贵州省遵义市第四中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学(文)试题
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A． B． C． D．
11．已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知 ，且 与 的夹角为 ，则 __________．
13．过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．
14．直线 ： ， ： ，若 ，则 的值为______．
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，且 ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，且 ，则 ．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．①④C．②④D．①③
3．定义一种运算 ，在如图所示的框图所表达的算法中揭示了这种运算“ ”的含义，那么按照运算“ ”的含义， （）
A． B． C． D．
4．与直线 关于 轴对称的直线方程为（ ）
7．A
【分析】
根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积.
【详解】
由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，
所以其体积为 .
故选：A
【点睛】
此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.
8．A
【解析】
【分析】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 与 所形成角的余弦值．
6．C
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义利用数形结合分析即可得到结论．
【详解】
由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），
因为 ，所以 ，
平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，
目标函数 取得最大值，
由 ，解得 ，
即 ，
即 ，
故 的最大值为9．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．
3．C
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，故选C.
考点：程序框图及三角函数值的计算.
4．A
【解析】
【分析】
由条件求得与直线 关于 轴对称的直线的斜率为 ，且经过点 ，用点斜式求得要求直线的方程．
【详解】
直线 的斜率为 ，与 轴的交点为 ，
故与直线 关于 轴对称的直线的斜率为 ，且经过点 ，
故所求的直线方程为 ，化简可得 ，
【详解】
①当 ， 时， 不一定成立，m可能在平面 所以错误；
②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；
③因为 ，则一定存在直线 在 ，使得 ，又 可得出 ，由面面垂直的判定定理知， ，故成立；
④ ， ，且 ， ， 也可能相交，如图所示，所以错误，
故选A．
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键．
故选A．
【点睛】
本题主要考查关于 轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
5．B
【解析】
分析：先根据两直线平行，算出m的值，然后利用两平行直线间距离公式进行计算
详解：∵ 与 平行，
∴ ，
∴m=9.
将直线 化为2x+3y+系需要求掌握，另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的x和y的系数需相等”
A． B． C． D．
5．直线2x+3y–9=0与直线6x+my+12=0平行，则两直线间的距离为（ ）
A． B． C．21D．13
6．设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）
21．如图，在正三棱柱 中，已知 ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由 与 求出两集合的交集即可．
【详解】
∵ ， ，
∴ .
故选：D．
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．A
【分析】
对于①当 ， 时， 不一定成立；对于②可以看成 是平面 的法向量， 是平面 的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④ ， 也可能相交．
（2）已知圆心为 ，且与直线 相切求圆的方程；
17．已知函数 .
（1）求函数 的最大值；
（2）已知 的面积为 ，且角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，求 的值.
18．已知等差数列 和等比数列 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
19．某校高二某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，其可见部分如图，据此解答下列问题：
15．如图,在矩形 中, , , 为边 的中点.将三角形ADE沿 翻折,得到四棱锥 .设线段 的中点为 ,在翻折过程中,有下列三个命题:
①总有 平面 ;
②三棱锥 体积的最大值为 ;
③存在某个位置,使 与 所成的角为 .
其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
16．已知直线
（1）求与 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4直线方程：
A．2B．4C． D．
8．已知正四棱柱 中， ， 为 中点，则异面直线 与 所形成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．直线 恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．4C． D．
10．已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的正数 ， 都有 ，若数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
（1）求分数在 的频率及全班人数；
（2）求分数在 之间的频数，并计算频率分布直方图中 间的矩形的高；
（3）若分数80分及以上的为优秀，求从分数优秀的同学中任选3人，恰有2人分数在 之间的概率．
20．如图所示， 是正方形， 平面 ， 、 是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积．
【全国百强校】贵州省遵义市第四中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题：
11．已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知 ，且 与 的夹角为 ，则 __________．
13．过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．
14．直线 ： ， ： ，若 ，则 的值为______．
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，且 ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，且 ，则 ．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③B．①④C．②④D．①③
3．定义一种运算 ，在如图所示的框图所表达的算法中揭示了这种运算“ ”的含义，那么按照运算“ ”的含义， （）
A． B． C． D．
4．与直线 关于 轴对称的直线方程为（ ）
7．A
【分析】
根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积.
【详解】
由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，
所以其体积为 .
故选：A
【点睛】
此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.
8．A
【解析】
【分析】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 与 所形成角的余弦值．
6．C
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义利用数形结合分析即可得到结论．
【详解】
由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），
因为 ，所以 ，
平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，
目标函数 取得最大值，
由 ，解得 ，
即 ，
即 ，
故 的最大值为9．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．
3．C
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，故选C.
考点：程序框图及三角函数值的计算.
4．A
【解析】
【分析】
由条件求得与直线 关于 轴对称的直线的斜率为 ，且经过点 ，用点斜式求得要求直线的方程．
【详解】
直线 的斜率为 ，与 轴的交点为 ，
故与直线 关于 轴对称的直线的斜率为 ，且经过点 ，
故所求的直线方程为 ，化简可得 ，
【详解】
①当 ， 时， 不一定成立，m可能在平面 所以错误；
②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；
③因为 ，则一定存在直线 在 ，使得 ，又 可得出 ，由面面垂直的判定定理知， ，故成立；
④ ， ，且 ， ， 也可能相交，如图所示，所以错误，
故选A．
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键．
故选A．
【点睛】
本题主要考查关于 轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
5．B
【解析】
分析：先根据两直线平行，算出m的值，然后利用两平行直线间距离公式进行计算
详解：∵ 与 平行，
∴ ，
∴m=9.
将直线 化为2x+3y+系需要求掌握，另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的x和y的系数需相等”
A． B． C． D．
5．直线2x+3y–9=0与直线6x+my+12=0平行，则两直线间的距离为（ ）
A． B． C．21D．13
6．设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）
21．如图，在正三棱柱 中，已知 ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由 与 求出两集合的交集即可．
【详解】
∵ ， ，
∴ .
故选：D．
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．A
【分析】
对于①当 ， 时， 不一定成立；对于②可以看成 是平面 的法向量， 是平面 的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④ ， 也可能相交．
（2）已知圆心为 ，且与直线 相切求圆的方程；
17．已知函数 .
（1）求函数 的最大值；
（2）已知 的面积为 ，且角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，求 的值.
18．已知等差数列 和等比数列 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
19．某校高二某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，其可见部分如图，据此解答下列问题：
15．如图,在矩形 中, , , 为边 的中点.将三角形ADE沿 翻折,得到四棱锥 .设线段 的中点为 ,在翻折过程中,有下列三个命题:
①总有 平面 ;
②三棱锥 体积的最大值为 ;
③存在某个位置,使 与 所成的角为 .
其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
16．已知直线
（1）求与 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4直线方程：
A．2B．4C． D．
8．已知正四棱柱 中， ， 为 中点，则异面直线 与 所形成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．直线 恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．4C． D．
10．已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的正数 ， 都有 ，若数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
（1）求分数在 的频率及全班人数；
（2）求分数在 之间的频数，并计算频率分布直方图中 间的矩形的高；
（3）若分数80分及以上的为优秀，求从分数优秀的同学中任选3人，恰有2人分数在 之间的概率．
20．如图所示， 是正方形， 平面 ， 、 是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积．
【全国百强校】贵州省遵义市第四中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题：