1)10t m ϕϕ==+=，1m =-
当13,622
m
m 即<-
<-<<-， 2
min
()()024
m m t ϕϕ=-=-=，0m =（舍去）
当32
m
-
≥，6m 即<-， ()(3)930,3min t m m ϕϕ==+==-（舍去）
∴存在1m =-得()h x 最小值
考点：1．利用奇偶性求参数；2．证明函数的单调性；3．二次函数求最值。