江苏高考数学一轮复习《逻辑联结词与量词 》教程学案

____第3课__逻辑联结词与量词____
1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．
2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.
1. 阅读：阅读选修21第10～18页．
2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？
3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.
基础诊断
2. 命题“∃x ∈R ，2x >0”的否定是__∀x ∈R ，2x ≤0__．
3. 下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e ；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个． 解析：①②④正确，③错误．
4. 已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__[－8，＋∞)__．
解析：原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x ≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值范围是a<－8的补集，即a ≥－8，故a 的取值范围是[－8，＋∞)．
范例导航
考向❶ 以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例1 设命题p ：函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫a －3
2x
是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解析：因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．
若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <5
2
；
若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，
故⎩
⎪⎨⎪⎧a ≥2，
a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，
所以3
2
<a <2；
②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪
⎧2≤a ≤4，a ≤32或a ≥52，
所以5
2
≤a ≤4.
综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，2∪⎣⎡⎦⎤
52，4.
已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解析：因为函数y ＝a x 在R 上单调递增， 所以命题p ：a >1.
因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， 所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以命题q ：0<a <4.
因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真， 所以p ，q 中必是一真一假．
若p 真q 假，则⎩
⎪⎨⎪⎧a >1，
a ≥4，解得a ≥4；
若p 假q 真，则⎩
⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，
0<a <4，解得0<a ≤1.
综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).
考向❷ 以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围 例2 已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
解析：命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；
由命题q 得，a ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，
Δ<0，解得0<a <4，
所以命题q ：0≤a <4.
因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题．
若p 真q 假，则⎩
⎪⎨⎪⎧a <1，
a ≥4或a <0，解得a <0；
若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，
0≤a <4，
解得1≤a <4.
综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．
已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 12
(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m
的取值范围．
解析：若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，
所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3， 所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤3
2，
所以当p 为真时，12≤m ≤3
2
；
若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立， 所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1
x 成立．
设g (x )＝x 2－1x ＝x －1
x
，
易知g (x )在区间[1，2]上是增函数， 所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <3
2，
所以当q 为真时，m <3
2
.
因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 所以p 与q 必是一真一假，
当p 真q 假时，⎩⎨⎧12≤m ≤3
2，
m ≥3
2，所以m ＝3
2；
当p 假q 真时，⎩⎨⎧m <1
2或m >3
2，
m <3
2，
所以m <1
2.
综上所述，m 的取值范围是{m |m <12或m ＝3
2
}.
考向❸ 以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围
例3 已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2
k －3＝1
表示双曲线.
(1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；
(2) 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求k 的取值范围． 解析：(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪
⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k －1，
解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)． (2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 所以p ，q 必是一真一假．
当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k>1，
k ≥3，
解得k ≥3；
当p 假q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧k ≤1，
k<3，解得k ≤1.
综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
自测反馈
1. 命题“∀x>0，x ＋1>x ”的否定是__∃x>0，x ＋1≤x__．
2. 若命题“p 且q ”是假命题，“非q ”是假命题，则p 是__假__命题．(填“真”或“假”)
解析：因为“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 中必是一真一假．又因为“非q ”是假命题，所以q 为真命题，所以p 为假命题．
3. 若命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ≤0”是真命题，则实数m 的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．
解析：由题意得Δ＝4m 2－4m ≥0，解得m ≤0或m ≥1，故实数m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。