湖南省永州市大界中学2018-2019学年高三数学文联考试卷含解析

湖南省永州市大界中学2018-2019学年高三数学文联考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集，集合，，则等于
(A).(B).
(C).
(D).
参考答案：
C
2. 在数列中，已知等于的个位数，则的值是（）
A．8 B．6 C．4
D．2
参考答案：
C
，所以的个位数是4，，所以所以的个位数是8，，所以的个位数是2，，所以的个位数是6，的个位数是2，的个位数是2，的个位数是4，的个位数是8，的个位数是2，所以
从第三项起，的个位数成周期排列，周期数为6，，所以
的个位数和的个位数一样为4，选C.
3. 若（i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
D
【分析】
按照复数的运算法则，先将化为形式，再按照复数的几何意义，即可求解.
【详解】
复数对应的点在第四象限.
故选：D
【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题.
4. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为：
A、2
B、
C、
6 D、
参考答案：
D
5. 已知函数则
=
( ）
A． B．e C．
D．
参考答案：
A
6. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
当共线时，，，此时方向相同夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且不共线。

由得，且，即实数的
取值范围是，选B.
7. 设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1<x≤3}，则图1中阴影部分表示的集合是()
图1
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}
参考答案：
C
略
8. 若a>0，b>0，且函数在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
参考答案：
D
略
9. 设集合A=,B=,则A B=( )
A. B. C.
D.
参考答案：
D
10. 某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为
A．K>2 B．K>3
C．K>4 D．K>5
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线C1：y=x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处切线平行于C2的一条渐近线，则p= ．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方
程，求出函数y=x2（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p 的值．
【解答】解：由抛物线C1：y=x2（p＞0）得x2=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．
由﹣y2=1得a=，b=1，c=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为=，
即x+2y﹣p=0①．
设该直线交抛物线于M（x0，），则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知=，得x0=p，代入M点得M（p，）
把M点代入①得：．
解得p=．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12. 已知向量，且，则_____.
参考答案：
略
13. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.参考答案：
略
14. 在中，，则____________.
参考答案：
.
15. 在△ABC中，∠A=60°，，则△ABC面积的范围是.
参考答案：
16. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则___．
参考答案：
1033
17. 若关于的二元一次方程至多有一组解，则实数的取值范围是__________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
（12分）设函数
⑴求的单调区间；
⑵若关于的方程在区间上恰有两个相异实根，求实数的取值范围。

参考答案：
解析：⑴定义域为，因为
所以，当或时，
当或时，
故的单调递增区间是和
的单调递减区间是和 (6分)
（注：和处写成“闭的”亦可）
⑵由得：，
令，则或
所以≤时，≤时，
故在上递减，在上递增（8分）
要使在恰有两相异实根，则必须且只需
即（12分）
19. 已知椭圆C：（）的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足
，且椭圆C过点，过点的直线l与椭圆C交于两点E,F. （1）求椭圆C的方程；
（2）过点E作x轴的垂线，交椭圆C于N，求证：N，F2，F三点共线.
参考答案：
解：（1）依题意，，故.
将代入中，解得，故椭圆：.
（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.
点，，，联立得. 即，，，
由题可得直线方程为，
又∵，.
∴直线方程为，
令，整理得
，即直线过点.
又∵椭圆的左焦点坐标为，∴三点，，在同一直线上.
20. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（0，8）．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程．
参考答案：
【考点】特征向量的意义．
【分析】（1）利用特征值、特征向量的定义，建立方程，即可得出结论；（2）求出变换前后坐标之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）设，由及，
得，解得，∴…
（2）设原曲线上任一点P（x，y）在M作用下对应点P'（x'，y'），
则，即，解之得，
代入x+3y﹣2=0得x'﹣2y'+4=0，
即曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程为x﹣2y+4=0…
21. 已知函数，其中．
（1）若，求证：时，；
（2）试讨论函数的零点个数．
参考答案：
（1）当时，令（）
则
............................................（1分）
当时，，，，此时函数递增....（2分）当时，，当时，………①....（3分）(2)………②
令，得，......................（4分）
（i）当时，，由②得……③
当时，，，，此时，函数为增函数，时，，，时，，
故函数，在上有且只有一个零点；...............（5分）
（ii）当时，，且，
由②知，当，，，，
此时，；同理可得，当，；当时，；
函数的增区间为和，减区间为
故当时，，当时，
函数，有且只有一个零点............（7分)
又，构造函数，，则
……④，易知，对，，函数，
为减函数，
由，知，……⑤...(8分) 构造函数（），则，当时，，当时，，函数的增区间为，减区间为，
，
有，则，
，当时，……⑥而……⑦....................（9分）
由⑥⑦知……⑧
又函数在上递增，
由⑤⑧和函数零点定理知，，使得
.............（10分）
综上，当时，函数有两个零点，
综上所述：当时，函数有两个零点，
当时，函数有且仅有一个零点．.........................（12分）
22. （14分）
直线过点P斜率为，与直线：交于点A，与轴交于点B，点A，B的横坐标分别为，记.
（1）求的解析式；
（2）设数列满足，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，当时，证明不等式：
.
参考答案：
解析：（1）直线的方程为，令，得
由，得，
因此，的解析式为：
……………………………………4分
（2）时，,,即
①当时，
，
数列是以0为首项的常数数列，则
………………………………6分
②当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，…………8分
，解得 (10)
分
综合①、②得
（3），
，
,
则
,
因此，不等式成立 (14)
分。