CPM与PERT

6
E (4) 2 A (2)
1 2
4
12
E'(0)
5
8
3
D (3) 6 F(7)
H (4) 12 16
8
B (3) C (2)
3
3
0
0
B '(0) 3
6
G(6) 13 13
7
16
3 I (10)
J(3)
6
E (4)
2 A (2)
1 2
4
12
E'(0)
5
8
D (3)
H (4) 12 16 T
8
B (3) C (2)
3
3
3
6 F(7) G(6) 13 13 I (10)
7
0
0
B '(0) 3 3
6
16
J(3)
（2）计算各工序
i
j 的时差Rij ：
Rij= j 的 － i 的 － t ij 则关键工序为Rij =0的工序。
注：关键工序
头尾皆有
=
（反之未必成立）
例1：
a(5) 0 0
5 5 2
c(4)
9 9 4 f(3)
j
i
事项:
工序起点
e.g.
1
j
a
2
工序终点
b
3
c
4
二、 求解方法——网络计划图法（CPM）
分为三步： 绘制工程网络图 标号法求工期 T 标号法求关键路线
网络图（箭头图）的组成要素
一般表示工程计划的网络图由三部分组成：箭线、 结点和线路。 实箭线 它表示一道具体工序，箭头表示工序进 行方向，通常称为双代号表示法。 虚箭线 它表示一道虚工序。虚工序不是实际中 的具体工序，它仅用于表示工序与工序之间的 关联关系 结点 它表示一个事项。事项又称事件，表示一 些工序的结束或开始。。 线路 它是指从最初结点（总开工事项）开始顺 着箭头方向连续不断地到达终点（总完工事项） 的通路，其中时间和最大的线路为关键线路， 相应有次关键线路，关键线路上的序称为关键 工序。
7
H (4)
8
1
3
B '(0)
6
I (10)
J(3)
例 为筹建某餐馆，需制定计划。将工程分为
14道工序，各工序需时及先后关系如下表。试求
该工程完工期T及关键路径。
工序
紧前工序
A _ 10
B _ 3
C _ 1
D _ 2
E D 7 9
F E 3
G A F 5
H G 4
I B H 4
J B H 3
K I J 6
工序代号 A B C D
工序名称 拆迁 工程设计 土建工程设计 采购设备
紧前工序 / / B B
工序时间（周） 2 3 2.5 6
E F G
厂房土建 设备安装 设备调试
C、A D、 F
20 4 2
解： 1 B (3)
A（2）
2
C (2.5)
3 D (6)
E (20)
F (4)
4 5
G (2) 6
第九章
引例：沏茶
工程网络计划 (CPM 与 PERT)
1
烧水（10）
3
沏茶（2）
4
备茶 （3） 2
1
烧水（10）
3
沏茶（2）
4
一、 问题描述
备茶 （3） 2
一项工程，已知各工序完成时间t及其先后关系 求：工程完工期及关键工序
相关概念：
关键工序：主矛盾工序，不能延期完工 路线： 从始点到终点的一条路 关键路线：由关键工序组成的路线，是所有路 线中时间最长的路线。
T ~ N (TE , )
2
TE
T
确定平均工序时间的三点估计法：
t ij aij 4mij bij 6
bij a ij 6
2 ij

2
总工期 T ~ N (TE , )
2
其中： TE
( i , j )I
t
ij
TE
T
2
标准化

求工程在40天内完工的概率。

( 1.51) 0.066
2. 给定概率p，求完工可能性为p的工期 方法：首先查表求* ，使 ( *) p ； T * TE 再由 * 解出 T *
6. 关键路线：从起点至终点由关键工序组 成的路线．
用标号法求工期 T
步骤： （1）标出各事项的最早开始时间 Ⅰ、给始点①标 0 Ⅱ 、给任意事项 j 标 Ej ， Ej=max{以 j 为箭头的各箭之“箭尾 6 4 E (4) E'(0)
+箭长 t ij ”}
2 A (2)
1
2
D (3)
5
H (4) 16
时间参数计算
1. 工序时间：完成某一工序所需要的时间，用 tij 表 示．
i
(i, j)
j
时间参数计算
2. 事项时间参数计算(已知 tij ) (1)、 事项最早时间
• tE(1)=0 • tE(j)=max{tE(i)+tij } • tE(n)=工期
(2)、 事项最迟时间（逆推）
• •
tL(n)= tE(n)= 工期 tL(i)=min{tL(j)- tij }
( i , j )I
2 ij （I 为关键路线）

T TE

~ N (0,1)

PERT的内容
*
1. 给定时间T*，求工期T≤T*内完工的概率
方法：首先计算
T TE
*

，
P{T T *} P{ *}
1 2

*

e
t2 2
dt ( *)
3.
紧前，紧后工序—表示工序前后衔接的逻辑 关系．
1
a
b
3
c
d
4
2
5
绘制网络图规则:
4.
不允许出现回路
1 c
a b
2
3
绘制网络图规则:
5.
虚工序的运用
1 ① 解决画法中问题
0
2
② 正确表达工序的前行、后续关系(连结、隔离) ③ 表达平行作业
两种情况需要引入虚工序：
① 两个工序A、B有相同的始点和终点 A A
A 1 2 B
7
D 5 6
3
4
C
E
8
绘制网络图规则:
6. 网络图只允许有一个起点和一个终点.
3
4 2
3 2 1
7
1
1
2
4
3
6
8
5
3
0
2 3
7
3 2
1
1
4
2
4
6
1
0
5
8
0
绘制工程网络图
（1）顺序：按工序的先后从左至右
（2）图的结构 弧：
1
烧水 （10）
3
沏茶（2）
4
备茶 （3）
2
、 j 为工序的起点、终点 结点： 相邻工序的时间分界点，称为事项 权： 工序的完成时间 相邻弧： 工序的前后衔接关系，称为紧前或紧后工序 （3）绘图要求 图中不能出现缺口、回路和多重边 a 多重边的 处理：
Δ
(*)：阴影面积


*

然后查表求 ( )。 ( ) 1 ( )
例、已知某工程网络图，以及各工序的时间参数。
3
1 A
12.83
D
9
2
B 7.83
E 4 4 F
2 ij
5 G 6
12.17
C
8.17
10.33
H 11
7
工序 a m b A 10 13 15 B 5 8 10 C 7 8 10 D 7 9 11 E 2 4 6 F 8 10 14 G 10 12 15 H 9 11 13
8
B (3) C (2)
3
3
6 F(7)
G(6) 13
7
0
B '(0) 3
6
I (10) （2）终点 n 的标号
T
J(3) 即为工期
用标号法求关键路线
步骤： （1）标出各事项的最晚开始时间 Ⅰ、给终点 n 标 T Ⅱ 、给任意事项 i 标 L i ， L i=min{以 i 为箭尾的各箭之“箭头
－ 箭长t ij ”}
2
4 2 3 1
A
A B B,C C
G
H I
实地调研
写调研报告 开会汇总
5
2 3
D,E,F
G H
D(2) 3 B(2) 1 A(1) 2 C(4) 4 0 F(1) 0 5 E(3) 6 G(5) 7 H(2) 8 I(3) 9
3 5 3 0 0 1
A(1)
D(2)
1 1 2
C(4)
B(2)
0
5 5 5
6
21
I(4) J(3)
25
2
2 2 E(7)
9 3 9 F(3)
17
17 4 12
5 L(3) 12
N(7)
G(5)
31
网络时间与关键路线
在绘制出网络图之后，我们可以由网络图求出：
1、完成此工程项目所需的最少时间。
2、每个工序的开始时间与结束时间。
3、关键路线及其应用的关键工序。
4、非关键工序在不影响工程的完成时间的前提下，其开始 时间与结束时间可以推迟多久。
二、 求解方法——网络计划方法
(1)、网络计划方法（统筹方法），是一种科学的组 织管理技术。 (2)、应用：工业、农业、政府、科研、军事
例：阿波罗载人登月计划
“北极星”导弹研制计划
新产品的研制开发 设备维修
(3)、我国于1991年发布了《网络计划技术》三个国 家标准（术语，画法和应用程序），进一步推 进了网络计划技术在我国的研究，应用。
L G 3
M C I 4
N K L 7
所需天数
C 1 B
M
I’’ 6
D 2
E 3
A
5
H
I J
L
7
11 I’
8
K 10
N
F
G 4
0 0 1 D(2)
C(1) B(3) A(10)
34
9 25
M(4) I’’(0) 21 H(4) 38 38 7 25 I’(0) 8 25 25 K(6) 10 31 11
时间参数计算
3. 工序时间参数计算(已知 tij ) (1)、工序最早可能开工时间：
• tES(i, j) = tE(i)
(2)、工序最迟允许开工时间
• tLS(i, j) = tL(j) - tij
时间参数计算
4. 总时差 Rij=tLS(i, j)- tES(i, j)
5. 关键工序： Rij=0
阿波罗载人登月计划北极星导弹研制计划新产品的研制开发设备维修二求解方法网络计划方法4关键路线法cpmcriticalpathmethod项目评审技术pertprogramevaluationreviewtechnique3我国于1991年发布了网络计划技术三个国家标准术语画法和应用程序进一步推进了网络计划技术在我国的研究应用
例：绘制工程网络图
工序代号 紧前工序工序时间（周） A / 2 B / 3 C / 2 D A 3 E A 4 4
续左表
工序代号 紧前工序 F B G B H D、E I B、C
工序时间（周）
7 6 4 10
J
G、I
3
解：
2
E (4)
A (2) B (3) C (2)
E'(0)
5
D (3) F(7) G(6)
问题，考虑工程时间的均衡问题。
网络计划方法包括绘制计划网络图、进度安 排、网络优化等环节，下面进行分别讨论. 网络计划方法的第一步工作就是绘制计划网 络图，也就是将工序（或称为活动）进度表 转换为网络计划方法的网络图。
基本概念:

工序

紧前工序 紧后工序

网络图的基本组成： i
双代号有向图：
(i, j)
1 2 1 2 3
虚工序
B
B
B'
② 四个工序A、B、C、D有如下关系： A是X的紧前工序，A和B同时又是Y的紧前工序
1
A B
2
X Y
3
A'
4 5 6
虚工序
例1、a, b, c, d, 四道工序，c在 a, b完工后开始， d在 b完工后开始。
1
a
b
3
c
d
4
2
5
1
a b
4
c d
5
2
3
6
例2、已知A是B得紧前工序，C是E的紧前工 序，A,C是D的紧前工序．
(4)、关键路线法 —— CPM (Critical Path Method)
项目评审技术 —— PERT (Program Evaluation and Review Technique)
CPM与PERT网络计划，这二种方法的主要区别是： 1）CPM方法对工程中各工序完工时间的估计是确定 的，而PERT方法对时间估计是概率型的。 2）PERT方法主要注重工程计划中的时间问题，而 CPM方法在把费用概念引入计划控制过程中，不 仅注重时间问题，而且还考虑工程的费用和成本
12.83 7.83 8.17 9 4 10.33 12.17 11
tij
0.69 解： 关键路线I为:A→C→F→H； / TE=42.33 0.25 2 2 ij 2.38 / ( i , j )I / T * TE 40 42.33 * 1.51 1.00 1.54 / P{T 40} 0.44
E(3)
8 8 6
G(5)
13 13 7
H(2)
15 15 8
I(3)
18 18 9
0
4 5 5
F(1)
三、工程工期的概率分析——计划评审技术（PERT） PERT与CPM的主要区别： CPM工序时间是确定的；
PERT工序时间tij 是随机变量，而完工期T 也是随机的，
由概率知识：T 服从正态分布
绘制网络图的准备工作
将整个工程分解为若干工序 确定各工序的前后顺序（紧前、紧后） 确定工序完成时间 一点估计法 三点估计法：最乐观时间a、最可能时间m、最悲观时间b tij= a+4m+b
6
绘制网络图规则:
1.
方向，时序，编号。
2. 两个结点间只允许画一条线。
a i b j
7
绘制网络图规则:
1 2
i
j
表示工序
i
a
1 2
虚工序
b
b
3
b'
例 某工厂进行技术改造，需要拆掉旧厂房、建 造新厂房和安排设备。这项改建工程可以分解为 7道工序，其相关资料如下表： 工序代号 A B C D E F G 工序名称 拆迁 工程设计 土建工程设计 采购设备 厂房土建 设备安装 设备调试 紧前工序 / / B B C、A D、E F 工序时间（周） 2 3 2.5 6 20 4 2
d(2) 1 6