高三数学解题方法谈几何概型分类求解

几何概型分类求解
在一次随机试验中，试验结果可能是无穷的，并且在等可能结果的随机试验中，在有限的范围（即某一个事件）内仍然是无穷多个基本事件，且这些事件只与有关的长度、面积、体积等度量成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．主要有以下几种情形：
一、长度问题
在整个的长度上，基本事件的个数是无限的，其中的某一个事件的基本事件的个数也是无限的，此时求事件的概率一般是转化为长度之比．
例1 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位
置剪断，那么剪得的两段的长都不少于1米的概率有
多大？
解：如图1，记剪得两段绳子的长都不小于1米
为事件A ，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中
间一段时，事件A 发生，由于中间一段的长度等于绳长的13，所以事件A 发生的概率1()3
A P A μμΩ==． 二、面积区域问题
例2 两人相约在18∶00至19∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去．如果两人出发是各自独立的，在18∶00至19∶00各时刻
相见的可能性相等，求两人在约定的时间内相见的概率．
解：设两人分别在x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见，当且仅当x y 2-3
≤．如图2，在阴影部分的范围内两人能在约定的时间内相见，所以两人在约定的时间内相遇的概率是：2118319S P S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===阴影
正方形． 例3 如图3，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上
面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人
站在3m 处向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，
可重投，问：
（1）投中大圆内的概率是多少？
（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？
分析：投中线上或没投中不算，因而投中正方形内各部分的任一点都是等可能的．投中正方形木板上每一点都是一个基本事件，
这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个且每个基本事件发生的可能性都相等，所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，属于几何概型． 解：设事件A 表示“投中大圆内”，B 表示“投中小圆与中圆形成的圆环”，C 表示“投中大圆之外”．
2216256(cm S μΩ===)正方形，
22636cm A S μ==π⨯=π()大圆，
2224212c m
B S S μ=-=π⨯-π⨯=π()中圆小圆， 225636c m
C S S μ=-=-π()正方形大圆． 由几何概率公式，得
（1）369()A P A μμΩππ===25664
； （2）123()B P B μμΩππ=
==25664； （3）256369()1256C P C μμΩ-ππ===-64
． 三、空间体积问题
例4 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml ，含有麦锈病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1L 种子中的分布可以看做是随机的，取得的10ml 种子可看做构成事件的区域，1L 种子可看做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率． 解：取出10ml 种子，其中“含有麦锈病的种子”这一事件记为A ，则10()0.011000P A ===取出的种子体积
所有种子的体积．。