河北省邢台市2019-2020学年高二下学期第三次月考数学(理)试题word版有答案

邢台市2017～2020学年高二（下）第三次月考
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.“0x =”是“复数2
(1)()z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.圆8sin ρθ=的圆心的直角坐标为（ ）
A ．(0,4)
B ．(0,4)-
C ．(4,0)
D ．(4,0)-
3.已知集合{1,2,3,4,5}A =，{5,8,9}B =，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ）
A ．8
B ．12
C ．14
D ．15 4.4
(2)x y -的展开式的中间项为（ ）
A ．8-
B ．3
8xy - C ．24 D ．2
2
24x y
5.某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布2
(85,)N σ，已知(122)0.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩小于48分的样本个数大约为（ ） A ．4 B ．6 C ．94 D ．96
6.已知复数(1)()z a a i a R =+-∈，若5z =
，则z
在复平面内对应的点位于（
）
A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
7.参数方程2111x t
y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
t 为参数）所表示的曲线是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8.在极坐标系中，O 为极点，曲线2
cos 1ρθ=与射线3
π
θ=
的交点为A ，则OA =（ ）
A ．2
B
C ．1
2
D ．2
9.设z 是复数z 的共轭复数，若105z z i z ⋅+=，则2z
i
=+（ ） A ．2 B ．4355i + C ．2或4355i + D ．2或3455
i + 10.已知函数32
1()32
f x x x ax b 1=-
-+-的图象在0x =处的切线方程为20x y a --=，若关于x 的方程2()f x m =有四个不同的实数解，则m 的取值范围为（ ）
A ．5
(2,)6-- B ．5[2,)6-- C ．325(,)36-- D ．325[,)36
-- 11.随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)a
P X n n n n
===+，其中a 是常数，则()D aX =（ ） A ．
3881 B ．608729 C ．152243 D ．5227
12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()'()0(0)f x xf x x ->>，则（ ）
A ．6(1)3(2(f f f ->>
B ．3(2(6(1)f f f >>-
C ．6(1)2(3(f f f ->>
D ．2(3(6(1)f f f >>-
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.在直角坐标系xOy 中，若直线l ：x t y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆C ：4cos 5sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（为参数）的左顶点，
则a = ．
14.设复数z 满足(1)3z i i +=-，则z 的虚部为 ． 15.某商品的售价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：
销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是(4)50y a x a =-+，则a = ． 16.若函数2
()(2)x
f x x ax e =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 ． 17.在如图所示的坐标系中，阴影部分由曲线2
y x
=
与矩形围成.从图中的矩形区域内随机依次选取两点，则这两点中至少有一点落在阴影部分的概率为 （取ln 20.7=）.
18.现有3个大人，3个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有 种．（用数字作答）
三、解答题：本大题共
5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 12sin x y α
α
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数），直线l 的参数方程为
12312
x t y t ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2） 已知点P 的极坐标为3(1,
)2
π
，求
11PA PB +的值. 20.某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷.
（1）以频率为概率，若从这100名观众中随机抽取2名进行调查，求这2名观众中体育迷人数X 的分布列； （2）若抽取100人中有女性55人，其中女体育迷有10人，完成答题卡中的列联表并判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系吗？ 附表及公式：
20()P K k ≥
0.050 0.010 0.001 0k
3.841
6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
21.（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()A C B +=，证明：
()()()()c b c a a b a b b c +++=++；
（2）已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则斜边上的高ab
h c
=
.若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体A BCD -中，若三个侧面的面积分别为1S ，2S ，3S ，底面面积为S ，则该四面体的高H 与S ，1S ，2S ，3S 之间的关系是什么？（用S ，1S ，2S ，3S 表示H ） 22.元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种.方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没摇出幸运号则不打折.
（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选择第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
（2）若你朋友看中了一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案. 23.已知函数1
()2ln 1f x x a x x
=--+. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥.
邢台市2017～2020学年高二（下）第三次月考
数学参考答案（理科）
一、选择题
1-5: CACDA 6-10: CBBCA 11、12：BD
二、填空题
13. 4- 14. 2 15. 0.8 16. [2,2]- 17. 0.91 18. 360
三、解答题
19.解：（1）C 的普通方程为22
(2)(1)4x y -+-=， 整理得22
4210x y x y +--+=，
所以曲线C 的极坐标方程为2
4cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
（2）点P 的直角坐标为(0,1)-，设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ， 将直线l 的参数方程代入曲线C
的普通方程中得2
21(2)(11)42
2
t -+-+
-=，
整理得2
(240t t -++=.
所以1
21224t t t t ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩
，且易知10t >，20t >，
由参数t 的几何意义可知，1PA t =，2PB t =， 所以
1212111111PA PB t t t t +=+=
+121212
t t t t +==. 20.解：（1）由图可得，观众为体育迷的概率为
1
4
， X 的可能取值为0，1，2，
239(0)()416P X ===.
1
2133(1)448P X C ==⨯⨯=.
211
(2)()416
P X ===.
故X 的分布为
2
K的观测值
100(30104515)
75254555
k
⨯-⨯
=
⨯⨯⨯
100
3.841
33
=<，
故不能在犯错概率不超过0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系.
21.（1）证明：由sin()
A C B
+=，得tan B=
3
B
π
=.
要证()()()()
c b c a a b a b b c
+++=++，
只需证222
c bc a ab ab ac b bc
+++=+++，
即证222
c a b ac
+-=，
只需证
2221
22
c a b
ac
+-
=，即证
1
cos
2
B=.
而
3
B
π
=，
1
cos
2
B=显然成立，故()(
)()()
c b c a a b a b b c
+++=++.
（2）解：记该四面体A
BCD
-的三条侧棱长分别为a，b，c，
不妨设
1
1
2
S ab
=，
2
1
2
S bc
=，
3
1
2
S ac
=，
由
1
11
33
SH S c
=，
得1
S c
H
S
=，
于是H===，
即H=
22.解：（1）选择方案二比方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运珠为事件A，则
2233
()
44416
P A
⨯⨯
==
⨯⨯
，故所求概率2
3247
1()()1()
16256
P P A P A
=-=-=.
（2）若选择方案一，则需付款100.69.4
-=（万元）.
若选择方案二，设付款金额为X万元，则X可能的取值为6，7，8，10，
2211
(6)
44416
P X
⨯⨯
===
⨯⨯
；
223221221
(7)
444
P X
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
==
⨯⨯
5
16
=；
223223221(8)444P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==
⨯⨯7
16=；
3(10)16
P X ==
. 故X 的分布列为
所以()678161616E X =⨯
+⨯+⨯107.937516
+⨯=（万元）9.4<（万元）
， 所以选择第二种方案更划算.
23.（1）解：()y f x =的定义域为(0,)+∞，
222
2121
'()1a x ax f x x x x
-+=-+=， 令2
()21h x x ax =-+，2
444(1)(1)a a a ∆=-=-+. ①当11a -≤≤时，0∆≤，
所以'()0f x ≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.
②当1a <-或1a >时，0∆>，令'()0f x =，得1x a =2x a = （i ）当1a <-时，120x x <<，
所以'()0f x ≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. （ii ）当1a >时，120x x <<.
若1(0,)x x ∈，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 若12(,)x x x ∈，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 若2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，函数()f x 单调递增.
综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a 和()a +∞
上()f x 单调递增；在(a a 上()f x 单调递减. （2）证明：当1a =时，1
()2ln 1f x x x x
=--
+，由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 又易知(1)1f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤， 要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，
只需证21()(2)f x f x ≥-，即证112()(2)f x f x -≥-， 即证11(2)()20f x f x -+-≤.
构造函数()(2)()2g x f x f x =-+-，(0,1]x ∈.
所以1()22ln(2)2g x x x =---
-1
2ln x x
--，(0,1]x ∈， 22
2121'()2(2)g x x x x x =--+--323
22224(331)4(1)(2)(2)x x x x x x x x --+---==--.
当(0,1]x ∈时，'()0g x ≥，所以函数()g x 在区间(0,1]上单调递增， 则()(1)0g x g ≤=.
所以11(2)()20f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥.。