高考数学一轮复习坐标系与参数方程单元训练卷理选修

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）
第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线113x t
y t
=+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3
D ．3-
2．点A 的极坐标为5π2,6⎛⎫
⎪⎝⎭
，则A 的直角坐标为（ ）
A ．()
1,3-
B ．()
1,3-
C ．
(
)3,1-
D ．()
3,1-
3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
4．参数方程()sin cos 222sin x y αααα⎧=+⎪
⎨
⎪=+⎩
为参数的普通方程为（ ） A ．2
2
1y x -=
B ．22
1x y -= C ．()
2
2
12y x x -=≤
D ．()
2
2
12x y x -=≤
5．点M 的直角坐标是()
1,3-，则点M 的极坐标为（ ） A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．2,3π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C ．22,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()π2,2π3k k ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭Z
6．与极坐标2,6π⎛
⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）
A ．72,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．72,6π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
C ．112,6π⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
D ．132,6π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
7．点P 的直线坐标为()
3,1-，则它的极坐标可以是（ ） A ．26π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
B ．26π⎛
⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫
⎪⎝⎭，
D ．526π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭， 8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ） A ．cos ρα=-
B ．sin ρα=
C ．2cos ρα=-
D ．2sin ρα=
9．若曲线21x t
y t =-=-+⎧⎨⎩
（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）
A ．
30 B ．15 C ．30 D ．60
10．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θ
θ==⎧⎨⎩
（θ为参数），则该曲线离心率为（ ）
A ．
3 B ．34
C ．
2 D ．1
2 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4
l θρπ
=∈R 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径
的圆的极坐标方程为（ ）
A ．22sin 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B ．22sin 4ρθπ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C ．22cos 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．22cos 4ρθπ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭
12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ） A ．k ∈R
B ．34
k ≥-
C ．3
4
k <-
D ．k ∈R 但0k ≠
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x t
l y t =-⎧⎨=⎩
（t 为参数）的距离是__________．
14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______．
此
卷
只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________． 16．点P 在椭圆上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C
：(sin )4ρθπ-．
（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．
18．（12分）已知曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面
直角坐标系中，将曲线1C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程； （2）直线l 过点()1,0M ，与曲线2C 交于A 、B 两点，求
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2
219
x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值．
20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θ
θ=+=⎧⎨⎩
（θ为参数），
以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程；
（2
）极坐标方程为2sin 3ρθπ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭l 与1C 交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．
21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为212
x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
3
2cos 1
ρθ=+． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求MON △的面积．
22．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-，圆2C ：()()2
2
121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4
θρπ
=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）
第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】由113x t
y t
=+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，可得331y x =--，斜率3k =．故选C ．
2．【答案】D
【解析】 设点(),A x y ，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式， 可得52cos
36x π==-，52sin 16
y π
==，即点A 的坐标为()
3,1-，故选D ． 3．【答案】B
【解析】方程sin ρθ=，可化简为2sin ρρθ=，即22x y y +=． 整理得2
211y 24x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为12的圆．故选B ．
4．【答案】C
【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=，
且2sin 1,3y α⎡⎤=+∈⎣⎦
，据此可得普通方程为()
2212y x x -=≤．故选C ． 5．【答案】C
【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos x ρθ=，得1
cos 2θ=-，
结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选C ． 6．【答案】B
【解析】点2,6π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭在直角坐标系中表示点()
3,1--，
而点72,6π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭在直角坐标系中表示点()
3,1-，
所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭表示不同的点，故选B ．
7．【答案】C 【解析】()
2
2312ρ=
-+=，3
tan θ=-
， 因为点在第二象限，故取526
k θπ
=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．【答案】C
【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为()1,0-， 则圆的标准方程为：()2
211x y ++=，即2220x y x ++=，
化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=，整理可得：2cos ρα=-．故选C ． 9．【答案】C
【解析】曲线21x t y t =-=-+⎧⎨⎩
的普通方程为10x y +-=，
曲线22ρ=的直角坐标方程为228x y +=，圆心O 到直线的距离为2
2
2
d =
=
， 又22r =，∴()
2
2
2222302BC ⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，故选C ． 10．【答案】A
【解析】由题得曲线C 的普通方程为22
1164x y +=，所以曲线C 是椭圆，4a =，23c =．
所以椭圆的离心率为233
e =
=
．故选A ． 11．【答案】A
【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，
则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线的直角坐标方程y x =． 由2240x y x y x
+-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或2
2x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22
112x y -+-=，
即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为()22cos sin 0ρρθθ-+=，
即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．
12．【答案】C
【解析】()2
222:2cos 211C x y x x y ρθ=⇒+=⇒-+=，所以
223
14
1
k k k +<⇒<-
+，故选C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．
【答案】
2
【解析】直线一般方程为20x y +-=
，利用点到直线距离公式d =
． 14．【答案】10x y +-=
【解析】极坐标方程即()cos sin 10ρθθ+-=，则直角坐标方程是10x y +-=． 15．
【答案】1【解析】圆2cos ρθ=，转化成22cos ρρθ=，
用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2
211x y -+=， 把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=， 由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，
1=
，解得1a =±0a >
，则负值舍去，故1a =+
1+
16．
【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，
， 则点P 到直线3424x y -=的
时，d 取得最大值为
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）1C ：220x y x y +--＝，2C ：10x y -+＝；
（2）1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【解析】（1）圆O ：cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝， 曲线1C 的直角坐标方程为22x y x y ++＝，即220x y x
y --＋＝， 曲线2C ：sin 4ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭sin cos 1ρθρθ-＝，
则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝． （2）由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩
+-＝＝，得0
x y ⎧⎨⎩＝＝1，
则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭．
18．【答案】（1）3cos sin x y θθ
==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）8
5．
【解析】（1）曲线1C
的直角坐标方程为2
2
1x y +=，曲线2C
∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θ
θ==⎧⎨⎩，（θ为参数）．
（2）设l 的参数方程为
代入曲线2C
的方程
19．【答案】（1）1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数），2C ：()
2
241x y +-=；（2）1+．
【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕ
ϕ==⎧⎨⎩
，
（ϕ为参数）， 2C 的直角坐标方程为22
8150x y y +-+=，即()2
241x y +-=．
（2）由（1）知，曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆． 设
()3cos ,sin P ϕϕ
，则2PC
=
=
当1
sin 2
ϕ=-
时，2PC =．
又因为21PQ PC ≤+，当且仅当P ，Q ，2C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．
所以max 1PQ =．
20．【答案】（1）()2
214x y -+=；（2）2．
【解析】（1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩
（θ为参数），
可得1cos 2x θ-=
，sin 2
y
θ=． 因为22sin cos 1θθ+=，可得()2
214x y -+=， 即曲线1C 的普通方程：()2
214x y -+=．
（2
）将2sin 3ρθπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭l 化为普通方程可得：
2sin cos 2cos sin 33
ρθρθππ
+=
y +=，
因为直线l 与1C 交P ，Q 两点，曲线1C 的圆心()10，
，半径2r =， 圆心到直线l
的距d =
=
所以线段PQ
的长2==．
21．【答案】（1）22
13y x +=；
（2）3
4
． 【解析】（1）因为()222
232cos 132cos 1
ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为22
13
y x +=．
（2）将直线l
的参数方程21x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，
得250t +=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t
，则12t t +=
，125t t ⋅=， 于是
MN =
， 直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l
的距离d =
， 所以1324
MON S MN d =
⋅=△． 22．【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）1
2
．
【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．
（2）将4
θπ
=
代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=
， 得240ρ-
+=，解得1
ρ=，2ρ=
故12ρρ-=
MN =
由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为1
2
．。