2025版高考物理二轮学法讲义08-磁场

高考题型1
磁场的基本性质
安培力
1．磁场的产生与叠加
2．安培力的分析与计算
方向
左手定则
大小
直导线
F ＝BIL sin θ，θ＝0时F ＝0，θ＝90°时F ＝BIL
导线为曲线时
等效为ac 直线电流
受力分析
二级结论同向电流相互吸引，反向电流相互排斥
例1
如图，在磁感应强度大小为B 0的匀强磁场中，两长直导线P 和Q 垂直于纸面固定放置，两者之间的
距离为l .在两导线中均通有方向垂直于纸面向里的电流I 时，纸面内与两导线距离均为l 的a 点处的磁感应强度为零，如果让P 中的电流反向、其他条件不变，则a 点处磁感应强度的大小为(
)
A ．0 B.33
B 0C .
2
3
3
B 0D ．2B 0
例2
在光滑桌面上将长为πL 的软导线两端固定，固定点的距离为2L ，导线通有电流I ，处于磁感应强度
大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为(
)
A ．BIL
B ．2BIL
C ．πBIL
D ．2πBIL
例3如图所示，两根相同的竖直悬挂的弹簧上端固定，下端连接一质量为40g 的金属导体棒，部分导体
棒处于边界宽度为d ＝10cm 的有界匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里．导体棒通入4A 的电流后静止时，弹簧伸长量是未通电时的1.5倍．若弹簧始终处于弹性限度内，导体棒一直保持水平，则磁感应强度B 的大小为(取重力加速度g ＝10m/s 2)(
)
A ．0.25T
B ．0.5T
C ．0.75T
D ．0.83T
高考题型2带电粒子在匀强磁场中的运动
分析带电粒子在磁场中运动的方法
基本思路
(1)
画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹．
(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．
(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式．
基本公式q v B ＝m
v 2
r
重要结论
r ＝m v qB
，T ＝2πm qB ，T ＝
2πr v 圆心的确定
(1)轨迹上的入射点和出射点的速度垂线的交点为圆心，如图(a)；
(2)轨迹上入射点速度垂线和两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b)；
(3)沿半径方向距入射点距离等于r 的点，如图(c)．(当r 已知或可算)
半径的确定方法一：由物理公式求．由于Bq v ＝m v 2r ，所以半径r ＝m v
qB
；
方法二：由几何关系求．一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定.
时间的求解
方法一：由圆心角求．t ＝θ
2π·T ；
方法二：由弧长求．t ＝s
v
.
轨迹圆的几个基本特点
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角．(如图甲，θ1＝θ2＝θ3)
(2)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的对应圆心角．(如图甲，α1＝α2)
(3)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图乙．(两侧关于两圆心连线对称)
临界问题
(1)解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系．
(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切.多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；(2)带电粒子电性不确定形成多解；(3)速度不确定形成多解；(4)运动的周期性形成多解.
例4如图所示，直线MN 是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相
同的速率从O 点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t 1、t 3时间均从p 点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN )的粒子经t 2时间从q 点离开磁场，p 是Oq 的中点，则t 1、t 2、t 3之比为(
)
A ．1∶2∶3
B ．2∶3∶4
C ．1∶3∶5
D ．2∶3∶10
例5如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q (q >0)
的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场．若粒子射入磁场时的速度大小为v 1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v 2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则v 1
v 2
为(
)
A.12
B .33
C.32
D ．3
例6
真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁
场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m ，电荷量为e ，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(
)A.3m v
2ae
B.m v ae
C .3m v 4ae
D.3m v 5ae
例7
一匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， ab
为半圆，ac 、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径．一束质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(
)
A.7πm
6qB
B.
5πm 4qB
C .4πm 3qB
D.3πm 2qB
高考题型3
动态圆模型放缩圆
适用条件
粒子速度方向一定，速度大小不同
应用方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件．(轨迹圆的圆心在P 1P 2直线上)
旋转圆
适用条件
粒子的速度大小一定，半径一定，速度方向不同应用方法
将一半径为R ＝m v 0
qB
的圆以入射点为圆心进行旋转，
从而探索出临界条件(轨迹圆的圆心在以入射点P 为
圆心、半径R ＝m v 0
qB 的圆上)
平移圆
适用条件
粒子的速度大小、方向均一定，入射点位置不同应用方法
将半径为R ＝m v 0
qB
的圆进行平移，
(轨迹圆的所有圆心在一条直线上)磁聚焦与磁发散
成立条件：区域圆的半径等于轨迹圆半径R ＝m v qB 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，
该点切线与入射方向平行带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果
轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
例8如图所示，在绝缘板MN上方分布了水平方向的匀强磁场，
方向垂直于纸面向里．距离绝缘板d处有一粒子源S，能够在纸
面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q、质量为m、速率为
v的带正电粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，已知粒
子做圆周运动的半径也恰好为d，则()
A．粒子能打到板上的区域长度为23d B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为πd
v
C．粒子从发射到打到板上的最长时间为πd
v D．同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为πd
v
例9如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是
一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是()
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
例10如图甲，为除尘装置的截面示意图，水平放置的金属极板M、N间距离为d，大量均匀分布的带负电尘埃以相同速度进入两板间，速度方向与板平行，大小为v0，每颗尘埃的质量均为m，带电荷量均为q.如图乙，在原有两极板M、N的截面内，建立平面直角坐标系xOy，y轴垂直于金属板并过板的右端，x轴与两板中轴线共线；在P(2.5d，－2d)处放置开口向上且大小不计的尘埃收集容器．撤去两板间电场，然后只需在y轴右侧的某圆形区域内施加一垂直于纸面向里的匀强磁场，就可以把所有尘埃全部收集到容器中．尘埃颗粒重力、颗粒间作用力、尘埃颗粒对板间电场影响均不计．要把所有尘埃全部收集到容器中，则在圆形区域内所施加匀强磁场的磁感应强度大小应满足什么条件．
针对练习：
1.如图所示，金属棒MN两端由等长的轻质绝缘细线水平悬挂，处于竖直向上的匀强磁
场中，棒中通以由M向N的电流，平衡时两细线与竖直方向夹角均为θ.则()
A．仅棒中的电流变小，θ变小B．仅两细线等长变长，θ变大
C．仅金属棒质量变大，θ变大D．仅磁感应强度变大，θ变小
2．如图所示，AC 是四分之一圆弧，O 为圆心，D 为圆弧AC 的中点，A 、D 、C 处各有一垂直纸面的通电直导线，电流大小相等、方向垂直纸面向里，整个空间还存在一个磁感应强度大小为B 的匀强磁场(未画出)，O 处的磁感应强度恰好为零．如果将D 处电流反向，其他条件都不变，则O 处的磁感应强度大小为(
)
A ．2(2－1)
B B ．(22－1)B
C ．2B
D ．0
3.如图所示，直线边界OM 与ON 之间的夹角为30°，相交于O 点．OM 与ON 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .ON 上有一粒子源S ，S 到O 点的距离为d .某一时刻，粒子源S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子，已知粒子的带电荷量为q ，质量为
m ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，所有粒子的初速度大小均为v ，d ＝
2m v
qB .则从边界OM 射出的粒子在磁场中运动的最短时间为()
A.πm 2qB
B.πm 6qB
C.2πm 3qB
D .πm 3qB
4.如图所示，在半径为R 的圆形区域内(圆心为O )有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面(未画出)．一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由P 点在纸平面内沿不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R ，则下列说法中正确的是(不计离子的重力)(
)
A ．从Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
B ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大
C ．所有离子飞出磁场时的动能一定相等
D ．在磁场中运动时间最长的离子可能经过圆心O 点
5.两个比荷相等的带电粒子a 、b ，以不同的速率v a 、v b 对准圆心O 沿着AO 方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示，不计粒子的重力，则下列说法正确的是(
)
A ．a 粒子带正电，b 粒子带负电
B ．粒子射入磁场时的速率v a ∶v b ＝1∶2
C ．粒子在磁场中的运动时间t a ∶t b ＝2∶1
D ．若将磁感应强度变为原来的3倍，其他条件不变，b 粒子在磁场中运动的时间将变为原来的
34
专题强化练
1.两足够长直导线均折成直角，按图所示方式放置在同一平面内，EO 与O ′Q
在一条直线上，PO ′与OF 在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I ，电流方向如图所示．若一根无限长直导线通过电流I 时，所产生的磁场在距离导线d 处的磁感应强度大小为B ，则图中与导线距离均为d 的M 、N 两点处的磁感应强度大小分别为(
)
A ．
B 、0B ．0、2B
C ．2B 、2B
D ．B 、B
2.在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的等边三角形线框abc ，磁场方向垂直
于线框平面，a 、c 两点间接一直流电源，电流方向如图所示，则(
)
A ．导线ab 受到的安培力大于导线ac 所受的安培力
B ．导线abc 受到的安培力大于导线ac 受到的安培力
C ．线框受到的安培力的合力为零
D ．线框受到的安培力的合力方向垂直于ac 向下
3．如图所示，两段长度均为l 、粗细不同的铜导线a 、b 良好接触，接在某一直流电路中．已知铜导线单位体积内的自由电荷数是一个定值，当在这段特殊的导线ab 周围加一垂直导线的匀强磁场时，下列关于两部分导线所受的安培力及内部自由电荷定向移动所受洛伦兹力的说法中，正确的是(
)
A ．a 导线所受到的安培力大于b 所受到的安培力
B ．a 导线所受到的安培力小于b 所受到的安培力
C ．a 、b 中自由电荷所受洛伦兹力平均值大小相等
D ．a 中自由电荷所受洛伦兹力平均值大于b 中自由电荷所受洛伦兹力平均值
4．某带电粒子以速度v 垂直射入匀强磁场中．粒子做半径为R 的匀速圆周运动，若粒子的速度变为2v .则下列说法正确的是(
)
A ．粒子运动的周期变为原来的
1
2B ．粒子运动的半径仍为R
C ．粒子运动的加速度变为原来的4倍
D ．粒子运动轨迹所包围的磁通量变为原来的4倍
5．图所示装置叫质谱仪，最初是由阿斯顿设计的，是一种测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具．其工作原理如下：一个质量为m 、电荷量为q 的离子，从容器A 下方的小孔S 1飘入电势差为U 的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S 3沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，最后打到照相底片D 上．不计离子重力．则(
)
A ．离子进入磁场时的速率为v ＝
2mU
q B ．离子在磁场中运动的轨道半径为r ＝1B 2qU m C ．离子在磁场中运动的轨道半径为r ＝
1B
2mU q
D ．若a 、b 是两种同位素的原子核，从底片上获知a 、b 在磁场中运动轨迹的直径之比是1.08∶1，则a 、b 的质量之比为1.08∶1
6.如图所示，圆形区域圆心为O ，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN 为圆的直径．从圆上的A 点沿AO 方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M 点离开磁场，乙粒子从
N 点离开磁场，已知∠AON ＝60°，粒子重力不计，以下说法正确的是(
)
A ．甲粒子带负电荷
B ．甲粒子在磁场中做圆周运动的半径比乙小
C ．乙粒子的比荷比甲大
D ．乙粒子在磁场中运动时间比甲长
7.如图所示，在边长为l 的等边三角形abc 所在区域内，存在垂直纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度大小为B .现有一质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子以某一速度从ab 边的中点d 平行于bc 边射入该区域，粒子恰好从c 点射出，粒子所受重力不计．则粒子入射速度的大小为(
)A .
3qBl
2m
B.
3qBl m
C.qBl 2m
D.qBl m
8．笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件．当显示屏翻开时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作，当显示屏合上时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态．如图所示是一块长为a 、宽为b 、高为c 的半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e 的自由电子，元件中通入方向向右的恒定电流．当显示屏合上时，元件处于垂直于上表面且方向向下的匀强磁场中，元件的前、后表面间产生电压U ，以此来控制屏幕的熄灭．则元件的(
)
A ．前表面的电势低于后表面
B ．前、后表面间的电压U 与a 的大小有关
C ．前、后表面间的电压U 与b 的大小有关
D ．前、后表面间的电压U 与c 的大小有关
9.如图所示，半径分别为R 、2R 的两个同心圆，圆心为O ，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场．一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P 点沿PO
方向以速度v 1射入磁场，其运动轨迹所对的圆心角为120°.若将该带电粒子从P 点射入的速度大小变为v 2，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则v 2
v 1
最大为(
)A.3
B .34
C.32
D.334
10.如图所示，在0≤x ≤3a 的区域内存在与xOy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B .在t ＝0时刻，从原点O 发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y 轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y 轴正方向发射的粒子在t ＝t 0时刻刚好从磁场右边界上P (3a ，3a )点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是(
)
A ．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B ．粒子的发射速度大小为4πa t 0
C ．带电粒子的比荷为
4π3Bt 0
D ．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t 0
11．如图所示直角坐标系xOy 中，y 轴上P (0，a )点处有一个粒子源，可沿－x 到＋x 方向向上180°范围内发射带
正电的粒子，粒子的比荷均为q
m ＝5.0×106C/kg ，速度大小介于0～3.0×105m/s.MN 是一块置于x 轴上的粒子收
集薄金属板，各点坐标如图，其中a ＝0.3m ．可以通过施加电场或磁场的方式进行粒子的收集，不计粒子间的相互作用．
(1)若平面内存在电场，且P 和MN 间电势差U ＝7.0×103V ，求到达板上的粒子的速度最大值；(2)若在平面内加一垂直于纸面向外的足够大匀强磁场，磁感应
强度为B ＝0.1T ，求能够被板MN 收集到的粒子的最小速度；(3)在第(2)问的条件下，求能够被板MN 收集到的粒子的最长运动时间．
带电粒子在复合场中的运动
高考题型1
带电粒子在组合场中的运动
1．正确区分“电偏转”和“磁偏转”
垂直进入磁场(磁偏转)
垂直进入电场(电偏转)
情景图
受力F B ＝q v 0B ，F B 大小不变，方向总指向
圆心，方向变化，F B 为变力
F E ＝qE ，F E 大小、方向不变，为恒力运动规律
匀速圆周运动：r ＝m v 0Bq
，T ＝
2πm
Bq 类平抛运动：v x ＝v 0，v y ＝Eq m t ，x ＝v 0t ，y ＝Eq
2m
t 2
例1如图所示，在xOy平面的第二象限有一匀强电场，电场强度大小E可调，方向平行于y轴．第三象限有一垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.电子源S在xOy平面内向各个方向发射速度大小不同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e.x轴上的P点与S点的连线垂直于x轴，S点与P点的距离为d，不考虑电子间相互作用．
(1)求从S发出的电子能直接到达P点的最小速度v1；
(2)若通过P点的电子在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动，求场强的
大小E0；
(3)某电子与SP成60°角从S射出并经过P点，调整场强的大小E，使电
子最终能垂直打在y轴上，求P点到O点的距离l与场强大小E的关系．
例2如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场．一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞．已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力．
(1)求粒子发射位置到P点的距离；
(2)求磁感应强度大小的取值范围；
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的
最近距离．
高考题型2带电粒子在叠加场中的运动
1．三种典型情况
(1)若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝q v B 时，重力场与磁场叠加满足mg＝q v B时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时．
(2)若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝q v B的方向与速度v垂直．
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即
.
q v B＝m v2
r
2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．例3如图所示，直角坐标系xOy处于竖直平面内，x轴沿水平方向，在y轴右侧存在电场强度大小为E1、方向水平向左的匀强电场，在y轴左侧存在匀强电场和匀强磁场，电场强度为E2，方向竖直向上，匀强磁场的磁感应强度B＝6T，方向垂直于纸面向外，在坐标为(0.4m,0.4m)的A点处将一带正电小球由静止释放，小球沿直线AO经原点O第一次穿过y轴．已知E1＝E2＝4.5N/C，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)小球的比荷及小球第一次穿过y轴时的速度大小；
(2)小球第二次穿过y轴时的纵坐标；
(3)小球从O点到第三次穿过y轴所经历的时间．
针对练习：
1.如图所示，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°角的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B.现从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R.该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，第五次经过直线MN时恰好又通过O点．不计粒子的重力．
(1)画出粒子在磁场和电场中运动轨迹的草图并求出粒子的比荷大小；
(2)求出电场强度E的大小和粒子第五次经过直线MN上O点时的速度大
小；
(3)求该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间t.
2．如图甲所示，在坐标系中平行于x轴放置一对平行金属板，板长为4L，两板到x轴的距离均为L，板右端靠近y轴，在两板间加如图乙所示的交变电压．在x轴上x＝－4L处，沿x轴正方向源源不断地射入初速度为v0、质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，这些粒子在两板间运动交变电压的一个周期后，恰能都离开电场．为使这些粒子汇聚于一点，需紧靠y轴右侧加垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁场区域的中心在x 轴上．不计带电粒子之间的相互作用力，求：
(1)两板间所加交变电压的周期T；
(2)两板间所加交变电压的绝对值U0；
(3)带电粒子所有可能汇聚点所在曲线的方程．
专题强化练
1.如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；第三、四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在y轴的P点有一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，具有沿x轴正方向的初速度v0(大小未知)．在x轴上有一点D，
已知OD＝d，OP＝h.带电粒子重力可忽略，求：
(1)若该粒子第1次经过x轴时恰好经过D点，初速度v0多大；
(2)若该粒子第3次经过x轴时恰好经过D点，初速度v0′多大．
2．如图所示，平面直角坐标xOy的第一象限内存在着有界匀强磁场和匀强电场，直线y＝d与y轴相交于P 点，磁场分布在x轴与直线y＝d之间，方向垂直纸面向里；电场分布在直线y＝d上方，电场强度为E，方向竖直向下，质量为m、电荷量为q的带正电荷的粒子从坐标原点O垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v0，方向与x轴正方向成60°，并恰好从P点离开磁场．(不计粒子的重力)
(1)求磁场的磁感应强度大小B；
(2)若将磁感应强度大小变为B
2，其他条件不变，求：
①粒子能达到的纵坐标的最大值y m；
②粒子在第一象限内运动的时间t.。