新教材高中数学第6章立体几何初步§44.2第2课时平面与平面平行的判定学案

第2课时平面与平面平行的判定
学习任务核心素养
1．通过具体实例，归纳出平面与平面平行的判定定理. (重点、难点)
2．掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．(重点、难点)1．通过对平面与平面平行的判定定理的归纳及发现，培养学生数学抽象素养．
2．借助于平面与平面平行的判定定理应用，培养学生逻辑推理素养．
如何判断桌子的桌面是否水平？工人师傅将水平仪在桌子上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，否那么桌面就不是水平的，这是为什么呢？(注：当水平仪的气泡居中时，水平仪所在的直线就是水平线)
阅读教材，结合上述情境答复以下问题
问题1：情境中给出的判断两平面平行的方法是什么？
问题2：假设一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
问题3：假设一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
问题4：平面平行有传递性吗？
知识点平面与平面平行的判定定理
表示
定理
图形文字符号
平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直
线与另一个平面平行，那么这
两个平面平行
a⊂α，b⊂α，a∩b
＝A，a∥β，b∥β⇒
α∥β
1.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？
[提示]不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．
2．如果删去平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线〞，那么平面α和β平行吗？
[提示]不一定．两个平面可能平行，也可能相交．
思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)
(1)假设一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
()
(2)假设一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平
面平行．()
(3)假设一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
()
[提示](1)错误．这两个平面可能平行，也可能相交．
(2)正确．由平面与平面平行的判定定理可知其正确．
(3)错误．这两个平面可能平行，也可能相交．
[答案](1)×(2)√(3)×
类型1平面和平面平行的证明
【例1】(教材北师版P221例6改编)如下图，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面P AB∥平面EFG.
[证明]∵E，F分别为线段PC，PD的中点，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF⊄平面P AB，AB⊂平面P⊄B，∴EF∥平面P AB.
同理可证EG∥平面P AB.
又∵EF∩EG＝E，∴平面P AB∥平面EFG.
(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作〞的原那么，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，假设找不到再作辅助线．
[跟进训练]
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
[证明]如下图，连接B1D1，
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
∴PN∥BD，又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD，
同理可得MN∥平面A1BD，
又∵MN∩PN＝N，
∴平面MNP∥平面A1BD.
类型2平行关系的综合应用
【例2】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，
AD 1，BD 的中点．
(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；
(2)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .
[证明](1)如图，连接AC ，CD 1.
因为ABCD 是正方形，且Q 是BD 的中点，所以Q 是AC 的中点，又P 是AD 1的中点， 所以PQ ∥CD 1.
又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.
(2)法一：取B 1D 1的中点O 1，连接FO 1，BO 1，那么有FO 1∥B 1C 1且FO 1＝12
B 1
C 1. 又BE ∥B 1C 1且BE ＝12
B 1
C 1，所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1. 所以四边形BEFO 1为平行四边形，所以EF ∥BO 1，
又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .
法二：取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，那么有FE 1∥B 1D 1，EE 1
∥BB 1，
且FE 1∩EE 1＝E 1，FE 1，EE 1⊂平面EE 1F ，B 1D 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，
所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .
又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .
(1)在遇到线面平行时，常需作出过直线与平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化，转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
[跟进训练]
2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC ∥AD ，E 为侧棱PD 的中点，且BC ＝2，AD ＝4，求证：CE ∥平面P AB .
[证明] 取AD 的中点O ，连接OC ，OE (图略).
∵E 为侧棱PD 的中点，∴OE ∥P A ，OE ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，∴OE ∥平面P AB . ∵BC ＝2，AD ＝4，BC ∥AD ，∴四边形ABCO 为平行四边形，∴OC ∥AB ，
又OC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴OC ∥平面P AB .
∵OC ∩OE ＝O ，OC ，OE ⊂平面OCE ，∴平面OCE ∥平面P AB .
∵CE ⊂平面OCE ，∴CE ∥平面P AB .
类型3 平面与平面平行中的探索性问题
【例3】 如下图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为CC 1，C 1D 1，DD 1，CD 的中点．N 为BC 的中点．试在E ，F ，G ，H 四个点中找两个点，使这两个点与点N 确定
一个平面α，且平面α∥平面BB 1D 1D .
1.空间中的线、面平行关系是如何转化的？
[提示] 线线平行―――――→线面平行的判定定理线面平行―――――→面面平行的判定定理
面面平行 2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点．问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO ？请说明理由．
[提示] 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .理由如下：
连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，
∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，
∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥P A .
又∵O 为DB 的中点，∴D 1B ∥PO .
又∵PO ∩P A ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，
∴平面D 1BQ ∥平面P AO .
3.应用两平面平行的判定定理→确定三点→得到平面
[解]由面面平行的判定定理，假设使平面α∥平面BB 1D 1D ，只需在
平面α内有两条相交直线平行于平面BB 1D 1D ，或在平面α内有两条相
交直线平行于平面BB 1D 1D 内的两条相交直线即可．连接HN ，HF ，NF ，
易知HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面BB 1D 1D ，即在E ，F ，
G ，H 四个点中，由H ，F 两点与点N 确定的平面α满足条件．
在例3中，作出过F , H ，N 三点的平面截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面．
[解]如下图，设平面NHF 和 B 1C 1交于一点N 1，连接FN 1，NN 1，因为平面NHF ∥平面BB 1D 1D ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面NHF ＝FN 1，平面A 1B 1C 1D 1∩平面
BB 1D 1D ＝B 1D 1，所以B 1D 1∥FN 1，又因为F 是C 1D 1的中点，所以点
N 1是B 1C 1的中点，那么过F , H ，N 三点的平面截正方体ABCD －
A 1
B 1
C 1
D 1所得的截面为矩形FHNN 1.
平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答
题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．
[跟进训练]
3.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的
点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2. 假设MB ∥平面AEF ，试
判断点M 的位置．
[解] 由题知MB ∥平面AEF ，过点F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于点N ，连接MN ，NF .
因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C
＝MN ，所以BF ∥MN .
因为MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝
FN ，
所以MB ∥FN ，
所以四边形BFNM 是平行四边形，所以MN ＝BF ＝1.
而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝12
EC ＝1， 故MN 是△ACE 的中位线．
所以当M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF . 1．以下命题中正确的选项是( )
A ．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B ．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C ．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D ．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B [如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，那么两平面平行，应选B.]
2．(多项选择题)在正方体中，相互平行的面是( )
A ．前后相对侧面
B ．上下相对底面
C ．左右相对侧面
D ．相邻的侧面
ABC [由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，应选ABC.]
3．a ，b ，c ，d 是四条直线，α，β是两个不重合的平面，假设a ∥b ∥c ∥d ，a ⊂α，b ⊂α，c ⊂β，d ⊂β，那么α与β的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．以上都不对
C [根据图1和图2可知α与β平行或相交．
]
图1 图2
4．α，β是两个不重合的平面，以下选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
D[选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．应选D.]
5．给出以下命题：
①任意三点确定一个平面；
②三条平行直线最多可以确定三个平面；
③不同的两条直线均垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行；
其中说法正确的有________(填序号).
②③[对①：根据根本领实1可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；
对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；
对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；
对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误．综上所述，正确的有②③.]
回忆本节内容，自我完成以下问题：
1.证明面面平行的方法有哪些？
[提示]证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
2.空间中各种平行关系之间有怎样的关系？
[提示]空间中各种平行关系相互转化关系的示意图。