【北师大版】九年级数学下期末第一次模拟试卷(含答案)(1)

一、选择题
1．已知⊙O 的半径是一元二次方程2690x x -+=的解，且点O 到直线AB 的距离为2，则⊙O 与直线AB 的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定 2．如图，O 的直径为10，弦AB 的长为6，P 为弦AB 上的动点，则线段OP 长的取值
范围是（ ）
A ．35OP ≤≤
B ．45OP <<
C ．45OP ≤≤
D ．35OP << 3．如图，点,,A B C 为O 上三点，40OAB ∠=︒，则ACB ∠的度数等于（ ）
A ．100︒
B ．80︒
C ．50︒
D ．40︒
4．如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点E 是边BC 的中点，连接OE 并延长交O 于点D ，连接BD ，则D ∠的大小为（ ）
A ．55°
B ．65°
C ．70°
D ．75° 5．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根
(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（ ）
A ．m a b n <<<
B ．m a n b <<<
C ．a m n b <<<
D ．a m b n <<< 6．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴
是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）
A ．n 2﹣4mk ＜0
B ．mk ＞0
C ．n ＝2m
D ．m ﹣n +k ＝0
7．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线12
x =，且经过点()20，
，下列说法∶①0abc >；②240b ac -<；③1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根；④0a b +=．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x ＝1，在下列结论中：
①abc ＞0；②若方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1、x 2，则x 1+x 2＜0；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9．如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有A 、B 、C 三个格点，则ABC ∠的余弦
值为（ ）
A ．12
B ．255
C ．55
D ．2
10．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若3AB =，则DE 等于（ ）
A ．1
B ．3
C ．12
D ．3 11．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AD 为△ABC 的角平分线，C
E 是△ABC 的中线，AD 、CE 相交于点
F ，则EF CD
的值为（ ）
A ．22
B ．32
C 2
D ．2
12．在ABC 中，AB 122=，AC 13=，2cos B 2∠=
，则BC 边长为（ ） A ．7 B ．8 C ．8或17 D ．7或17
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD 中，∠DBC=30º，DC=2，E 为AD 上一点，以点D 为圆心，以DE 为半径画弧，交BC 于点F ，若CF=CD ，则图中的阴影部分面积为______________．（结果保留π）
14．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点
()()()0,4,4,4,6,2A B C --．
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D ，则AD 的长为__________．
（2）该圆弧的长为___________．
15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①a ＜0；②4ac ＞b 2；③4a ＋c ＜2b ；④3b ＋2c ＜0．其中正确的是____________．(填序号)
16．当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小，则实数m 的取值范围是_____．
17．如图，已知点()6,0A ，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数1y 和过P 、A 两点的二次函数2y 的图像开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当5OD AD ==时，这两个二次函数的最大值之和等于________．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则cos ∠BOD ＝_____．
19．在ABC 中，若213sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
，则C ∠的度数是_____________． 20．如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CAB ∠=__________．
21．计算：()2
01232cos 4520212π-⎛⎫------ ⎪⎝⎭=__________ 22．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6cm ，则AB 的长为_____．
三、解答题
23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在边AC 上，∠DBC=∠BAC ．O 经过A 、B 、D 三点． 连接DO 并延长交
O 于点E ，连接AE ，DE 与AB 交于点F ． （1）求证：CB 是
O 的切线；
（2）求证：AB=EB ；
（3）若DF=3，EF=7，求BC 的长．
24．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转90︒，得到11A B C ∆．
（1）画出11A B C ∆；
（2）求点A 在旋转过程中的路径长；
（3）DEF ∆可以看作是由11A B C ∆旋转得到，在点,,,P Q M N 中，点 是旋转中心．
25．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值互为相反数；当0x <时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)
x x y x x -≥⎧=⎨<⎩． （1）已知点(1,3)A -在一次函数2y ax =-的相关函数的图象上，求a 的值；
（2）已知二次函数2283y x x =-+-．
①当点(,4)B m -在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；
②当23x -≤≤时，求函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值． 26．如图，已知一次函数2y kx =-的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数2y x bx c =++经过点B ，且与一次函数2y kx =-的图象交于点()6,4C ．
（1）求一次函数与二次函数的解析式．
（2）在y 轴上是否存在点M ，使得以点B ，M ，C 为顶点的三角形与BAO 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
解方程确定圆的半径为3，圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.【详解】
∵2690
x x
-+=，
∴
123
x x
==，
∴圆的半径为3，
∵点O到直线AB的距离为2，即d=2，
∴d＜R，
∴直线与圆相交，
故选A.
【点睛】
本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d，R法则是解题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
由垂线段最短可知当OP ⊥AB 时最短，当OP 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【详解】
解：如图，连接OA ，作OP ⊥AB 于P ，
∵⊙O 的直径为10，
∴半径为5，
∴OP 的最大值为5，
∵OP ⊥AB 于P ，
∴AP=BP ，
∵AB=6，
∴AP=3，
在Rt △AOP 中，OP=222594OA AP -=-=；
此时OP 最短，
所以OP 长的取值范围是4≤OP≤5．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP 的最小值，所以求OP 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2
a ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 3．C
解析：C
【分析】
根据等边对等角得到40OBA OAB ∠=∠=︒，利用三角形内角和可得100AOB ∠=︒，根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：∵OA OB =，
∴40OBA OAB ∠=∠=︒，
∴100AOB ∠=︒，
∴1502
ACB AOB ∠=∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
连接CD ，根据圆的内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据垂径定理得到OD ⊥BC ，求得BD=CD ，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
【详解】
如图：连接CD ，
∵ ∠A=50°，
∴∠CDB=180°-∠A=130°，
∵ E 是边BC 的中点，
∴ OD ⊥BC ，
∴ BD=CD ，
∴ ∠ODB=∠ODC=12
∠BDC=65°， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案．
【详解】
设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，
∵一元二次方程()()2
50x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <， ∴当x =a 或x =b 时，y =0，
∵1＞0，
∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0），
∵a ＜b ，
∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，
当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0，
当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0，
∵m ＜n ，
∴a ＜m ＜n ＜b ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．
【详解】
解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误；
B ．∵抛物线开口向上，
∴m ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴k ＜0，
∴mk ＜0，所以B 选项错误；
C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，
∴﹣2n m
＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；
D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a
=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．
7．B
解析：B
【分析】
①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号即可判断；
②根据抛物线与x 轴的交点即可判断；
③根据二次函数的对称性即可判断；
④由对称轴求出=-b a 即可判断．
【详解】
解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴0a <，
∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，
∴0c >，
∵对称轴是直线12
x =， ∴122
b a -
=， ∴0b a =->， ∴0abc <．
故①错误；
②∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴240b ac ->，
故②错误；
③∵对称轴为直线12
x =，且经过点()2,0， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，
∴1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根，故③正确；
④∵由①中知=-b a ，
∴0a b +=，
故④正确；
综上所述，正确的结论是③④共2个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当0a >时，二次函数的图象开口向上，当0a <时，二次函数的图象开口向下．
8．C
解析：C
【分析】
根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据抛物线对称轴确定x 1+x 2的符号，根据当x=2时，判断4a+2b+c 的符号，根据二次函数的增减性对④进行判断．
【详解】
解：①∵开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；
②从图象可知，抛物线对称轴为直线x=122
x x +=1，则x 1+x 2=2>0，∴②错误； ③抛物线对称轴是x=1，根据抛物线得对称性可知当x=2和x=0时函数值相等， ∴y=4a+2b+c ＜0，∴③正确；
④抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确； 故选：C
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
9．B 解析：B
【分析】
过点B 作BD ⊥AC 于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB ，BC 的长，利用面积法可求出CE 的长，再利用余弦的定义可求出∠ABC 的余弦值．
【详解】 解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．
2232BD AD +=2210BD CD +=
∵12AC•BD=12AB•C E ，即12×2×3=12
2•CE ， ∴2，∴2222BC CE -=
∴cos ∠ABC=
222510
BE BC ==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE ，BC 的长度是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
由题意，根据菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，求出30CBD ∠=︒，然后由特殊角的三角函数值，即可求出答案．
【详解】
解：由题意，
在菱形ABCD 中，有
∴CBD CDB ∠=∠，
∵DE CE =，
∴ECD CDB ∠=∠，
∴22BEC ECD CDB CDB CBD ∠=∠+∠=∠=∠，
∵CE BC ⊥，即90BCE ∠=︒，
∴90CBD BEC ∠+∠=︒，
∴390CBD ∠=︒，
∴30CBD ∠=︒，
在Rt △BCE 中，有
tan tan 30CE CBD BC ∠=︒=
，
∴
3=， ∴1CE =．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出30CBD ∠=︒．
11．A
解析：A
【分析】
过D 作DM AB ⊥于,M 先证明,CD MD BM ==设,CD MD BM m ===再用含m 的代数式表示,,AE AM 再证明,AEF AMD ∽ 利用相似三角形的性质可得
EF DM
的值，从而可得答案．
【详解】
解：过D 作DM AB ⊥于,M
∠ACB=90°，AD 为△ABC 的角平分线，
,CD MD ∴=
CE 是△ABC 的中线，,CA CB = 90ACB ∠=︒，
,CE AB ∴⊥ ,CE BE AE == 45B A ∠=∠=︒，
45MDB B ∴∠=∠=︒，
,DM BM ∴=
,CD MD BM ∴==
设,CD MD BM m === 222,BD m m m ∴=+=
()212,BC CD BD m m m AC ∴=+=+=+=
()
22222,AB AC BC BC m ∴=+==+ ()()
2212,AM AB BM m m m ∴=-=+-=+ cos ,BE B BC =
()
2=,212m ∴+ ()
21+2,BE m AE ∴== ,,CE AB DM AB ⊥⊥
//,FE DM ∴
,AEF AMD ∴∽
()
21222212m EF AE DM AM m +∴===+
2.2EF CD ∴= 故选：.A
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
首先根据特殊角的三角函数值求得B ∠的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD 和CD 的长后即可求得线段BC 的长．
【详解】
解：∵2cos B 2
∠=
， ∴B 45∠=，
当ABC 为钝角三角形时，如图1，
∵AB 122=，B 45∠=，
∴AD BD 12==，
∵AC 13=，
∴由勾股定理得CD 5=，
∴BC BD CD 1257=-=-=；
当ABC 为锐角三角形时，如图2， BC BD CD 12517=+=+=，
故选D ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答．
二、填空题
13．【分析】连接由矩形ABCD 分别求解再求解从而可得答案【详解】解：连接矩形ABCD 故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质等腰直角三角形的
性质含的直角三角形的性质勾股定理的应用扇形的面积掌握以上知识是 解析：432.π--
【分析】 连接DF ，由矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒==分别求解,,,EDF DF BC ∠ 再求解43,,2DFC ABCD DEF S S S
π===矩形扇形，从而可得答案．
【详解】
解：连接DF ，
矩形ABCD ，30,2,DBC DC CF ∠=︒==
2290,4,45,2222,ADC BD DFC FDC DF ∴∠=︒=∠=∠=︒=+=
224223,904545,BC EDF ∴=-=∠=︒-︒=︒
(24522123243,,2223602
DFC ABCD DEF S S S ππ⨯∴=====⨯⨯=矩形扇形， 432.S π∴=-阴影
故答案为：32.π-
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，等腰直角三角形的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
14．【分析】（1）利用网格特点作BC 和AB 的垂直平分线它们的交点为D 点然后写出D 点坐标然后利用勾股定理计算AD 的长即可；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ACD 为等腰直角三角形∠ADC=90°利用弧长公
解析：255π
【分析】
（1）利用网格特点，作BC 和AB 的垂直平分线．它们的交点为D 点，然后写出D 点坐标，然后利用勾股定理计算AD 的长即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ACD 为等腰直角三角形，∠ADC=90°，利用弧长公式
得到
90255180
ππ=． 【详解】
解：（1）如图，易知点D 的坐标为()2,0-， 则222425AD =+=．
（2）由（1）知25AD =
即D 的半径为25 ∵2225,62210AD CD AC ===+=
∴222AD DC AC +=，
∴ACD ∆为直角三角形，ADC ∠的度数为90°． 90255ππ=， 5π．
【点睛】
本题主要考查圆，扇形等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出点D 的坐标是解题的关键．
15．①④【分析】根据二次函数的性质和系数之间的关系和图象逐个判断即可【详解】解：∵抛物线开口向下∴a ＜0；①正确；∵图象与x 轴有两个交点∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根∴b2-4ac ＞0∴
解析：①④
【分析】
根据二次函数的性质和系数之间的关系和图象逐个判断即可．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a ＜0；①正确；
∵图象与x 轴有两个交点，
∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b 2-4ac ＞0，
∴4ac ＜b 2，②错误；
∵当x=-2时，y ＞0，
∴4a-2b+c ＞0，
∴4a+c ＞2b ，③错误；
∵抛物线的对称轴为12b x a
=-
=-， ∴b=2a ，
∵当x=1时，y ＜0，
∴a+b+c ＜0 ∴102b b c ++<， ∴320b c +<，④正确
故答案为①④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a
=-，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．
16．m≥【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到当x 为何值时y 随x 的增大而减小从而可以得到m 的取值范围【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x2+3x ＝﹣（x ﹣）2+∴当x≥时y 随x 的增大而减小∵当
解析：m ≥
32 【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x 为何值时，y 随x 的增大而减小，从而可以得到m 的取值范围．
【详解】
解：∵二次函数y ＝﹣x 2+3x ＝﹣（x ﹣
32）2+94， ∴当x≥32
时，y 随x 的增大而减小， ∵当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小，
∴m≥32
， 故答案为：m≥
32． 【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17．4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F 过D 作DE ⊥OA 于E 过C 作CM ⊥OA 于M 则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和BF ∥DE ∥CM 求出AE=OE=3DE=4设P （2x0）根据二次函数的对称性得出OF=P
解析：4
【分析】
过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF ∥DE ∥CM ，求出AE=OE=3，DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，推出△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，得出BF OF DE OE =，CM AM DE AE
=，代入求出BF 和CM ，相加即可求出答案． 【详解】
解：过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，
∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，
∴BF ∥DE ∥CM ，
∵OD=AD=5，DE ⊥OA ，
∴OE=EA=12OA=3， 由勾股定理得：DE=4．
设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，
∵BF ∥DE ∥CM ，
∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，
∴BF OF DE OE =，CM AM DE AE
=， ∵AM=PM=
12（OA-OP ）=12（6-2x ）=3-x ， 即43BF x =，343
CM x -=， 解得：BF=
43x ，CM=4-43
x ， ∴BF+CM=4．
故答案为4．
【点睛】 此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．
18．【分析】设左下角顶点为点F 取BF 的中点E 连接CEDE 由点C 为AF 的中点点E 为BF 的中点可得出进而可得出∠BOD ＝∠DCE 在△DCE 中由DC2＝CE2＋
DE2可得出∠DEC＝90°再利用余弦的定义即可
解析：
5
【分析】
设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，由点C为AF的中点、点E为BF的中点可得出//
CE AB，进而可得出∠BOD＝∠DCE，在△DCE中，由DC2＝CE2＋DE2可得出∠DEC＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠BOD的值，此题得解．
【详解】
解：设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，如图所示．
∵点C为AF的中点，点E为BF的中点，
∴//
CE AB，
∴∠BOD＝∠DCE，
在△DCE中，DC10，DE＝2，CE2，
∵DC2＝CE2＋DE2，
∴∠DEC＝90°，
∴cos∠DCE＝CE
CD
25
10
∴cos∠BOD＝5
5
5
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．
19．120°【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案【详解】解：∵∴sinA-=0cosB-=0∴sinA=cosB=∴∠A=30°∠B=30°∴∠C的度数是：180°-30°-3
解析：120°
【分析】
直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案．
【详解】
解：∵213sin cos 02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴sinA-12=0，cosB-32=0， ∴sinA=12，cosB=3， ∴∠A=30°，∠B=30°，
∴∠C 的度数是：180°-30°-30°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．【分析】根据题意和图形可以得到ACBC 和AB 的长然后根据等面积法可以求得CD 的长再利用勾股定理求得AD 的长从而可以得到cos ∠CAB 的值【详解】解：作CD ⊥AB 交AB 于点D 由图可得∵解得∴∴故答案为
解析：25 【分析】
根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，再利用勾股定理求得AD 的长，从而可以得到cos ∠CAB 的值．
【详解】 解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，
由图可得，
22221310,2,3332AC BC AB =+===+=
∵322
ABC AB CD BC S ∆⋅⨯==， 解得，2CD =
， ∴2222(10)(2)22AD AC CD =-=-=
∴2225cos 510
CAB A A C D ∠===，
故答案为：25
．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．0【分析】直接利用负整数指数幂绝对值的性质特殊角的三角函数值及零指数幂分别化简得出答案【详解】解：原式=4-(3-)--1=4-3+--1=0故答案为0【点睛】本题主要考查了实数运算正确化简各数是解
解析：0
【分析】
直接利用负整数指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂，分别化简得出答案．
【详解】
解：原式=4-(3-2)-2-1=4-3+2-2-1=0，
故答案为0．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．
22．【分析】根据题意过点C作CD⊥AB根据∠B＝45°得CD＝BD根据勾股定理和BC＝得出BD再根据∠A＝30°得出AD进而分析计算得出AB即可【详解】解；过点C作CD⊥AB交AB于D∵∠B＝45°∴C
解析：33
【分析】
根据题意过点C作CD⊥AB，根据∠B＝45°，得CD＝BD，根据勾股定理和BC＝6得出BD，再根据∠A＝30°，得出AD，进而分析计算得出AB即可．
【详解】
解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．
∵∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵BC6，
∴BD3
∵∠A＝30°，
∴tan30°＝CD
AD
，
∴AD ＝30CD tan ︒＝33＝3， ∴AB ＝AD+BD ＝33+．
故答案为：33+．
【点睛】
本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．
三、解答题
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）
57 【分析】
（1）连接OB ，在⊙O 中，由等腰三角形的性质∠ODB=∠OBD ，由圆周角的性质得到∠DBC=∠BED ，根据圆的切线的判定定理即可得结论；
（2）由圆周角定理∠ABD=∠AED ，根据平行线的判定定理得到AE ∥BC ，得到∠ABC=∠BAE ，进而得到∠BEA=∠BAE ，根据等腰三角形的判定即可证得结论； （3）延长BO 交AE 于H ，由矩形的判定证得四边形ACBH 是矩形，由垂径定理得到BC=AH=12
AE ，由已知可得直径DE=10，可得DO=EO=5，进而求出OF=2，根据相似三角形的判定的性质可求得AD ，根据勾股定理求得AE ，即可求得结果．
【详解】
（1）证明：连接OB=OA ，
在⊙O 中，OB=OD ，∠BAC=∠BED ，
∴∠ODB=∠OBD ，
∵∠DBC=∠BAC ，
∴∠DBC=∠BED ，
∵DE 是⊙O 的直径，
∴∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BED=90°，
∴∠OBD+∠DBC=90°，
∴OB ⊥BC ，
∵OB 是⊙O 的半径，
∴CB 是⊙O 的切线；
（2）证明：在⊙O 中，∠ABD=∠AED ，
由（1）得：∠DBC=∠BED ，
∴∠ABD+∠DBC=∠AED+∠BED ，
∴∠ABC=∠BEA ，
∵DE 是⊙O 的直径，
∴∠EAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACB=180°，
∴AE ∥BC ，
∴∠ABC=∠BAE ，
∴∠BEA=∠BAE ，
∴AB=EB ；
（3）解：延长BO 交AE 于H ，
由∠HAC=∠ACB=∠OBC=90°，得四边形ACBH 是矩形，
∴OH ⊥AE ，
∴BC=AH=12
AE ， ∵DF=3，EF=7，
∴直径DE=10，
即半径DO=EO=5，
∴OF=2，
∵OB ∥AC ，
∴△OBF ~△DAF ， ∴OF OB DF AD =，即253AD
=， ∴AD =152
， ∴在Rt △ADE 中，AE 2257-2DE AD =
，
∴BC =AH =12AE 57=． 【点睛】 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）
32
π；（3）点N 【分析】
（1）分别半A 、B 两点绕点C 顺时针方向旋转90°得出即可；
（2）根据弧长公式求解即可；
（3）根据旋转中心的定义进行辨析即可．
【详解】
解：（1）如图，11A B C ∆为所求
（2）点的路径长为：90331801802
n r l πππ⨯=== （3）DEF ∆可以看作是由11A B C ∆旋转得到，在点,,,P Q M N 中，点N 是旋转中心． 理由：NC=NF ，NA 1=ND ，NB 1=NE,∠A 1ND=∠CNF=∠B 1NE=90°
所以，点N 是旋转中心．
故答案为：N ．
【点睛】
此题主要考查了旋转图形的画法、旋转中心的确定以及弧长的求法，学会求作旋转三角形是解答此题的关键．
25．（1）-5；（2）①m =3222
-
，m =222+m =222-；②最大值为3，最小值为-27
【分析】
（1）先得到2y ax =-的相关函数，再将点A 代入计算即可；
（2）①写出二次函数2283y x x =-+-的相关函数，再代入计算； ②根据二次函数的最大值和最小值的求法解答．
【详解】
解：（1）2y ax =-的相关函数为2(0)2(0)ax x y ax x -+≥⎧=⎨-<⎩
， 将(1,3)A -代入2y ax =-，
得5a =-；
（2）①二次函数2283y x x =-+-的相关函数为22283(0)283(0)x x x y x x x ⎧-+≥=⎨-+-<⎩
， 当0m <时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+-，
得：m =22+（舍去）或m =2， 当0m ≥时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+，
得：m =22+
m =2
∴m =2-m =22+或m =22- ②当20x -≤<时，2283y x x =-+-，抛物线的对称轴为2x =，
此时y 随x 的增大而增大，
∴此时273y -≤<-，
当03x ≤≤时，函数2283y x x =-+，抛物线的对称轴为2x =，
当2x =有最小值，最小值为-5，当0x =时，有最大值，最大值3y =，
∴当23x -≤≤时，函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值为3，最小值为-27．
【点睛】
本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
26．（1）一次函数解析式为2y x =-，二次函数解析式为：252y x x =--；（2）存在，点M 的坐标为（0，4）或（0，10）．
【分析】
（1）由一次函数2y kx =-的图象与y 轴交于点B ，可求B （0，-2），由一次函数2y kx =-的图象过点()6,4C ，可求1k =，一次函数解析式为2y x =-，由
2
y x bx c =++经过点B ，点()6,4C ，代入得36642b c c ++=⎧⎨=-⎩，解方程组求出52b c =-⎧⎨=-⎩即可；
（2）存在，先求出OA=2,OB=2,∠AOB=90°，由勾股定理
=M 为直角顶点时，当点C 为直角顶点时，利用相似三角形及其性质，可求BM=6或12，即可求出点M 的坐标．
【详解】
解：（1）∵一次函数2y kx =-的图象与y 轴交于点B ，
∴当x=0时，y=-2，B （0，-2），
∵一次函数2y kx =-的图象过点()6,4C ，
∴462k =-，
∴1k =，
∴一次函数解析式为2y x =-，
∵2y x bx c =++经过点B ，点()6,4C ，
代入得36642b c c ++=⎧⎨=-⎩
， 解方程组得52b c =-⎧⎨=-⎩
， ∴二次函数解析式为：252y x x =--；
（2）存在，理由如下，
∵已知一次函数2y x =-的图象与x 轴交于点A ，
∴y=0，x=2，
∴A(2,0),B(0,-2),
∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，
在Rt △AOB 中，由勾股定理
由勾股定理= ①当点M 为直角顶点时，CM ⊥y 轴，CM ∥OA ，
∴∠MCB=∠OAB ，∠MBC=∠OBA ， ∴△CMB ∽△AOB ，
∴BM BC =
BO BA 即BM 2， ∴BM=6，
∴OM=MB-OB=6-2=4，
∴M （0，4），
②当点C 为直角顶点时，
∴CM ⊥BC ，
∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO ， ∴△MCB ∽△AOB ，
∴BC BM =
BO BA ∴BM=12，
∴OM=MB-OB=12-2=10，
∴M（0，10），
∴以点B，M，C为顶点的三角形与BAO相似点M的坐标为M（0，4）或（0，10）．
【点睛】
本题考查一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握一次函数解析式与二次函数解析式，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题关键是分类考虑以点C与点M为直角时的相似三角形．。