新编数学诗词五首

新编数学诗词五首
武汉市第48中学马芳鑫 熟读数诗十三首,会做更多数学题, 字酬句酌其中理,高考过百不用愁. 同学们加加油,胜利的曙光在前头!
一集合与逻辑
一看代表元素, {(x,y)| p(x,y)} {x| p(x)} 是点还是数; 点(x,y) 数x. 二看能否化简,
三看元素特征,
确定互异无. 确定性, 互异性, 无序性 四看数形结合, 数轴与维恩; 数轴, 维恩图 五看有否空集,
六看参数分类滚轴求. 子集交并补, 逻辑或且非. 四种命题矩, 左充右必要. 反证三步曲.
二 不等式
不等式可运算，
等价关系定反可．a-b>0⇔a>b; a>b ;a b <⇔a>b .c b c a ±>±⇔ 可＋可－可乘也可除，a>b,c<0;bc ac <⇒ a>b,c<0⇒
.c
b c a < 同向可相加，a>b,c>d ;d b c a +>+⇒ a<b,c<d .d b c a +<+⇒ 异向可相减，a>b,c,<d ;d b c a ->-⇒ a<b,c>d .d c c a -<-⇒ 同号可倒要变号．ab>0,a>b .11b a <⇒
a<b .11b
a >⇒ 相乘相除乘方与a>b>0,c>d>0;bd ac >⇒ a>b>0,0<c<d ;d
b
c a >⇒ 不是正数不能算．a>b>0b a 2
2
>⇒; a>b>0.b a >⇒ 微笑微笑均不等.a>0,b>0 ⇒
,2
ab b
a ≥+当且仅当a=
b 时，取“=”. 一链：a>0,b>0⇒
2
2
22
2
b a
b
a a
b b a ab +≤+≤≤+,当且仅当a=b 时，取“=”
二链：a,b R ∈,ab b a b
a 42
1
21)(22
2•≥•≥++,当且仅当a=b 时，取“=”. 三角链：)(2b a b a b a b a +≤+<+<-
还有黄河一绝链: |a-b|||||||b a b a +≤±≤
解不等,等价变(换); 分式化整式;
0)(0)()(0)
()
(≠≥⇔≥x g x g x f x g x f 且 分母不为零,此处要记清; g(x)0≠ 各项系数正, 数轴上标根，
穿针又引线,(从右上方开始). 看号看图得解集. 遇绝对，
零点分段或平方.|x-2|+|x-4|<5(用零点分段法)|x-2|<|x-4|⇔)2(2
-x <)
4(2
-x
答案要用集合记. 这样才会不扣 分.
三 函数 定值对单周，指对幂函数; λ区与对勾, 图象也要熟. 一次绝对值，图象V 字型， 两个绝对值，和U 差Z 图， 最小与最大，两点距离数.
同号想周期,异号想对称,
相反倒数加减1,交叉只是半周期. 点点轴轴差二倍,点轴对称四分一. 波峰波谷轴对称,零点跳跃是中心.
相等就是轴对称；相反就是点对称. 一个函数自对称，取均值； 两个函数互对称，负偏差。

图象变换有三种:
平移按口向,翻折右上方,
上下伸缩成正比；左右伸缩恰相反.
求根近似二分法，先取中点计算它； 中值为零就是根，否则异号求解答； 如此重复得区间，区间长度小精度， 任意一点可为根，常用端点作根答。

（2011.1.2作）
恒成立：a
大大，a
小小. a>f(x)
max
)
(x f a >⇔,
a<f(x)<⇔a min
)
(x f .
有解：a 大小，a 小大. a>f(x)有解
.)(min
x f a >⇔a<f(x)有解
max
)
(x f a <⇔
注释：
定: 定义域,列出所有使式子成立的条件.列清全部求.
① 例1：求函数y=)12ln(-x 的定义域.
由2x-1>0,ln(2x-1)0≥⇒2x-1>0,2x-11≥⇒_________,x ∈______
② 例2：已知函数f(x)的定义域是[2，4]，则函数f(2x-1)的定义域是____; ③ 例3：已知函数f(2x-1)的定义域是[2，4]，则函数f(x)的定义域是____
值: 值域,分、图、换、配、反 、⊿ 、不、单、导. 分析法,图象法,换元法,配方法,反函数的定义域就是原函数的值域,
判别式法,均值不等式法,单调性法,用导数求函数的最值. 对: 对称.奇函数,偶函数. 相等就是奇函数，相反就是偶函数. ①定义域关于原点对称
②x ∀：f(-x)=f(x)⇔ y=f(x)是偶函数⇔关于y 轴对称； :x ∀ f(-x)=－f (x) )⇔ y=f(x)是奇函数⇔关于原点对称.
例4：函数y=f(x)对称轴是x=2,那么函数y=f(2x-1)的对称轴是_______
轴对称. 中心对称.
单: 单调性.
定义:同号得增,异号得减.
1x < 2x , )()(21x f x f <⇒f(x)是该区间上的增函数；
1x >2x , )()(21x f x f <⇒f(x)是该区间上的减函数.
和函数:增+增得增,减+减得减.
f(x)是增函数，g(x)是增函数⇒f(x)+g(x)也是增函 f(x)是减函数，g(x)是减函数⇒f(x)+g(x)也是减函数.
例5：f(x)=lnx 是（0，+)∞上的增函数，g(x)=x 是（0，+)∞ 上的增函数
⇒f(x)+g(x)=lnx+x 是（0，+)∞上的______函数.
复合函数:同号得增,异号得减.
例6：函数f(u)=lnu 是增函数，函数u=g(x)=-2x+1是减函数⇒函数
f(g(x))=ln(-2x+1)是减函数； 例7：求函数y=sin(-2x+)6π
的单调递增区间.
u=-2x+6
π
为减函数，则对应函数y=sinu 的减区间.
由___________.,22
31222解得Z k k x k ∈+≤+-≤+ππππ
负：函数y=f(x)与函数y=f( -x)的单调性相反； 函数y=f(x)与函数y= - f(x)的单调性相反； 函数y=f(x)与函数y= - f (-x)的单调性相同. 函数y=f(x)与函数y=
)
(1
x f (f(x)>0，或f(x)<0)的单调性相反. 例8：已知函数y=lnx,(x>1)是（1，+)∞上的增函数，则函数y=
x
ln 1
在（0，+)∞上是减函数.
导:斜导正增负减,反之就是非负. k =
()x f '
函数f(x)是增函数 ⇒f '(x)0≥
反:反函数与原函函数具有相同的单调性.
周: 周期.同号想周期,点点轴轴差二倍,点轴对称四分一. 反： 反函数,求反函数的步骤:一求值域,二反解,三对调. 对 ： 对数运数,对数函数的图象及其性质.
①定义：指数化对数，底数正数不为1， a>0,且a ≠1 底不变，指数变对数.
N a
x
=⇔ x =
N a
log
②性质：指数对数等于已, N
a
N a =log 底的对数等于1， 1log =a a
1的对数等于0, 01log =a
0的对数无意义.
)2(log -a
,0log a
无意义.
若是要换底还要除以底 a
b b
c c a log log log =.
.1log log log ,
1log log ==a c b a b c
b
a
b
a
③运算：乘方开方变乘除
M
n a
n
a
M
log log =M n
M a n
a
log log
1
=
乘除变加减, N M MN a
a
a
log log log )(+=, N M N M
a
a a log log log
-=.
.log log M m
n
M a
n
a m
=
④图象：图象位于轴右边,
定义（0，+∞）,值域充满整个R ， 所有图象过（1，0）,
大于1，上升型，小于就是下降型， 底数互倒轴对称，(x 轴)，
底数越大越靠近(轴)
指： 幂运算,指数函数的图象及其性质. ①定义：指子分负要根母(a>0)
)
1(10
≠=a a
a
a
n
n
1
=
-，n
m
n
m
a
a
=
,n
m
n
m a
a
1
=
-
②运算：同底数的幂相乘，底数不变把指数相加,
•
a m a
n
=a
n
m +
幂的乘方，底数不变把指数相乘 )
(a m
n
=a mn
积的乘方各自乘方
b
a a
b n
n
n
•=)(
③图象：图象位于轴上方， 所有图象过（0，1）， 大于1，上升型小于就是下降型.
底数互倒轴对称，y 轴底数越大越靠近（轴） 导 ： 求导前移再减1,和的导数导数和.
对勾 :对勾函数y=ax+x
b
(ab>0)
同号是对勾,极值点a
b
±
. 极值是:±2ab 异号是飘柔， λ区：y= d cx b ax ++ 值域{y|y ≠c a } .中心:横解方程,纵取比.( - c d ,c
a
)
对称与周期
同号想周期：f(x +a ) = f (x )⇔T = a. f(x-a)= f(x+ b)⇔T=b+a(相减) 异号想对称： 已知函数y=f(x),:x ∀都有
①f( a-x) = f (a + x )⇔ y=f(x)的图象关于直线x= a 对称.
② f(a-x) = f(b+x) ⇔ y=f(x)的图象关于直线x=2
b
a +对称；
③ f(a+x)= - f(a-x) ⇔ y=f(x)的图象关于点（a,0）对称；
④f(a-x)= - f(b+x) ⇔ y=f(x) 的图象关于点（)0,2b
a +对称. 相反倒数+ －1, ①f ( x+ a) = － f ( x ), ②f ( x + a )=
)
(1x f
例9：函数y =f(x),x ∀,都有f(x+2)= - f(x),则这个函数的周期为_______ 交叉只是半周期.
③f(x+ a)=
1)(1
)(-+x f x f
④f(x + a)=
)
(1)
(1x f x f +-
⇒ T= 2a.
点点轴轴差二倍: ①(a,0),(b,0)⇒T=2|a – b|; 例10：函数y = f(x)的图象关于点（1，0），（3，0）对称，则这个函数的
周期是______
② x=a, x=b ⇒ T=2|a-b|
例11：函数y=f(x)的图象关于直线x=1,x=4对称，则这个函数的周期为
__________.
点轴对轴四分一: ③(a,0),x= b ⇒ T =4|a-b|.
例12：已知函数y=f(x)的图象关于点（2，0）对称且关于直线x=3对称，
则这个函数的周期是_______
波峰波谷轴对称: ①y=sinx,x .R ∈对称轴x=Z k k ∈+,2
ππ
;
对称中心( k )0,π,k .Z ∈
例13：函数y=3sin(2x-)3
π
+1,x R ∈的对称轴方程是_______________;
对称中心是____________________.
②y=cosx,x .R ∈ 对称轴：x=k .,Z k ∈π 对称中心：（
.),0,2
Z k k ∈+ππ
零点跳跃是中心. ③y=tanx,(x ≠2π+k π,k .)Z ∈对称中心( k •)0,2
π
,k .Z ∈ 例14：函数y=tan(x+
4π
)图象的一个对称中心可以是（ ） A.(0,0) B.(4π,0) C.()0,2π
D ()0,π
两个函数互对称，负偏差:⑴函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=2
a
b - 对称.
例15函数y=ln(2+x)与函数y=ln(4-x)的图象关于直线x=____对称; 函数y=2
2
-x 与函数y=2
2x
-的图象关于直线x=_______对称；
函数y=)2(2
1-x 与函数y=)4(2
1x -的图象关于直线x=____对称. ⑵ 函数y=f(x+a)与函数y= - f(b-x)的图象关于点（
)0,2
a
b -
例16：函数y=ln(2+x)与函数y= - ln(4-x)关于点（ ， ）对称. 图象变换有三种:
①平移按口向: 口:按口诀平移,左+右- ,上+ 下 - .
例17：将函数y=f(x)的图象向左平移3个单位便得到函数y=f(x+3)
的图象；再把后者图象上的所有的点向下平移2个单位就可得到函数 y=f(x+3)-2的图象；再把后者图象上的所有的点的横坐标伸长到的2倍
得到函数y=f(2
1
x+3)-2的图象；最后把后者图象上的所有的点的纵坐标
伸长到原来的3倍就得到函数y=3f(2
1
x+3)-2的图象.也可以有其它顺序.
②向:按向量代入平移.
函数y=f(x)的图象按向量（a,b ）平移得到的图象的解析式为
)(11
x y
f =，则有b y a x y x +=+=1
1,
翻折右上方:自绝留右去左朝左折,函绝上方不动朝上折.
将y=f(x)的图象y 轴右边部分留下，将左边的去掉，再将右边部分朝左翻，就可得到函数y=f(|x|)的图象.
将函数y=f(x)图象在x 轴上方的不动，下方的往上翻，就得到函数y=|f(x)|的图象.
③伸缩恰相反:（0>ω）大于1是缩短,小于1变伸长,到原来的ϖ
1
倍.
当ω>1时，将函数y=f(x)的图象上的所有的点的横坐标缩短到原来的ω1
倍，就可得到函数y=f(ωx)的图象.
当ω<1时，将函数y= f(x)的图象上的所有的点的横坐标伸长到原来的ω
1倍 就可得到函数y=f(ωx)的图象.
四 三角函数
一角二看三公式四图象. 一角: 终轴象线垂区分
终:所有与α终边相同的角连同角α在内组成集{β|β=α+2k },Z k ∈π 轴:终边在坐标轴上的角
终边在x 轴上的角{},|Z k k ∈=παα； 终边在y 轴上的角{},2
|Z k k ∈+=
ππ
αα；
终边在轴上的角{},2
0|Z k k ∈•
+=π
αα
象:象限角 第一象限的角{α|2k },2
20Z k k ∈+
<<+π
παπ;
第二象限的角{α|2k },220Z k k ∈+
<<+π
παπ 第三象限的角{.},2
322|Z k k k ∈+<<+π
παππα
第四象限的角{.},22232|Z k k k ∈+<<+ππαπ
πα
线:终边和角α的终边在同一直线上的角.{},|Z k k ∈+=παββ 垂:终边和角α的终边垂直的角. {},2
|Z k k ∈++=ππ
αββ
区: 区间角0],0[παπα∈⇔≤≤
分:等分角.已知角α是第二象限的角，则3
α
是_________象限的角. 二看(定义): 把任意角看成”锐角”的三角函数,正对余邻,弦斜切直. 三公式.熟记五组公式
?＂１＂是什么？
１是平方和， 1=ααcos sin 2
2
+ １是特殊值． Sin
2π=cos0=tan 4
π １是单位模，（cosx,sinx ）1|)sin ,(cos |=⇒x x ,
1可做系数，1可做分母，１是三点共线．
去负脱周化锐角,认识圈内角， 再用奇变偶不变，符号看象限．
ＳＣ＋ ＣＳ，两角和与差；sinxcosy ±cosxsiny=sin(x ±y) ＣＣ－ ＳＳ，符号要交叉．cosxcosy-sinxsiny=cos(x+y); tan(x )y ±=.
tan tan 1tan tan y x y
x ±
倍角化半角，
正弦２交叉， sin2x= 2sinx cos x. 余弦平方差， cos2x = x x x x sin cos sin cos
2
222
2112-=-=-
正切分母差． tan2x =x
x tan 2
1tan 2-
半角化倍角，
正减又余和，2cos 12sin
2
αα
-=
; .2cos 12cos 2αα
+=
正切全是正，tan 2α
=α
αcos 1sin +=ααsin cos 1-.
正弦是偏差．
四图象 :正弦李宁 余弦拿碗来; 正切是漂柔，关键在五点,
起高拐低终，一切对应来. 如画图象,求单调区间,取值范围,求值,求初相等等.
变换周振相,别忘角结名.
五 向 量
向量一二三四五，零单反共垂相模； + —数内投夹坐，平定自重距×V , 内积公式消结模. 一：平面向量基本定理:如果e e
21,是同一平面内两个不共线向量,那么对于这个
平面内的任意一个向量,a
有且只有一对实数 μλ, ,使e e a 21μλ+=
二：两个充要条件：1.两个向量共线的充要条件： 向量b
与非零向量 a 共线， 当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b = λ a
即:a ∥b ⇔b = λ a
⇔01
22
1=-y x y x
2.两个向量垂直的充要条件:a ⊥b
⇔0=•b a 02
1
2
1
=+⇔
y
y x x
三：三种表示方法，几何，代数，坐标法．用向量解题的三种方法:向几,向代,
向坐.
四：指向量的四种运算: 加法,减法,实数与向量的积,数积. 五：五种题型,长度,夹角,垂直,平行,平移.
零：零向量，长度为零，方向任意，垂直平行于任何向量．0 ，0|0|=
，
.0)(
=-+a a
单：单位向量，模长为１．（cosx,sinx ）,e
,|
|n n
反：相反向量 a 的相反向量是 -a ，零向量的相反向量仍是零，—（—a ）=a
去添负号要反向
BA AB -=BA AB =-.
共：共线向量 平行交叉差为零. a ∥b ⇔b = λ a
⇔01
2
2
1
=-y
x y x 垂：垂直向量．垂直平行和为零. a ⊥b
⇔0=•b a 02
1
2
1
=+⇔
y
y x x
相：相等向量．(.,),(),2
1
2
1
221
1y y x x y x y x ==⇔
=
模：向量的长度．|y
x a 2
2
|+
=
＋：向量的加法法则：平行四边形法则，三角形法则
运算律：a + b =b +a ；
（a +c b +)=a +（b + c
） .00a a a
=+=+ C A C B B A =+ （和顺） －：向量的减法法则：A B B O A O
=-（差反）减指被
数：数乘 （，a a a ηληλ+=+),)b a b a （ λλλ+=+)()(a a a
ηλληλη== ； 内：数量积（内积） 定义（单•单）><=•b a b a b a
,cos |||| ;
a 、
b 同向时，a •b =||a ||b ； a ，b 反向时，a •b
= - ||a ||b . <>b a ,=2
π
时，a •b =0.
b a =时，a •b =|
|2a a •b
≤||a ||b ；
投：向量a 在向量b 方向上的投影是|a
|cos<>b a ,；
向量a 在单位向量e 方向上的投影是e a
•
夹：向量的夹角，向量夹角余弦值，数积除模积，模积勾股积
cos<|
|||,b a b a b a •>==y x y x y y x x 2
21122222
121+•++
坐：向量的坐标表示，固定向量终点标，自由向量终减起。

),(y x a =
，),(y y x x A
B
A B B A --=
向量的坐标运算：加对应加，减对应减，乘对应乘；数积等于平行和。

);
,(),(),(21212211y y x x y x y x ±±=±()1111,),(y x y x λλλ=
2121y y x x b a +=•
平：按向量a
平移
定：定比分点，起终分→→，有分就照写，无分就折分；λ内正外负，Z ，=λ区函数，上下1+λ，坐标、向量都适用，三点共线和为1.
自：自由向量，方向相同长度相等的向量都是同一向量. 重：三角形的重心3
x x x x C
B
A
G
++=
，3
y
y
y
y C
B
A
G
+
+
=
;
距：平面内两点间的距离公式|AB|=)()(212122
y y x x --+
⨯：正弦定理 .sin 2;sin sin ;sin sin sin A R a B A
b a
C c
B b
A a
====
V ：余弦定理B ac A bc c a b c b a cos 2;cos 2222222-+=-+=
CosA=.22
22bc a
c b -+
数积
公式：单·单，单多，多多，平方差公式，完全平方公式． 单•多：c a b a c b a •+•=+•)(；
多•多：（a ;))(n b m b n a m a n m b a •+•+•+•=++ 平方差公式：（;)()2
2b a b a b a -=-•+
完全平方公式：（b a b a b a 2222)(+±=±
消：消去律对数积不成立.a c •=c b •)(⨯=⇒b a 结：结合律对数积不成立．.),()(无定义理由是数a c b a c b a •••≠•• 模：a a 22||=，||a =a 2。