辽宁省2020届高三数学上学期期末考试试题文

上学期期末考试 高三数学试卷（文科）
考试时间：120分钟 试题分数：150分
参考公式：球的体积公式：34
3
V R π=
，其中R 为半径. 卷Ⅰ
一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知全集R U =，集合}32|{},42|{≤≤-=<<=x x B x x A ，则)(B C A R 等于 A ．)2,1( B ．)4,3( C ．)3,1( D ．)4,3()2,1(
2.已知,21,21i z i m z -=+=若
2
1
21-=z z ，则实数m 的值为 A ．2 B ．2- C ．
21 D ．2
1
- 3. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4,613==a S ，则公差d 等于 A ．1 B ．
3
5
C ．2-
D ．3 4.已知向量)1,(),4,3(x b a ==，且||)(a b b a =⋅+，则实数x 的值为 A ．3- B ．2- C ．0 D ．3-或0
5.已知3
1
)2sin(=
+απ
，则)2cos(απ+等于
A ．97
B ．97-
C ．92
D ．3
2-
6. 实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0
00220
4y x y x y x ，则y x z -=的最小值为
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
7. “2=m ”是“直线0)7()1(3=--++m y m x 与直线032=++m y mx 平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8. 从抛物线x y 42=图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5||=PM ，设抛物线
的焦点为F ，则MPF ∆的面积为
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80 9. 某四面体的三视图如右图所示，其主视图、左视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．
3
4π B ．π3 C ．π23
D ．π
(
10. 若执行右下的程序框图，则输出的k 值是 A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 定义运算：
⎩
⎨⎧<≥=∇)0( )
0( xy y xy x y x ，例如：343=∇，
44)2(=∇-， 则函数)2()(22x x x x f -∇=的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
12. 已知函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称，且当
)0,(-∞∈x 时，0)()(<'+x f x x f 成立（其中)(x f '是)(x f 的导
函数），若),3(log )3(log ),3(33.03.0ππf b f a ⋅=⋅=
)9
1
(log )91(log 33f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
卷Ⅱ
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．函数3lg )(-+=x x x f 的零点有______个.
14．已知x 是]4,4[-上的一个随机数，则使x 满足022<-+x x 的概率为___________.
15．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的一条渐近线经过点)6,3(，则该渐近线与圆
16)2(22=+-y x 相交所得的弦长为___________.
16．设}{n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为}{n a 的前n 项和.记*1
2,17N n a S S T n n
n n ∈-=+，
设0n T 为数列}{n T 的最大项，则=0n ___________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,所对的边长，且.5
3
cos cos c A b B a =- （Ⅰ）求
B
A
tan tan 的值； （Ⅱ）若︒=60A ，求
2
22sin c
b a C
ab -+的值. 18．（本小题满分12分）
为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷” 冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与。

志愿者的工作内容有两类:1.到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；2.整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：
（Ⅰ）据此统计，你是否认为志愿者对工作的选择与其性别有关?
（Ⅱ）用分层抽样的方法在从参与整理、打包衣物工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人. 那么至少有一人是女生的概率是多少？
参考公式：22
112212211212
()n n n n n n n n n χ++++-=
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面
ABC D ，且90PAB ABC ∠=∠=，//AD BC ，
2PA AB BC AD ===，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ； （Ⅱ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，离心率12e =，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直
线l 与椭圆C 交于点,A B ，线段AB 的中点的横坐标为1
4
，且AF FB λ=（其中1λ>）. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求实数λ的值. 21．（本小题满分12分）
设函数()x x b e f x a =++在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y ++=．（自然对数的底数
2.718)e =⋅⋅⋅
（Ⅰ）求,a b 值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，2
4()f x x >-．
请考生在22，23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
(
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为1212
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t
为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
4(sin cos )40ρρθθ-++=，. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤< 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=．
（Ⅰ）求证：2
2
2
1
3
a b c ++≥； （Ⅱ）求证：2221a b c b c a ++≥．
参考答案
一．选择题
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A 11．D 12．B 二．填空题
13． 1 14．8
3 15．55
16 16．4
三．解答题
17．解：（Ⅰ）由正弦定理
C c B b A a sin sin sin =
=，得,sin 5
3
cos sin cos sin C A B B A =- 又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，
,cos sin 5
8
cos sin 52A B B A =∴ 可得.4cos sin cos sin tan tan ==A
B B A B A …………(6分)
（Ⅱ）若︒=60A ，则3tan =A ，得,4
3
tan =B
ab
c b a C 2cos 2
22-+=
， 23
51tan tan tan tan 21)tan(21tan 2
1cos 2sin sin 222-
=-+⋅=+-===-+∴
B A B A B A
C C C c b a C ab …
(12分)
18. 解：（Ⅰ）22
50(1218128)25 1.923 3.8412030242613
χ⨯-⨯=
=≈<⨯⨯⨯ ……………………2分 没有理由认为志愿者对工作的选择与其性别有关. …………………………4分
（Ⅱ）参与整理、打包衣物工作的志愿者中男生12人，女生18人，共30人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
51
306
= 所以，被抽中的男生有1
1226
⨯=人，记作,a b ； 被抽中的女生有1
1836
⨯
=人，记作,,x y z . …………………………8分 从这5人中选2人的所有可能情况有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a x a y a z b x b y b z x y x z y z ，共10种
用事件A 表示“至少有一人是女生”，则它所包含所有可能情况有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a x a y a z b x b y b z x y x z y z ，共9种
所以9
()10
P A =
……………………………………………………12分 19. （Ⅰ）证明：取PB 中点F ，连接,EF AF ， 由已知////EF BC AD ，且22EF AD BC ==， 所以，四边形DEFA 是平行四边形，
于是//DE AF ，AF ⊂平面PAB ，DE ⊄平面PAB ，
因此//DE 平面PAB ． ……………………………………………………6分 （Ⅱ）侧面PAB ⊥底面ABCD ， 且90PAB ABC ∠=∠= 所以BC ⊥平面PAB ，
AF ⊂平面PAB ，所以AF BC ⊥，
又因为PA AB =，F 是PB 中点，于是AF PB ⊥，
PB BC B =，
所以AF ⊥平面PBC ，
由（Ⅰ）知//DE AF ，故DE ⊥平面PBC ， 而DE ⊂平面PCD ，
因此平面PCD ⊥平面PBC ． ……………12分 20. 解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2
2
2
3b a c =-=，
椭圆的标准方程是22
143
x y +=. ………（4分） （Ⅱ）由AF FB λ=，可知A ，B ，F 三点共线，设1122(,),(,)A x y B x y 点点 若直线AB x ⊥轴，则121x x ==，不合题意.
当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为(1)y k x =-.
由22(1)
143
y k x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=. ①
由①的判别式4
2
2
2
644(43)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>
.
因为21222
12284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， ………（6分） 所以212281432k x x k +==+，所以2
14
k =. ………（8分）
将2
14
k =
代入方程①，得2
42110,x x x --==解得 . ………（10分）
又因为1122(1,),(1,)AF x y FB x y =--=-，AF FB λ=，
1121--=
x x λ ，所以.2
5
3+=λ ………（12分） 21. 解：（Ⅰ）()x a f x e '=+，
由已知，(0)1f '=-，(0)1f =-，故2a =-，2b =-，
2()x f x e '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，0()f x '<，当(ln 2,)x ∈+∞时，0()f x '>，
故()f x 在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增；……（6分）
（Ⅱ）方法1：不等式2
4()f x x >-，即
22
21x
x x e +-<， 设22()2x
x x g x e +-=，2
4()x
x g x e -'=， [0,2)x ∈时，()0g x '>，(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，
所以()g x 在[0,2)递增，在(2,)+∞递减， 当0x ≥时，()g x 有最大值16
)2(2<=
e
g ， 因此当0x ≥时， 2
4()f x x >-． …………（12分） 方法2：设2
2
()()(4)22x
g x f x x e x x =--=--+，
()22()x g x e x f x '=--=在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，
因为(0)10g '=-<，06)2(2>-='e g ，0ln 22<<， 所以()g x '在[0,)+∞只有一个零点0x ，且0(0,2)x ∈，0
022x e
x =+，
当0[0,)x x ∈时，0()g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，0()g x '>，
()g x 在0[0,)x 单调递减，在0(,)x +∞单调递增，
当0x ≥时，022
0000()()2240x
g x g x e x x x ≥=--+=->，
因此当0x ≥时， 2
4()f x x >-． …………（12分）
22. 解：
（Ⅰ）将1212
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
消去参数t
，化为普通方程20x y +-=
再将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入20x y +-=，得cos sin 2ρθρθ+= (5)
分
（Ⅱ）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程
2
cos sin 2
4(sin cos )40
ρθρθρρθθ+=⎧⎨-++=⎩ 因为0,02ρθπ≥≤<，所以可解得1120ρθ=⎧⎨=⎩或2
22
2
ρπθ=⎧⎪⎨=
⎪⎩，
因此l 与C 交点的极坐标分别为(2,0)，(2,
)2
π
．……………………………10分
23. 证明：（I ）∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，
∴222a b c ab bc ca ++≥++，
∵2
()1a b c ++=，∴2222221a b c ab bc ca +++++=， ∴2
2
23()1a b c ++≥，即22213
a b c ++≥
； …………5分
（II ）∵22a b a b +≥，22b c b c +≥，2
2c a c a
+≥， ∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222
a b c a b c b c a ++≥++， ∵1a b c ++=，∴222
1a b c b c a
++≥．
…………10分。