排列组合练习题(基础、好用、经典)

排列组合练习题
一、选择题
1．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有()
A．36个B．24个C．18个D．6个
2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()
A．18 B．24 C．30 D．36
3．2013年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金蛇卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金蛇卡”，则这组号码中“金蛇卡”的张数为()
A．484 B．972 C．966 D．486
4．(2013·珠海质检)某外商计划在4个侯选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()
A．16种B．36种C．42种D．60种
5．(2013·中山统考)假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为()
A．10 B．15 C．21 D．30
二、填空题
6．(2012·湖北高考改编)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则4位回文数有________个．
7．(2013·揭阳模拟)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．8．将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人．分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
三、解答题
9．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成
不同的四位数有多少个？
10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？
(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？
11．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．
(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？
(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？
解析及答案
一、选择题
1．
【解析】在1，2，3，4，5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，
∴符合条件的三位数共有C23·C12·A33＝36.
【答案】 A
2．
【解析】四名学生中有两名学生恰好分在一个班，共有C24A33种分法，而甲、乙被分在同一个班的有A33种．
所以不同的分法种数是C24A33－A33＝30.
【答案】 C
3．
【解析】①当后四位数有2个6时，“金蛇卡”共有C24×9×9＝486张；
②当后四位数有2个8时，“金蛇卡”也共有C24×9×9＝486张．
但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C24＝6，即“金蛇卡”共有486×2－6＝966张．
【答案】 C
4．
【解析】若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．
【答案】 D
5．
【解析】法一先将7个名额分成3组，再分配到三所学校．将7个名额分成3组，每组至少1个有1，1，5；1，2，4；1，3，3；2，2，3，共4种，再分配到三所学校，1，1，5有3种分配方法，1，2，4有A23＝6种分配方法，1，3，3有3种分配方法，2，2，3有3种分配方法，故共有3＋6＋3＋3＝15种分配方法．
法二用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C26＝15种分配方法．
【答案】 B
二、填空题
6．【解析】4位回文数第1、4位取同一个非零数有C19＝9(种)选法，第2、3位可取0，有C110种选法，故4位回文数有C19·C110＝90个．
【答案】90
7．【解析】甲、乙作为元素集团，内部有A22种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A22种排法．将丙、丁插在3个空档中有A23种方法．
∴由分步计数原理，共有A22A22A23＝24种排法．
【答案】24
8．【解析】将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有C26C24
A22＝
1
2×15×6＝45种
分组方法．
将四组分赴四个不同场馆有A44种方法．
∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A44＝1 080种方法．
【答案】 1 080
三、解答题
9．【解】先在后三位中选两个位置填写数字“0”有C23种方法，再排另两张卡片有A22种方法．
又数字“9”可作“6”用，
∴四张卡片组成不同的四位数有2C23A22＝12个．
10．
【解】(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．
由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A34＝24种．
(2)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．
分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；
若分配到2所学校有C27×2＝42种；
若分配到3所学校有C37＝35种．
∴共有7＋42＋35＝84种方法．
法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法．
所以名额分配的方法共有84种．
11．
【解】(1)每个盒子放一球，共有A44＝24种不同的放法；
(2)法一先选后排，分三步完成．
第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；
第二步：选两球为一个元素，有C24种选法；
第三步：三个元素放入三个盒中，有A33种放法．
故共有4×C24A33＝144种放法．
法二先分组后排列，看作分配问题．
第一步：在四个盒子中选三个，有C34种选法；
第二步：将四个球分成2，1，1三组，有C24(即C24C12C11
A22)种分法；
第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A33种分法．故共有C34C24A33＝144种分法．。