人教A版高中数学第一册(必修1)教学设计1：4.3.1 对数的概念教案

4.3.1 对数的概念
课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理解对数的简单性质．
教学重点：
1.对数的概念，指数式与对数式的互化.
2.对数的简单性质．
教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.
知识导学
知识点一对数的概念
(1)对数的概念：如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)两种特殊的对数
①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg N；
②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数log e N简记为ln N(其中e＝
2.71828…)．
知识点二对数与指数的关系
(1)对数的基本性质
①零和负数没有对数，即真数N>0；
②1的对数为0，即log a1＝0(a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于1，即log a a＝1(a>0，且a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
②log a a N＝N(a>0，且a≠1)．
新知拓展
在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1
(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．
(2)若a＝0，
①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；
②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．
(3)若a＝1，
①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；
②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．
因此规定a>0，且a≠1.
评价自测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为(－2)4＝16，所以log (－2)16＝4.( ) (2)对数式log 32与log 23的意义一样．( )
(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．( ) (4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若5x ＝2019，则x ＝________. (2)lg 10＝________；ln e ＝________. (3)将log 3a ＝2化为指数式为________． 【答案】 (1)log 52019 (2)1 1 (3)32＝a
核心素养提成
题型一对数的概念
例1 (1)使对数log 2(－2x ＋1)有意义的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞ C.⎝
⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝
⎛⎭⎫－∞，－12 (2)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5
D ．3<a <4
【解析】 (1)要使对数log 2(－2x ＋1)有意义，只要使真数－2x ＋1>0即可，即x <1
2，所以x
的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，1
2，故选C. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2>0，a －2≠1，
5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.
【答案】 (1)C (2)C 金版点睛
对数有意义的条件
对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝lg (x ＋1)
x －1中x 的取值范围是( )
A ．(－1，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．(－1,1)∪(1，＋∞)
D ．[－1,1)∪(1，＋∞)
(2)若log (2x －1)(x ＋2)有意义，求x 的取值范围． (1)【答案】C
【解析】(1)要使函数有意义，必有⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0，
x －1≠0，
解得x >－1且x ≠1，故选C.
(2)解：若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2>0，2x －1>0，
2x －1≠1，
解得x >1
2
，且x ≠1.
即x 的取值范围是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x >1
2
，且x ≠1. 题型二指数式与对数式的互化
例2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－
5＝132；34＝81；⎝⎛⎭⎫12m ＝n ； (2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 1
216＝－4；ln a ＝b ；lg 1000＝3.
解：(1)log 216＝4；log 2132＝－5；log 381＝4；log 1
2n ＝m .
(2)53＝125；⎝⎛⎭⎫12－4
＝16；e b ＝a ；103
＝1000. 金版点睛
由指数式a b ＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：
跟踪训练2 (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－
a ＝________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. (1)【答案】103
【解析】因为a ＝log 23，所以2a ＝3，则2a ＋2－a ＝3＋3－
1＝103
.
(2)解：①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3. 题型三对数性质的应用 例3 (1)给出下列各式： ①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；
③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝1
2
，得x ＝±5.
其中，正确的是________(把正确的序号都填上)； (2)求下列各式中x 的值： ①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (2－1) (2－1)＝x ；④3x ＋
3＝2.
(1)【答案】①②
【解析】∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e ＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝1
2，得x ＝25 12 ＝5，④错误．故填①②.
(2)解：①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.
②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log (2－1) (2－1)＝x ，
∴(2－1)x ＝2－1， ∴x ＝1.
④∵x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. 金版点睛
对数性质在计算中的应用
(1)对数的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 跟踪训练3 (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值； (2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． 解：(1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0， 所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0， 解得x ＝4或x ＝3.
(2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3.
所以x ＝43＝64.同理求得y ＝16.所以x ＋y ＝80. 题型四对数恒等式的应用 例4 求下列各式的值：
(1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25. 解：(1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－
2＝4×19＝49.
(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 金版点睛
运用对数恒等式时的注意事项
(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 跟踪训练4 求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫19log 34的值． 解：原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34 ＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－
2 ＝18－48＋27＋116＝－4716
.
随堂水平达标
1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b
【答案】 B
【解析】 由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 【答案】 B
【解析】 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B. 3．若log 31
81＝x ，则x ＝________.
【答案】 －4
【解析】 ∵log 3181
＝log 33－4，∴3x ＝3－
4，∴x ＝－4.
4．式子2log 25＋log 32 1的值为________．
【答案】 5
【解析】 由对数性质知，2log 25＝5，log 32 1＝0，故原式＝5.
5．求下列各式中x 的值： (1)若log 31＋2x
3＝1，求x 的值；
(2)若log 2019(x 2－1)＝0，求x 的值． 解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x
3＝3，
∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2019(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝±2.。