《数形结合思想在函数零点有关问题中的应用》热点题型探究

《数形结合思想在函数零点有关问题中的应用》热点题型探究
函数可以用解析式和图象表示，在解决函数零点有关问题时，常常会画出相关函数图象，让问题变得直观清晰．
题型一 解决一般函数零点有关问题
【例1】若关于x 的方程x ＋1－x ＝m 有两个不同的实根，求实数m 的取值范围． 解析 将方程变形为x ＋1＝m ＋x ，引入两个函数f (x )＝
x ＋1，g (x )＝x ＋m ，在同一
直角坐标系中作出f (x )＝
x ＋1(x ≥－1)与g (x )＝x ＋m (x ≥－m )的图象，如图所示．
g (x )＝x ＋m (x ≥－m )表示以(－m,0)为端点位于x 轴上方的动射线，f (x )＝x ＋1(x ≥－1)
表示是由幂函数y ＝x 向左平移一个单位得到的图象．
当m ＝1时，射线与曲线恰有两个交点；
当射线与曲线相切，即方程x ＋1＝(m ＋x )2只有一个解时，由x 2＋(2m －1)x ＋m 2－1＝0得Δ＝(2m －1)2－4(m 2－1)＝0，所以m ＝54
.
结合图形得1≤m <5
4
.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，54.
涉及方程根的个数问题一般要用到数形结合．首先要观察，把左右两边变成熟悉且容易画出图象的函数，然后找到临界状态(“形”的功能达成)，再通过运算，计算出临界状态的参数值(这就是“以数辅形”)，最后根据运动变化的过程写出参数范围．
【变式1】已知函数f (x )＝e x －ax 2，f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，求a .
解析 令f (x )＝0可得a ＝e x x 2，设g (x )＝e x
x 2，则g ′(x )＝e x (x －2)x 3
，所以g (x )在(0,2)上单调递
减，在(2，＋∞)上单调递增，画出g (x )的草图如图所示，又由图象可知g (x )min ＝g (2)＝e 2
4，
要使g (x )＝a 只有一个零点，则需a ＝g (2)＝e 24.故a 的值为e 2
4
.
题型二 解决分段函数零点有关问题
【例2】已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|ln x |，x >0，
x ＋1，x ≤0，若方程f (x )－a 2＝0有三个不同的实数根，则实数a
的取值范围为________.
解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|ln x |，x >0，
x ＋1，x ≤0
的图象，如图所示．
方程f (x )－a 2＝0有三个不同的实数根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 2有三个不同的交点，根据图象可知，当0＜a 2≤1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 2有三个不同的交点，故a 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
答案 [－1,0)∪(0,1]
【变式2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
lg x ，0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪6－12x ，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，
则a ＋b ＋c 的取值范围为________.
解析 lg 10＝1，令⎪⎪⎪⎪6－1
2x ＝1，得x ＝10或x ＝14.作出f (x )的图象如图所示，若有f (a )＝f (b )＝f (c )，结合图形可知0<f (a )＝f (b )＝f (c )<1，则1<a <10,10<b <12,12<c <14，又因为b ，c 关于直线x ＝12对称，所以b ＋c ＝2×12＝24，所以a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)，故a ＋b ＋c 的取值范围为(25,34)．
答案 (25,34)
题型三 解决复合函数零点有关问题)
【例3】设定义域为R 的函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5|x －
1|－1，x ≥0，x 2＋4x ＋4，x <0，若关于x 的方程[f (x )]2－(2m ＋1)f (x )＋m 2＝0有7个不同的实数解，则m ＝( )
A ．6
B ．4或6
C ．6或2
D ．2
D 解析 画出f (x )的图象，如图所示．设f (x )＝t ，f (x )＝t 可能有0,2,3,4个解，原方程有7个不同的实数解，则要求方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0的两根中一个根t 对应3个x ，此时t ＝4，另一个根t 对应4个x ，此时0<t <4，即方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0,4)内．在方程中代入t ＝4可得m ＝2或m ＝6.当m ＝2时，另一根为1，符合题意；当m ＝6时，另一根为9，不符合题意，舍去．综上，m ＝2.故选D 项．
复合函数相关的零点问题，常常把复合函数分解成两个简单函数，先画确定的简单函数的图象，然后明确对含参函数的要求，据此列出条件求解．
【变式3】 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－1，x ≥0，
－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四
个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中真命题的所有序号是________．
解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－1，x ≥0，
－2x ，x <0，
所以当x <0时，f (x )＝－2x >0，所以f (f (x ))＝(－
2x )2－1＝4x 2－1；当x ≥1时，f (x )＝x 2－1≥0，所以f (f (x ))＝(x 2－1)2－1＝x 4－2x 2；当0≤x ＜1时，f (x )＝x 2－1<0，所以f (f (x ))＝－2·(x 2－1)＝2－2x 2.由f (f (x ))＋k ＝0，得－k ＝f (f (x ))．在直角坐标系内作出函数y ＝f (f (x ))的图象如图所示，易知①②③均为真命题．
答案 ①②③
【跟踪检测】
1．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0，若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，
则实数a 的取值范围为________.
解析 画出函数f (x )的图象，如图所示．记方程①为2＝x ＋a (x >0)，方程②为x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)若a <2，则方程①有且仅有一个实数根，若a ≥2，则方程①没有实数根．(ⅱ)若方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程
x 2＋3x ＋2－a ＝0
有两个不相同的非正实数根，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝9－4(2－a )>0，2－a ≥0，解得－14
<a ≤2；
若方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根，则2－a <0或Δ＝0，即a >2或a ＝－1
4
.
综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－1
4<a <2；当方程f (x )＝x
＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－1
4
或a ＝2.
所以符合题意的实数a 的取值范围为⎣⎡⎦
⎤－1
4，2.
答案 ⎣⎡⎦
⎤－1
4，2 2．如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.
解析 由图象知f (x )＝0有3个根，分别为0，±32，g (x )＝0有3个根，分别为0，±34.由
f (
g (x ))＝0，得g (x )＝0或±3
2
，由图象可知g (x )所对每一个值都有3个根，因而m ＝9；由g (f (x ))
＝0知f (x )＝0或±34，由图象可以看出f (
x )＝0时对应有3个根，而f (x )＝3
4时有4个根，f (x )
＝－3
4
时只有2个根，加在一起也是9个，即n ＝9.所以m ＋n ＝18.
答案 18
3．规定[x ]表示不超过x 的最大整数，已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－
x －2，x <0，
x －[x ]，x ≥0，若方程f (x )＝ax
＋1有且仅有四个实数根，则实数a 的取值范围是________.
解析 当x ≥0时，f (x )是以1为周期的函数，且f (x )＝x －k ，x ∈[k ，k ＋1)(k ∈N )，当x <0时，f (x )是指数型函数，而y ＝ax ＋1为过定点(0,1)且斜率为a 的直线，在同一个直角坐标系中作出它们的图象如图所示．由图象可知，当直线位于直线l 1处或者l 1与l 2之间时，符合题意，而kl 1＝－12，kl 2＝－13，故－12≤a <－1
3
.
答案 ⎣⎡⎭⎫－12
，－13 4．已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨
⎧
－1
4
x 2，0≤x ≤2，－⎝⎛⎭⎫12x
－34
，x >2，若
关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋7a
16＝0，a ∈R 有且仅有8个不同的实数根，则实数a 的取值范
围是________.
解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，设t ＝f (x )，由图可知，要使原方程有且仅有8个不同的实根，则关于t 的方程t 2＋at ＋7a
16
＝0要有两个不相等的实根t 1，t 2，且t 1和t 2都
在区间⎝⎛⎭⎫－1，－34内，令g (t )＝t 2
＋at ＋7a
16
，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
g ⎝⎛⎭
⎫－3
4>0，g (－1)>0，
－1<－a 2<－34
，
a 2
－4×1×7a 16
>0，即
⎩
⎪⎨⎪⎧
a <95
，
a <169，
32<a <2，a >7
4或a <0，
得74<a <169
. 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫
74，169.
答案 ⎝⎛⎭⎫74，169
5．设函数f (x )＝x 3－3x 2－ax ＋5－a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________.
解析 设g (x )＝x 3－3x 2＋5，h (x )＝a (x ＋1)，因为g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令g ′(x )>0⇒x >2或x <0，令g ′(x )<0⇒0<x <2，所以g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又因为g (0)＝5，g (2)＝1，所以在同一直角坐标系中画出两个函数图象，如图
所示，要使存在唯一的正整数x 0，使得
f (x 0
)<0，只要⎩⎪⎨⎪
⎧
g (1)≥h (1)，
g (2)<h (2)，
g (3)≥h (3)，
即
⎩⎪⎨⎪
⎧
1－3＋5≥2a ，
8－12＋5<3a ，27－27＋5≥4a ，
解得13＜a ≤5
4
.
故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤
13，54.
答案 ⎝⎛⎦⎤13，54
6．已知函数f (x )＝x 2
e x ，若关于x 的方程[
f (x )]2＋mf (x )＋m －1＝0恰有3个不同的实数解，
则实数m 的取值范围是________.
解析 f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x (e x )2
＝－x (x －2)
e x ，当x ∈(0,2)时，
f ′(x )>0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值0，在x ＝2处取得极大值4
e 2，且当x →－∞时，
f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0，由此可作出函数f (x )的大致图象，如图所示．令t ＝f (x )，
g (t )＝t 2＋mt ＋m －1.由题意与图知，当函数g (t )＝t 2＋mt ＋m －1的一个零点在⎝⎛⎭
⎫0，4
e 2上时，另一个零点必在(－∞，0)上，则⎩⎪⎨⎪⎧
g (0)＝m －1<0，g ⎝⎛⎭⎫4e 2＝16e 4＋4m e 2＋m －1＞0，
解得1－4
e 2<m <1；当函数g (t )的一个零点为4
e
2，另一个零点在⎝⎛⎭⎫4e 2，＋∞上时，设另一个零点为t 0，则由根与系数的关系，得⎩⎨⎧
4
e 2＋t 0
＝－m ，4
e 2·
t 0
＝m －1，解得t 0＝－1∉⎝⎛⎭⎫4e 2，＋∞；当函数g (t )的一个零点为4
e
2，另一个零点为0时，由根与系数的关系得⎩⎨⎧
0＋4
e
2＝－m ，0×4
e 2
＝m －1，
无解．综上所述，实数m 的取值范围为
⎝⎛⎭
⎫1－4e 2，1.
答案 ⎝⎛⎭
⎫1－4
e 2，1。