高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编附答案解析

【最新】数学《空间向量与立体几何》高考复习知识点
一、选择题
1．三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若
//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的
几何体的体积为（ ） A ．
39
B ．
33
C ．
13
D ．3
【答案】B 【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC - ∵ABC 为正三角形，2AB = ∴132232ABC S ∆=
⨯⨯⨯= ∵CD ⊥底面ABC ，//AE CD ，2CD AE == ∴四边形AEDC 为矩形，则F 为EC 与AD 的中点 ∴三棱锥F ABC -的高为
1
12
CD = ∴三棱锥F ABC -的体积为13
313V =⨯⨯=
故选B.
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．
27
3
B ．
276
C ．
274
D ．
272
【答案】D
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
【详解】
几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333
，，所以体积
为
1127
=33333=
322
V⨯⨯⨯⨯，选D.
【点睛】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
3．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底
直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为3
3 2
厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移
3
2
厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌
鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（）
A．2颗B．3颗C．4颗D．5颗【答案】C
【解析】
【分析】
利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可.
【详解】
如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ====
所以60A ∠=︒，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：
()22319133MN CN IM CN IM ππ⋅⋅++⋅= 空瓶的体积为：(
)
22
2
1
3
LN CN EL CN EL EL KL ππ⋅++⋅+⋅⋅
633363993888
πππ
=
+=
()99329783,491913π
π
=∈ 所以至少需要4颗石子 故选：C 【点睛】
本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.
4．在以下命题中：
①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r
共面；
②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r
，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面
④若a r ，b r
是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空
间的一个基底
⑤若{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
，
c r
共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r
，b r
共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；
④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r
构成的平面共面，则{}
,,a b c r r r 不
能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
不构成空间的一个基底， 设()()(
)1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r
共面，又因{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{
}
,,a b b c c a +++r r r r r r
能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
5．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】
根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】
由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：
在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β， ∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确. 故选：D.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
6．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设AE BF a ==，1
3
B EBF EBF V S B B '-'=
⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】
设AE BF a ==，则()()2
3119333288B EBF
a a V a a '-+-⎡⎤
=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当3a a =-，即3
2
a =
时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=
352AF =2292
A F AA AF ''=+=，132
22
EF AC =
=
， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，
由余弦定理得2
2
2
81945
2424cos 9322222
A F EF A E A FE A F EF +-
''+-'∠=
=='⋅⋅⨯ ∴4
A FE π
'∠=．
方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∴3,3,32A F ⎛⎫
'=-- ⎪⎝⎭
u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，
所以9922cos ,92322
A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，
所以异面直线A F '与AC 所成的角为4
π． 故选：C 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
7．如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，,E F 分别为111,B C C D 的中点，点P 是底面
1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠ 的最大值是( )
A 2
B ．2
C ．22
D ．32【答案】C 【解析】
分析：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =P PM ，从而A 1P=C 1M ，由此能求出tan ∠APA 1的最大值．
详解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，
设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，
∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO =
P PM ，∴A 1P=C 1M=2
4AC =
， ∴tan ∠APA 1
=1
1AA A P
=2=22． ∴tan ∠APA 1的最大值是22． 故选D ．
点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．
8．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒
∠=∠=，则异
面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．
33
B ．
66
C 3
D ．
36
【答案】B 【解析】 【分析】
设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解
出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v
，即可得所
求角的余弦值. 【详解】
设棱长为1，1AA c
=u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
由题意得：
1
2
a b⋅=
v
v
，
1
2
b c⋅=
v v
，
1
2
a c⋅=
v v
1
AB a c
=+
u u u v v v
Q，
11
BC BC BB b a c
=+=-+
u u u u v u u u v u u u v v v v
()()22
11
11
111
22
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c
∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=
u u u v u u u u v v v v
v v v v v v v v v v v v
又()222
1
23
AB a c a a c c
=+=+⋅+=
u u u v v v v v v v
()2222
1
2222
BC b a c b a c a b b c a c
=-+=++-⋅+⋅-⋅=
u u u u v v v v v
v v v v v v v v
11
11
11
6
cos,
6
AB BC
AB BC
AB BC
⋅
∴<>===
⋅
u u u v u u u u v
u u u v u u u u v
u u u v u u u u v
即异面直线1
AB与
1
BC所成角的余弦值为：6
6
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
9．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．
64
3
πB．83
16
π
πC．28πD．82
16
π
π+
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l ππππππ=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
10．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，4AB BC BD ===，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点，则直线EF 与平面ACD 所成角的余弦值（ ） A ．
1
3
B ．
33
C ．
22
3
D ．
63
【答案】C 【解析】 【分析】
因为AB ，BC ，BD 两两垂直，以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直
角坐标系，求出向量EF u u u r 与平面ACD 的法向量n r ，再根据cos ,||||
EF n
EF n EF n ⋅〈〉=u u u r r
u u u r r u u u r r ，即可得出答案. 【详解】
因为在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系， 又因为4AB BC BD ===；
()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)A B D C ，又因为E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点
所以(0,0,2),(2,2,0)E F
故()2,2,2EF =-u u u r ，(4,4,0)AD =-u u u r ，(4,0,4)AC =-u u u r
.
设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u v v 令1,x = 则1y z ==；
所以(1,1,1)n =r
1
cos ,3
||||332EF n EF n EF n ⋅〈〉===⨯u u u r r
u u u r r u u u r r 设直线EF 与平面ACD 所成角为θ ，则sin θ= cos ,EF n 〈〉u u u r r
所以222
cos 1sin 3
θθ=-= 故选：C 【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.
11．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ） A ．36π B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解． 【详解】 解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC ==， 由1132322732DE ⨯⨯⨯⨯=，解得9DE =， 则2
1AE EF DE
==． ∴球O 的直径为10DE EF +=，
则球O 的半径为11052
⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=．
故选C ．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A ．若，与所成的角相等，则
B ．若
，，则 C ．若
，，则 D ．若
，，则 【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则
或，相交或，异面；A 错. 若，
，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
13．四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，下列说法错误的是（ ）
A ．MN 与PD 是异面直线
B ．//MN 平面PB
C C ．//MN AC
D ．MN PB ⊥
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A 、B 、C 的正误，由线线垂直可判断选项D ．
【详解】
由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等， M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确；
取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，
四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，
M Q 、H 分别为PA 、PB 的中点，则//MH AB 且12
MH AB =， N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形， //MN CH ∴，且MN ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正确；
若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ⋂=，C 选项错误； PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.
故选：C ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题.
14．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．26【答案】B
【解析】 解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ，
其中面积最大的面为：1232232
PAC S V =⨯=
本题选择B 选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
15．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）
A 29
B ．35
C 41
D ．213【答案】C
【解析】
【分析】 由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离.
【详解】
由长方体的侧面展开图可得：
（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()22461101++=()2241661++=()2
246165++=
（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为
=
=
= （3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B
的距离可能为
=
=
= 综上所述，沿着长方体的表面从
A 点到
B .
故选：C .
【点睛】
本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（
） A ．44
B
C ．
44 D ．11
【答案】B
【解析】
【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值．
【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B
，
()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r ， 设异面直线AE 与1A B 所成角为θ，
则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为：
11cos 22AE A B AE A B
θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r ，2l 的方向向量为b r ，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b
⋅⋅r r r r .
17．在空间中,下列命题为真命题的是( ).
A ．对于直线,,a b c ,若,a c b c ⊥⊥则//a b
B ．对任意直线a ,在平面α中必存在一条直线b 与之垂直
C ．若直线a ,b 与平面α所成的角相等,则a ∥b
D ．若直线a ,b 与平面α所成的角互余,则a ⊥b
【答案】B
【解析】
【分析】
通过空间直线与直线的位置关系判断选项的正误即可。

【详解】
若,a c b c ⊥⊥则a 与b 可能平行，相交，异面，所以，A 假；
若直线在平面内,则在平面内必可作出其垂线，若直线在平面外，作出直线在平面内的射影，在平面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线，B 真；
设当a 、b 与平面α所成的角都为45°，则//a b ，a b ⊥r r
都有可能，C 、D 均为假，故选：B 。

【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中等题。

18．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为( )
A ．6
B ．5
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】 由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P ABCD -：
其中，四边形ABCD 为边长为1的正方形，PE ⊥面ABCD ，且1AE =，1PE =. ∴222AP AE PE =
+=2BE AB AE =+=，222DE AD AE =+= ∴225CE BE BC =+=225PB BE PE =+223PD PE DE =+=∴226PC CE PE =+=∴最长棱为PC
故选A.
点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.
19．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA u u u v ，OB uuu v ，OC u u u v 表示向量OG u u u v
是（ ） A ．2233OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u v B ．122233
OG OA OB OC u u u v u u u v u u u v u u u v =++
C ．111633OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u v
D ．112633OG OA OB OC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给的图形和一组基底，从起点O 出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表
示，就可以得到结论．
【详解】
2OG OM MG OM MN 3
=+=+u u u r u u u u r u u Q u u r u u u u r u u u u r , ()()
2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+++=++-=++ 111OG OA OB OC 633
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴=++ , 故选：C ．
【点睛】 本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．
20．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l m
B ．若//m a ，则//αβ
C ．若m α⊥，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，则//l m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.
【详解】
A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.
B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.
C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确.
【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.。