高中学生认知结构对数学形式化与非形式化侧重的实证研究

高中学生认知结构对数学形式化与非形式化侧重的实证研究
湖州市第二中学 俞昕
要：《普通高中数学课程标准》中提出课程的基本理念中第七条是“强调本质，注意提 要：
适度形式化”，“适度形式化”首次被提上日程并引起注意。

但目前对于数学形式化与非形式化的研究多限于理论研究，而且限于义务教育的研究颇多。

高中学生正处于接受初等数学教育与高等数学教育的转折之处，他们已经具有初步形成的认知结构，而本研究正是从高中学生的认知结构出发，以实证研究的方式对拥有不同认知结构的学生对数学形式化与非形式化的侧重进行研究，为更好的实施高中数学教学工作提供可借鉴的实证依据。

关键词：认知结构、形式化、非形式化、实证研究
．问题提出
1．问题提出
根据笔者在实际的教学实践过程中的许多观察与研究表明，不同的学生对数学概念的理解，或是数学思维的过程会存在很大的区别，而这种区别在一定程度上正是反映了不同的学生对数学形式化与非形式化的侧重。

形式化是数学的基本特征之一，是数学抽象性的体现。

“在数学中的一切进步都是引入符号（表意符号）后的反响”、“形式是数学的基本特征，抽去了形式等于抽去了数学的灵魂”等都反映了数学的高度形式化所带来的高速发展与进步。

数学教育的目的在于形式陶冶，进行思维训练，这是最根本的一条，一般人可能忘记了数学的具体知识，却不会忘记数学所给予的思维训练价值。

作为初等数学与高等数学中转站的高中数学教育是不可避免的要对学生进行数学形式化陶冶的，但不同的学生具有不同的认知结构，他们对数学形式化与非形式化的认同程度显然是不同的。

然而目前的文献中对数学形式化与非形式化的研究大都限于理论阐述，缺乏实证研究。

本研究试图通过一些教学实验揭示高中学生认知结构对数学形式化与非形式化的侧重，为更好的实施高中数学教学工作提供可借鉴的实证依据。

．研究方法
2．研究方法
对象
2．1研究
研究对象
对象
实验研究的对象是研究者所执教的两个高三理科班级。

研究者所在的学校属于重点中学，所选择的两个班级是平行班级。

根据随机抽样原则和等组要求，运用抽签法，从两个班级中随机的抽取男女生各25名组成50人的实验班进行实验。

用上述同样的方法抽取实验对象再进行第二组的实验。

实验过程
2．2实验过程
本实验的主要目的是揭示高中学生认知结构对数学形式化与非形式化的侧重。

作为实验研究者，精心设计了几组测试题，用来测试不同的学生对数学形式化与非形式化的侧重。

下面是研究者设计的测试题组。

向学生提供题组一，让学生发挥各自认知结构特点的学习空间，使其认知结构取向与外 在问题表征形式发生共鸣，从而来判断不同学生拥有的不同认知特点。

问题1：把正方形ABCD 沿对角线BD 折起，当三棱锥A—BCD 的体积最大时，直线AC 与平面BCD 所成的角的大小是多少？
问题2：的最大值与最小值。

，求、设x 2y x R y x ,x 6y 3x 22222++∈=+
请学生写出对上述两个问题的思考与分析过程。

向学生提供题组二，来测试拥有不同认知特点的学生对数学形式化与非形式化的侧重，他们对数学形式化与抽象程度的适应能力如何。

问题1：设函数)x (f 是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？ 设函数)1x (f +是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？
问题2：函数)1x (f +与)1x (f +−关于哪条直线对称？
函数)1x (f +与)1x (f −−关于哪条直线对称？
问题3：已知ABC ∆中，BC=20，AB+AC=50，求中线AM 的最值。

请学生分析上述问题，说出自己的理由，并把你的想法具体的书写下来。

3．实验结果．实验结果
对题组一的实验结果进行整理，研究者发现主要集中在两种分析结果，研究者根据学生对这两个问题作出的不同分析过程，将他们分成两组，分别称作学生甲组和学生乙组。

将学生甲组作出的分析过程整理如下：
问题1：把正方形ABCD 沿对角线BD 折起，当三棱锥A—BCD 的体积最大时，直线AC 与平面BCD 所成的角的大小是多少？
分析：如图1所示，三棱锥中作出高线AH ，则可以证明点H 落在正方形ABCD 的对角线CO 上。

在AOH Rt ∆中，三棱锥的高AH=AO AOH sin ∠⋅，因为
AO 是正方形对角线的一半，是定值，所以当AOH sin ∠取得最大值1
时，即当∠=∠Rt AOH 时，高线AH 同时也达到最大值是AO ，此时，
三棱锥A—BCD 的体积同时也达到最大。

此时可以容易计算出直线 A D C B
O H
AC 与平面BCD 所成的角。

问题2：的最大值与最小值。

，求、设x 2y x R y x ,x 6y 3x 22222++∈=+ 分析[]3,0x 03x 2x 6y 2
2
∈⇒≥−=∵ 12)6x (31x 4x 31x 23x 2x 6x x 2y x 2222
22−+=+=+−+=++∴ 15x 2y x 3x ;0x 2y x 0x max 22min 22=++==++=）时，（当）时，（当
将学生乙组作出的分析过程整理如下：
问题1：把正方形ABCD 沿对角线BD 折起，当三棱锥A—BCD 的体积最大时，直线AC 与平面BCD 所成的角的大小是多少？
分析：给出如图2—3—4的三棱锥的变化过程，他们发现在整个的变化过程中，三棱锥的高的变化是由小到大，再由大到小，所以当平面ABD 垂直于平面BCD 的时候，三棱锥的高线达到最大，此时三棱锥的体积也达到最大。

问题2：的最大值与最小值。

，求、设x 2y x R y x ,x 6y 3x 22222++∈=+
分析：x 6y 3x 222=+与椭圆方程的结构一致，设m x 2y x 22=++，则它表示一个圆，由此可以通过考虑椭圆与圆的位置的变化关系来求最值。

12
3y 4923x x 6y 3x 22222=+−=+）（得由，可见它表示一个椭圆，中心为
0,23，焦点在x
轴上，且过（0，0）及（3，0）两点。

设m x 2y x 22=++，则1m y )1x (22+=++，它表示一个圆，圆心在（-1，0），半径为)1(1−>+m m 。

在同一坐标系中，作出椭圆及圆，让学生观察如图图2 图3 图4
乙组的学生会发现在圆的半径的变化过程中，圆与椭圆的
位置关系在发生变化。

当圆过（0，0）时，半径最小， 即11m =+，所以m=0；当圆过（3，0）时，
半径最大，即41m =+，所以m=15。

对题组二的实验结果进行整理，研究者发现学生甲组
和学生乙组对题组二中的三个问题作出了不同的分析过程，研究者将他们整理入下。

将学生甲组作出的分析过程整理如下：
问题1：设函数)x (f 是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？ 设函数)1x (f +是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？
分析：如果是)x (f ∵是偶函数，)x (f )x (f =−∴成立
不妨设t 1x =+，则有)t (f )t (f =−成立
)1x (f )1x (f +=−−∴成立
而如果是)1x (f +∵是偶函数，则对于自变量x 本身而言有)1x (f )1x (f +=+−成立。

问题2：函数)1x (f +与)1x (f +−关于哪条直线对称？
函数)1x (f +与)1x (f −−关于哪条直线对称？
分析：不妨设函数)1x (f +与)1x (f +−关于直线t x =对称，则我们可以在)1x (f +上任意取一个点P ),(y x ，即P ))1(,(+x f x ，则P ))1(,(+x f x 关于直线t x =的对称点为))1(,2(+−′x f x t P ，而))1(,2(+−′x f x t P 在函数)1x (f +−的图象上，所以]1)2([)1(+−−=+x t f x f ，即)12()1(++−=+x t f x f ，所以02=t ，0=t ，所以对称直线是0=x ，即y 轴。

同样我们不妨可以设)1x (f +与)1x (f −−关于直线t x =对称，则我们可以在)1x (f +上任意取一个点P ),(y x ，即P ))1(,(+x f x ，则P ))1(,(+x f x 关于直线t x =的对称点为))1(,2(+−′x f x t P ，而))1(,2(+−′x f x t P 在函数)1(−−x f 的图象上，所以]1)2([)1(−−−=+x t f x f ，即)12()1(−+−=+x t f x f ，所以22−=t ，1−=t ，所以对称直线
是1−=x 。

问题3：已知ABC ∆中，BC=20，AB+AC=50，求中线AM 的最值。

分析：根据所给的条件建立以AB 或AC 边长为自变量的函数关系式，最后转化为求有条件的最值。

如图6所示，建立直角坐标系，不妨设B （
C （10，0），设A （x,y ），则由条件可得
50)10()10(2222=+−+++y x y x 整理得：1525
62522=+y x 则中线AM=AO=525625
100)6251(5252
2222+=−+=+x x x y x ，)25,25(−∈x 所以当x=0时，AM 达到最小值215，当x 趋向于25时，AM 趋向于最小25。

将学生乙组作出的分析过程整理如下：
问题1：设函数)x (f 是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？ 设函数)1x (f +是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？
分析：如果)x (f ∵是偶函数，则不妨让我们设2x )x (f =，则22)1()1()1(+=−−=−−x x x f 而2)1()1(+=+x x f ，)1()1(+=−−∴x f x f 成立
而如果是)1x (f +∵是偶函数，则不妨让我们设2)1()(−=x x f ，则2)1(x x f =+是偶函数 而22)()1(x x x f =−=+−，)1()1(+=+−∴x f x f 成立
问题2：函数)1x (f +与)1x (f +−关于哪条直线对称？
函数)1x (f +与)1x (f −−关于哪条直线对称？
分析：)1x (f +是由)(x f 的图象向左平移一个单位得到的，而)1x (f +−是由)(x f 的图象先向左平移一个单位，再关于y 轴对称得到的，或者是由)(x f 的图象先关于y 轴对称，再向右平移一个单位得到的。

所以函数)1x (f +与)1x (f +−关于y 轴对称。

而)1x (f −−的图象是由)(x f 的图象先向右平移一个单位，再关于y 轴对称得到的，或者
是由)(x f 的图象先关于y 轴对称，再向左平移一个单位得到的。

所以函数)1x (f +与)1x (f −−关于直线1−=x 对称。

问题3：已知ABC ∆中，BC=20，AB+AC=50，求中线AM 的最值。

分析：根据条件的题设BC=20，AB+AC=50，联想到椭圆的定义，即有2c=20,2a=50215=⇒b ,再由椭圆的几何性质推知，AM 的最小值即为椭圆的短半轴长，AM 的最大值即为椭圆的长半轴长，因而易求出AM 的最值。

4．实验结果的分析．实验结果的分析
认知数学的先驱戴维斯在分析数学教育的最新观点时明确指出：“数学不是写在纸上的符号。

数学是一种思维方式，他包括问题情景的心理表征和相关知识的心理表征，包括这些心理表征的分析，包括注释学的使用。

”针对戴维斯的最新的数学教育观点，德国数学教育家施万克和我国华东师范大学的徐艳斌教授对德国与我国的部分学生进行抽样调查研究表明，在问题解决的过程中，不同的学生确实表现出依赖于各种不同表征形式的各种不同的个性行为方式。

在有关的实验研究中学生确实表现出功能性与特征性的认知结构，而且他们的行为方式的表现相对稳定，或者擅长数学概念的功能性建构，或者偏向数学概念的特征性建构。

偏爱特征性认知结构的人在问题情景中进行活动时优先表述活动对象间的静态关系，分析问题时把重点放在事物的结构及其描述上；他们在说明所实施的行动时，总是优先描述行动的实施和结果之间的关系；他们更善于去感受事物的精确性。

偏爱功能性认知结构的人，很少直接分析事物间的关系和事物的结构，而是对过程有着清晰的感受过程，善于对作用原理进行思考；他们会直接考虑组织某一过程所需要的努力和费用（不是马上估计最终所达到的结果）。

从上述题组一的分析结果来看，学生甲组是属于偏爱特征性认知结构的学生。

他们在分析问题1，处理这样的立体几何翻折问题时，不是通过观察，而是通过建立各变量之间的关系，进行严密的计算证明而得到结果的；同样在处理问题2 时，函数变量的思想也在他们的认知领域中起了很大的作用。

因此学生甲组更注重优先考虑对象间的静态关系，进行定量分析，他们注重各种不同对象之间的特征与关系，善于进行基于关系的思维，在这些学生分析问题的时候，问题的解决往往是以整个问题的特征与关系充分的展现在学生的面前，学生们通过这种严密而富有逻辑的特征与关系去分析研究问题的本质，从而达到解决问题的目的。

而学生乙组是属于偏爱功能性认知结构的学生。

他们在分析问题1，处理这样的立体几何翻折问题时，主要是通过观察整个立体图形的翻折动态过程，没有经过严密的论证推理；
在处理问题2 时，他们也是运用数形结合的动态过程来观察得到结果的。

因此学生乙组更注重优先考虑对象间的动态关系，进行定性分析，他们注重各种不同对象的功能，善于进行基于作用原理的思维，在这些学生分析问题的时候，问题的解决往往是以整个问题的变化过程展现在学生的面前，学生们通过分析研究在整个过程中的动态关系与因果关系，从而达到解决问题的目的。

在进行题组二的测试后，研究者发现了这样的现象：从学生甲组对题组二的解答中反映出甲组的学生更注重数学形式化的思维，他们更崇尚进行严密的形式推理与逻辑演绎。

对问题1 他们运用偶函数的定义进行演绎推理，对问题2他们喜爱运用图象对称的原始含义，即将整个图象的对称转化为图象上任意一个点的对称，同样体现了他们数学思考的严谨性与严密性，对问题3他们通过建立直角坐标系，进行缜密的计算得出结果。

从学生乙组对题组二的解答中反映出乙组的学生更注重数学非形式化的思维，他们崇尚进行观察、猜想与推测，通过动态的过程去分析问题，或者是通过列举具体的实例来解决问题。

从上述的实验结果分析我们可以发现，在高中数学学习阶段，学生也是可以分为偏爱特征性认知结构的学生和偏爱功能性认知结构的学生，偏爱特征性认知结构的学生在他们平时的学习过程中更注重严密的逻辑思维，更喜好使用数学严谨的形式化推理，所以他们解决问题的过程往往比较细致与全面，考虑问题比较精细，解题的正确率比较高，但解题的速度可能会比较慢，因为他们太注重形式推理，总是认为不严密就会导致错误。

偏爱功能性认知结构的学生在他们平时的学习过程中更注重合理的观察、猜想与运用正例与反例，更喜爱使用数学非形式化的思考方式，所以他们解决问题的过程往往会显得比较粗糙，有些坏节不是很严密，解题的速度是比较快，但正确率往往会低一些，因为他们在进行非形式化思维的过程，难免会有一些环节由于不严密而出现漏洞。

．实验结论
5．实验结论
《普通高中数学课程标准》中提出课程的基本理念有十条，其中第七条是“强调本质， 注意适度形式化”。

在这里我们尤其要注意的是“适度形式化”，研究者通过上述的实验认为我们主要是理解新课标中“适度形式化”的含义。

（1）形式化与非形式化具有辨证互补的关系，他们之间具有相对性，这里的“相对性”主要是从学生的认知结构特点出发。

通过上面实验的研究与讨论，我们已经知道不同的学生拥有不同的认知结构，主要是功能性与特征性的认知结构，而且他们的行为方式的表现相对稳定，或者擅长数学概念的功能性建构，或者偏向数学概念的特征性建构。

而且实验也同时表明擅长特征性建构的学生更善
于进行形式化的推理演绎，擅长功能性建构的学生更善于进行非形式化的思维。

所以数学的形式化与非形式化相对于拥有不同认知结构的学生是具有相对性的。

在我们的教学中数学的形式化与非形式化都是需要的，我们应该提倡的是一种“形式化与非形式化的有机结合”，也就是说对于喜爱形式化的推理演绎的学生我们应当适当的渗透非形式化的思维方式，以便于使得他们的思维更简便，而对于喜爱非形式化的思维的学生我们应当适当的渗透形式化的推理演绎，以便于使得他们的思维更严密。

比如题组二中的问题2：函数)1x (f +与)1x (f +−关于哪条直线对称？函数)1x (f +与)1x (f −−关于哪条直线对称？这个问题用例举一个简单的特殊函数，用函数图象的平移与对称变换来解决要简单、直观得多，在这里用到的是一般形式特殊化的非形式化方法，又比如问题3：已知ABC ∆中，BC=20，AB+AC=50，求中线AM 的最值。

如果能用直觉思维马上联想到椭圆的定义，然后再用观察的方法得到AM 的最值比起严密的建立坐标系进行推导要简洁得多。

但从另一个角度，比如题组二中的问题1：设函数)x (f 是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？设函数)1x (f +是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？喜爱非形式化思维的学生乙组用特殊函数的方法来进行验证固然是可以的，但缺乏严密性，所以最好还是要再向他们介绍学生甲组使用的方法。

所以说数学形式化与非形式化具有辨证互补的关系，我们在教学中应合理的使用数学的形式化与非形式化。

形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。

针对具有不同认知结构的学生，使数学的形式化与非形式化得到最佳的组合，从而促进学生的数学学习。

（2）数学的形式化与非形式化是相对于内容、实质和实际而言的，只有从这三对范畴去认识形式化与非形式化，才能较为全面而深刻。

首先，在中学数学教学中形式与非形式是并存的。

对数学来讲，形式化的理论，事实上只是相应的数学活动的最终产物，而所说的数学活动则又必然地包含有非形式化的成分，比如关于概念直观背景的考虑、数学直觉的应用等。

这样，在数学教学中只讲形式的数学或只形式地讲数学，都是不全面的，数学教学中应该有一定的非形式内容。

其次，形式的数学知识是教学的主要内容，是学生应掌握的核心知识，而“非形式”的教学内容可以使学生对数学知识理解得更好，掌握得更准确，运用得更灵活。

所以在数学教学中，不能单纯强调数学
形式，片面追求形式化，这种做法将直接影响学生智力的发展与能力的提高；同样，在数学教学中也不能单纯强调非形式化，追求非形式化，这种做法不利于学生掌握数学的本质，同样不利于学生智力的发展。

郑毓信教授讲“学会正确地处理形式化与非形式化的关系即可被认为是深刻理解数学的实质（本质）的关键所在”，在教育实际中使“形式化”与“非形式化”达到最佳的配合。

数学的内容、实质和实际往往体现着数学的形式化与非形式化。

在高中数学中有很多内容是可以结合实例进行解释，比如上述题组二中的问题1：设函数)x (f 是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？设函数)1x (f +是偶函数，则)1x (f )1x (f +=−−成立还是)1x (f )1x (f +=+−成立？问题2：函数)1x (f +与)1x (f +−关于哪条直线对称？函数)1x (f +与)1x (f −−关于哪条直线对称？这两个问题都是涉及抽象函数的问题，所谓抽象函数本身就是高中数学中一个典型的形式化的表征，它并不涉及到具体的函数表达式，而是研究一般的函数所具有的普遍形式，所以形式具有一般意义，涉及到所研究问题的实质。

问题1中研究函数)x (f 是偶函数与函数)1x (f +是偶函数的区别，问题2则是研究两个不同的函数的对称关系，主要让学生区分同一个函数的对称，比如：若函数)x (f 满足)1x (f )1x (f +=+−，则函数)x (f 的对称轴是x=1。

这些问题都是学生比较容易出现错误的，错误的原因可能就是由于问题出现的表征是形式化的表征。

而从另一个方面，不同认知结构的学生对此问题也作出了不同形式化程度的解释，学生乙组对两个问题的解释是从实例出发，通过观察特殊函数的变化规律，从而推导出一般的抽象函数的性质，带有归纳的思维，是偏向于非形式化的思维，这其实是对数学中某些内容外延与实例的非形式化诠释，而这也正是通向形式化描述的一条必经的路径；学生甲组对两个问题的解释就是从数学中某些内容与实例的原始定义出发，进行形式化的推导解析，把握住了问题的核心与实质，而这样的解释反过来恰恰能很好的解释一切内容外延与实例。

可以看出的是数学的内容、实质与实际之间就存在着一定的形式化与非形式化的关系。

一个数学概念或内容的外延、实例往往提供的是非形式化的解释，而问题的核心与实质又可以对外延与实例作形式化的诠释。

同时核心与实质之间又能相互作形式化与非形式化的转化，比如函数最大值与最小值的定义，在新教材中对函数最大值与最小值作了形式化的定义：
设函数)x (f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
①对于任意的I x ∈，都有M )x (f ≤；
②存在I x 0∈，使得M )x (f 0=。

那么我们称M 是函数)x (f y =的最大值（max i m u m v a lue ）。

设函数)x (f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
①对于任意的I x ∈，都有M x f ≥)(；
②存在I x 0∈，使得M )x (f 0=。

那么我们称M 是函数)x (f y =的最小值（m ini m u m v a lue ）。

这样的形式化定义在教材中还是第一次出现，在新教材中引进形式化的表征也是逐步提高高中学生形式化表达能力与形式化思维的能力的一种体现，这为学生们进入高等学府继续深入的学习做好前奏。

同时我们也要引导学生自己给出函数最大值与最小值的非形式化定义：函数在给定的定义域内的最大值对应于函数图象上的最高点的函数值，最小值对应于函数图象上的最低点的函数值。

还可以让学生自己构造各种函数图象，通过图象来理解函数最大值与最小值，这也是非形式化的表征，但却能让学生更形象、更直观的理解函数最大值与最小值的含义。

研究者将数学的内容、实质与实际之间存在的形式化与非形式化的关系用下列图表来表示。

总之，在数学教育中处理好“形式化”和“非形式化”关系意义深远，数学课程要讲逻辑推理，更要
讲道理，通过
典型例子的
分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

而且数学的现代
发展也表明，全盘形式化是不可能的，
图7
因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。

我
们的实验表明具有不同认知结构的高中学生对数学形式化与非形式化的侧重是不同的，我们应当根据这一现象，在实际的教学过程中努力的对“形式化”与“非形式化”进行有效的结合，促使拥有不同认知结构的学生都尽可能的达到最佳的学习效果。

笔者认为可以从下面两
方面进行尝试。

（1）在教学中既要鼓励学生主动建构又要适当引导学生
在数学教学中，我们应当从数学学习的自身特点出发，促使学生自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，以达到对知识的真正的理解。

要为学生创造一种环境，使他们在其中能扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释。

我们应当把数学教学当作一种科学探索的过程(当然，它是在教师的指导下进行的)，而不要把它当成是一种语言、一种高度抽象的理论，甚至是一种宗教教义。

应当努力促使学生形成自己对数学的理解，并能用自己的评议来表达这种理解。

这样就充分的留给学生在属于自己的认知领域内发挥的空间，形式化与非形式化对于不同的学生而言本身就具有相对性，学生寻找到适合自己的建构过程。

但我们同时又要注意的是教师适当引导的重要作用。

偏爱特征性认知结构的学生注重严密的逻辑思维，喜好使用数学严谨的形式化推理，某些比较简单、直观的问题，他们解决的途径可能会比较繁琐，或者甚至陷入困境，所以教师要适当的引导其进行非形式化的思维，使得某些问题的解决迅速而简单；偏爱功能性认知结构的学生注重合理的观察、猜想与运用正例与反例，喜爱使用数学非形式化的思考方式，所以他们解决问题的过程往往会显得比较粗糙，虽然解题的速度是比较快，但有时因为严密性不够，出现漏洞、错误的几率比较高，所以教师要适当的引导其进行形式化的思维，培养其思维的严密性，增强其逻辑推理能力。

（2）要经历一个不断“非形式化 形式化”的过程
在数学严格的逻辑演绎体系的建立过程中，也经历了先发现问题、再总结规律而猜测出定理；先试验、猜测定理的证明思路，再具体实施证明，并在证明过程中不断修改、矫正思路，最后才能获得完善的证明。

因此数学教师就应该设法引导学生探讨这些“为什么”，理解数学中的“道理”和“意义”，还数学以生动活泼的本来面目。

要使数学教学过程在某种程度上反映出数学的创造过程，做到既让学生理解“证明”，又让学生学会“猜测”，使学生能够“知其然又知其所以然”。

要经历一个不断“非形式化 形式化”的过程，从另一个角度讲就是逐层数学化的过程。

一般说来,数学化是一种由现实问题到数学问题,由具体问题到抽象概念的认识转化活动,。