上海市静安区2022届高三数学上学期教学质量检测 理

静安区2022学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学试卷〔理〕
〔本试卷总分值150分 考试时间120分钟〕 2022.1 学生注意：
1． 本试卷包括试题纸和答题纸两局部．
2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分． 1. 设i 为虚数单位，计算
=+i
i
1 . 2． 幂函数()x f 的图象过点()
2,2，那么()41
-f
的值______________.
3. 6
21x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项是_________．〔用数字作答〕
4. 假设 02
0102
2
1=--x x ，那么=x ．
5. 假设直线m my x m y mx 21=++=+与平行，那么m =_____．
6.*,21312111N n n
n n n a n ∈+++++++=
，那么+=+n n a a 1 . 7.假设实数x 满足对任意正数0>a ，均有12
->x a ，那么x 的取值范围是 .
8. 椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过其焦点且垂直长轴的弦长为1．那么
椭圆方程为 .
9．假设直线2+=kx y 与抛物线x y 42
=仅有一个公共点，那么实数=k .
10.如图，假设框图所给的程序运行的输出结果为132=S ，那么判断框 中应填入的关于k 的判断条件是 ． 11.全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，那么满足411
23+≥+≥a a a 的集合A
的个数
是 .〔用数字作答〕
12.向量a =〔1，0〕，b =〔0，1〕，向量c 满足〔0)()=+⋅+b c a c ，那么|c |的最大值是 . 13．函数)3
2
sin(2)(π
+
=x
x f ，假设对任意的R x ∈，都有
第〔10〕题
)()()(21x f x f x f ≤≤，那么||21x x -的最小值为 .
14. 设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为)0,(1c F -、)0,(2c F ，0>c ，
假设以1F 2F 为斜边的等腰直角三角形21AF F 的直角边的中点在双曲线上，那么a
c
等
于 .
二、选择题〔本大题总分值16分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否那么一律得零分．
15．右图给出了某种豆类生长枝数y (枝)与时间t (月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用以下函数模型近似刻画最好的是………………………………………………………………( )
(A)2
2t y =； (B)t y 2log =； (C)3
t y =； (D)t
y 2=．
16. 以下命题中正确的命题是……………………………〔 〕 〔A 〕假设存在[]12,,x x a b ∈，当12x x <时，有()12()f x f x <，那么说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；
〔B 〕假设存在],[b a x i ∈〔),2,1*
N n i n n i ∈≥≤≤、，当123n x x x x <<<
<时，有
()()()123()n f x f x f x f x <<<
<，那么说函数)(x f y =在区间[]b a ,上是增函数；
〔C 〕函数)(x f y =的定义域为),0[+∞，假设对任意的0x >，都有()(0)f x f <，那么函数)(x f y =在),0[+∞上一定是减函数； 〔D 〕假设对任意[]12,,x x a b ∈，当21x x ≠时，有0)
()(2
121>--x x x f x f ，那么说函数)
(x f y =在区间[]b a ,上是增函数。

17．假设
)(3
1)1(33lim *
1N n a n n n n ∈=+++∞→，那么实数
a
满
足………………………………………………〔 〕
〔A 〕1-=a ；〔B 〕24<<-a ；〔C 〕21<<-a ；〔D 〕20<<a .
18．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约只有10%-20%的能量能够流动到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，假设能使H 6获得10KJ 的能量，那么需要H 1提供的最少的足够的能量是……………………………………………………………………………………( )
第〔15〕题
〔A 〕104KJ ； 〔B 〕105KJ ； 〔C 〕106KJ ； 〔D 〕107KJ .
三、解答题〔本大题总分值78分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(此题总分值14分) 此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.
函数∈++=a ax x x f (|1|)(R 〕. (1) 当1=a 时，画出此时函数的图象；
(2)假设函数)(x f 在R 上具有单调性，求a 的取值范围.
20．(此题总分值15分) 此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值8分.
函数x x x x f 2cos 2cos 2sin )(2
+-=. 〔1〕假设1)(-=x f ，求x 的值； 〔2〕求)(x f 的最大值和最小值.
21．(此题总分值15分) 此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值5分.
函数)2,(|2|lg )1()(2
-≠∈++++=a R a a x a x x f 且.
〔1〕写出一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h ，使)(x f =)(x g +)(x h ；
〔2〕对〔1〕中的)(x g . 命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2
+∞+a 上是增函数；命题Q ：函
数)(x g 是减函数；如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； 〔3〕在〔2〕的条件下，求)2(f 的取值范围.
22． (此题总分值16分) 此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值4分，第3小题总分值8分.
设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，
72332=+=+b a b a .
〔1〕求{}n a ，{}n b 的通项公式；
〔2〕记2010-=n n a c ，*N n ∈，n A 为数列}{n c 的前n 项和，当n 为多少时n A 取得最大值或最小值？
〔3〕是否存在正数K ，使得12)1
1()11)(11(21+≥+⋅⋅⋅⋅⋅++
n K a a a n
对一切*N n ∈均成立，假设存在，求出K 的最大值，假设不存在，说明理由.
23．(此题总分值18分) 此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.
设常数0>a ，对R x x ∈21,， ),(y x P 是平面上任意一点，定义运算“⊗〞：
22122121)()(x x x x x x --+=⊗， y y x x P d ⊗+⊗=
21)(1，)()(2
1
)(2a x a x P d -⊗-=. 〔1〕假设0≥x ，求动点),(a x x P ⊗的轨迹C ； 〔2〕计算)(1P d 和)(2P d ，并说明其几何意义；
〔3〕在〔1〕中的轨迹C 中，是否存在两点21,A A ，使之满足)()(1211A d a A d =
且
)()(2221A d a A d =？假设存在，求出a 的取值范围，并请求出)()(2111A d A d +的值；假
设不存在，请说明理由.
高三年级数学试卷 解答〔文理合〕 2022.1
1. i -1； 2．〔文〕2
1
x 〔理〕16； 3. 15； 4. -4； 5. -1；
6.221
12111221121+-+=+-+++n n n n n ； 7. 〔文〕〔理〕]1,1[-；8.
2214
y x += 9．0，2
1
； 10. k ≤ 10；或k ＜11；或k=10；11. 〔文〕10； 〔理〕56；
12. 〔文〕3， 〔理〕2； 13． 2π；14. 53+=2
2
10+。

15． D ；16. D ；17． B ； 18． C 19．解〔1〕当1=a 时，
⎩
⎨
⎧-<--≥+=++=111
12|1|)(x x x ax x x f ，………………3分 简图如右图所示.……………………………………………3分 〔2〕⎩⎨
⎧-<---≥++=++=1
1
)1(11
)1(|1|)(x x a x x a ax x x f ，……3分
当⎩⎨
⎧>->+0101a a 或⎩
⎨⎧<-<+010
1a a ，………………………………3分
即1>a 或1-<a 时，)(x f 在R 上分别是增函数和减函数。

所以，当1>a 或1-<a 时，函数)(x f 在R 上具有单调性. ……………………………………………………2分 20
．
解
：
〔
1
〕
11cos 2cos 3)1cos 2(2cos 2cos 1)(222-=--=-+--=x x x x x x f (3)
分
3
2
cos 0cos 0cos 2cos 32=
=⇒=-⇒x x x x 或 …………………………………………………2分
Z k k x k x ∈±=+
=⇒,3
2
arccos 2,2ππ
π …………………………………………………………2分 〔
2
〕
因
为
：
3
4
)31(cos 31cos 2cos 3)(22--=--=x x x x f ，
……………………………………4分 所
以，当1cos -=x 时，4)(max =x f ；…………………………………………………………………2分
当
3
1
cos =
x 时，
3
4
)(min -=x f …………………………………………………………………………2分
21．解：
〔1〕|2|lg )(2
++=a x x h ，…………2分 ；x a x g )1()(+=；……………………………
2分
〔2〕由函数)(x f 在区间),)1[(2
+∞+a 上是增函数得2)1(2
1
+≤+-
a a ，解得
12
3
-≥-≤a a 或，………………………………………………………………………………
…………2分 由
函
数
)
(x g 是减函数得
1<+a ，解得
1-<a ，………………………………………………………1分
再由命题
P 、Q
有且仅有一个是真命题，得a 的取值范围是
),2
3
()1,23(),1[+∞-=--⋃+∞-.……3分
〔
3
〕
)2lg(26|2|lg 224)2(+++=++++=a a a a f ,………………………………………………
……2分
因为在),23(+∞-∈a 上递增，所以2lg 3)22
3
lg()23(26)2(-=+-+-
⋅+>f ，即：∈)2(f ),2lg 3(+∞-.……………………………………………………………………………
…………3分
22．解：
〔1〕设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，那么依题意有0q >且⎩
⎨⎧=++=++7217
12q d q d
解得2d =，2q =． …………………………………………………………………………2分
所以1(1)21n a n d n =+-=-，11
2n n n b q --==．…………………………………………2分
〔2〕因为020*******≥-=-=n a c n n 5.1005≥⇔n ，所以，当10051≤≤n 时，
<n c ，当
1006
≥n 时，
0>n c .……………………………………………………………………………………2分
所以当1005=n 时，n A 取得最小值. ……………………………………………………2分 〔文〕〔3〕
1212n n n a n b --=．122135
2321
122
22
n n n n n S ----=++++
+ ① ………………………2分
3
25
2321
2232
22
n n n n n S ----=+++
+
+ ② ②
－
①
得
22
1
22
221
2222
22n n n n S ---=++++
+
-
…………………………………………………2分
22111
12122122
22n n n ---⎛⎫=+⨯+++
+- ⎪⎝⎭111121
2221212
n n n ---
-=+⨯-- ………………………
……3分
1
23
62n n -+=-
．……………………………………………………………………………………………1分 〔理〕〔3〕)1
1()11)(11(12121n a a a n K +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++≤
等价于min )(n F K ≤，
其中)1
1()11)(11(1
21)(21n a a a n n F +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++
+=
；……………………………………2分 因为:⇔>+-++++⋅⋅⋅⋅⋅++
=-+0]1
21
)1211(321)[11()11)(11()()1(21n n n a a a n F n F n ⇔
+>++⋅
+1
21)122
23
21n n n n 1232221)1
2223
21+⋅+>+⇔>++⋅
+n n n n n n
38448422++>++⇔n n n n 34>⇔显然成立，所以)(n F 是递增的。

……………4分
从而3
3
2)1()(min ==≤F n F K . …………………………………………………………2分
或因为： 1)1(2)
1(21
)1(4)1(2)12)(32(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ，所以：)(n F 是递增
的。

…
…
…
…
…
…
…
…
…
4
分
；
从
而
3
3
2)1()(min =
=≤F n F K .………………………………2分 23．〔文〕解：〔1〕设P 〔a ,0〕,那么)1,(a PA -= ,)2,3(a PQ -=,由题意得PQ PA ⊥，所
以
02)3)((=+--a a ， ……………………………………………………………………
……2分
解得1,2=a ，所以点P 应取在〔2，0〕或〔1，0〕； …………………………………
2分
〔2〕l 不能过点R 〔3，3〕；因为假设l 过点R ，设P 〔a ,0〕, …………………………2分
那么)1,(a PA -= ,)3,3(a PR -=,由题意得PR PA ⊥，所以03)3)((=+--a a ，即
0332=+-a a ，……………………………………………………………………………2分
因为0349<⨯-=∆，所以点P 取不到，从而l 不能过点R 〔3，3〕. ……………2分 〔3〕设直线l 可以经过点B 〔x ，y 〕，P 〔a ，0〕，………………………………………1分 那么0),1,(),,(=•-=-=PA BP a PA y a x PB 02
=+-⇒y ax a ，
2=+-y ax a 有解
42≥-⇒y x 即
4
2x y ≤，………………………………………3分
所以，直线l 可以经过的点B 的集合是}4|),{(2
x y y x ≤，即直线l 移动的区域是抛物线4
2
x y =及以下局部。

…………………2分
简图如右…………………………………………………………2分 23.〔理〕解：〔1〕由ax a x a x a x y 4)()(22=--+=⊗=
(2)
分
可知：)0,0(42
≥≥=y x ax y ，所以轨迹C 为抛物线)0,0(42
≥≥=y x ax y 在第一象限内的局部，包括原点；………………………………………………………………………………………………2分 〔2〕
y y x x P d ⊗+⊗=
21)(122442
1
y x +=22y x +=，…………………………………………2分
22)(42
1
)(a x P d -=
||a x -=， ………………………………………………………………………2分
分别表示P 点到原点和到直线
a
x =的距
离；……………………………………………………………2分
〔3〕设假设存在为),(111y x A ),(222y x A ，那么由)()(1211A d a A d =且
)
()(2221A d a A d =得
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+|||
|22
22
1
12121
a x a y x a x a y x ，即
⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=+)2(4)2(422222222121121a ax x a ax x a ax x a ax x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++--0
)24()1(0
)24()1(3
222231221a x a a x a a x a a x a ， 所以
)24()1(32221=++--a x a a x a x x 是方程、的两个
根.………………………………………2分
要使21,A A 存在，必须⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆0002
121x x x x ，即⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
>->-+>--+010
1240
)1(4)24(3
2322a a a a
a a a a a ，所以必须1>a .…………2分
当1>a 时，由于=+-+--=++-=--22
32
2121211
241)())((a a a a a a a a x x a x x a x a x
1
51242
23323<--=--+--=a a a a a a a a ，即
异号与a x a x --21.…………………………………2分
或
设
3
22)24()1()(a x a a x a x f ++--=，由
=)(a f 322)24()1(a a a a a a ++--0524233223<-=+---=a a a a a a
得a 介于21x x 、之间，即异号与a x a x --21.……………………………………………2分
所以)()(2111A d A d +=|)||(|21a x a x a -+-=|)()(|21a x a x a ---
=14)
1()42(32
22---+a a a a a a =4512+-a a a
a 。

…………………………………………………………2分。