2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第二讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型)
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创新方案系列丛书
高考专题辅导与测试·数学
第一页，编辑于星期五：十点 三分。
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第二讲 三角恒等变换与解三角形（
选择、填空题型）
高考专题辅导与测试·数学
第二页，编辑于星期五：十点 三分。
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1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设 α∈0，π2，β∈0，π2，且 tan α
＝1＋cossinβ β，则(
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第二十一页，编辑于星期五：十点 三分。
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解三角形问题的方法 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的 对角”应采用正弦定理； (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的 三边”应采用余弦定理．
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第二十二页，编辑于星期五：十点 三分。
[自主解答] 1.由 tanα＋4π＝t1a－n αta＋n α1＝12，得 tan α＝－13.
又－π2<α<0，所以
sin
α＝－
10 10 .
故2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝2si2n2αsisninα＋α＋cocsosαα＝2
2sin
α＝－2 5
5 .
2．由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antAan＋AttaannBB＝－1，
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第三页，编辑于星期五：十点 三分。
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2．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
是 a，b，c.若 c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC 的面积是(
)
A．3
B.92 3
C.32 3
D．3 3
解析：选 C 由 c2＝(a－b)2＋6 可得 a2＋b2－c2＝2ab－6 ①.
A．5
B. 5
C．2
D．1
解析：选 B 由题意可得12AB·BC·sin B＝12，又 AB＝1，BC＝ 2，
所以 sin B＝ 22，所以 B＝45°或 B＝135°.当 B＝45°时，由余弦定理 可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1，此时 AC＝AB＝1，BC ＝ 2，易得 A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以 B ＝135°.由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝ 5.
)
A．3α－β＝π2
B．2α－β＝π2
C．3α＋β＝π2
D．2α＋β＝π2
解析：选 B 由条件得csoins αα＝1＋cossinβ β，即 sin αcos β＝cos α(1 ＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sinπ2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2， 所以 α－β＝π2－α，所以 2α－β＝π2，故选 B.
2．依题意得sina A＝sinb B，sin B＝bsian A＝100s8i0n 30°＝58< 23，
因此 0°<B<60°或 120°<B<150°.若 0°<B<60°，则 C＝180°－(B＋ 30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若 120°<B<150°，此时△ ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形．
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(2)余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－ 2abcos C. 推论：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2 －c2＝2abcos C.
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热点一
三角恒等变换与求值
(1)利用三角恒等变换解决化简求值问题，如 T1，T2； 命题角度
(2)利用三角恒等变换解决化简求角问题，如 T3.
1．若 tanα＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝(
由余弦定理及 C＝π3可得 a2＋b2－c2＝ab ②.所以由①②得 2ab－6
＝ab，即
ab＝6.所以
S△ABC＝12absinπ3＝12×6×
23＝3
2
3 .
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3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB＝ 1，BC＝ 2，则 AC＝( )
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(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角 的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个 角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
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第十六页，编辑于星期五：十点 三分。
答案：－14
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第六页，编辑于星期五：十点 三分。
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5．(2014·四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46 m，则河流的宽 度 BC 约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考 数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
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[自主解答] 1.在△ABC 中，由正弦定理，得 sin B＝ACA·sBin C
＝ 22，所以∠B＝45°或∠B＝135°，又∠BAC>∠B，所以∠B＝ 45°.因为 AD＝ 5，则在△ABD 中，由余弦定理得 AD2＝AB2＋ BD2－2AB·BD·cos 45°，即 5＝8＋BD2－2×2 2BD×cos 45°，解 得 BD＝1 或 BD＝3.
3≈1.73)
解析：过 A 作 BC 边上的高 AD，D 为垂足．在 Rt△ACD 中，
AC＝92，在△ABC 中，由正弦定理，得 BC＝sin∠ACABC×sin∠BAC
＝sin9267°×sin 37°≈09.922×0.60＝60(m)．
答案：60
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[答案] 1.B 2.C 3. 3
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若将题 2 的条件改为“bcos C＋ccos B＝asin A”，如何选 择？
解析：由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，有 sin(B ＋C)＝sin2A，从而 sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得 sin A＝1，∴ A＝π2，即△ABC 为直角三角形，故选 B.
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∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5143×4 7 3＝12. ∵π4<α＋β <34π， ∴α＋β＝π3. [答案] 1.A 2.B 3.π3
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1．两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝1t∓atnanα±αttaannββ . (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. ③tan 2α＝1－2tatannα2α.
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4．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别 是 a，b，c.已知 b－c＝14a,2sin B＝3sin C，则 cos A 的值为________．
解析：由已知及正弦定理，得 2b＝3c，因为 b－c＝14a，不妨 设 b＝3，c＝2，所以 a＝4，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－14.
A．2 或 4 B．1 或 3
C．3 或 2 D．4 或 1
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2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个 内角 A，B，C 的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC 面积的最大值为________．
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3．由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)(a－b)＝ (c－b)c，即 b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12，又 A ∈(0，π)，所以 A＝π3，又 b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即 bc≤4， 故 S△ABC＝12bcsin A≤12×4× 23＝ 3，当且仅当 b＝c＝2 时，等 号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.
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热点 三
与解三角形有关的交汇问题
命题 角度
利用正、余弦定理解三角形是高考的一个热点，常 与三角函数、向量、不等式等交汇命题.
[例 1] (1)(2014·重庆高考)已知△ABC 的内角 A，B，C 满
足 sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积 S 满足
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第十二页，编辑于星期五：十点 三分。
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即
tan(A＋B)＝－1，所以
A＋B＝34π，则
C＝π4，cos
C＝
2 2.
3．∵cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，
∴sin(2α－β)＝5143. ∵sin(α－2β)＝4 7 3且－π4<α－2β<π2， ∴cos(α－2β)＝17.
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2．两个定理
(1)正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R(2R
为△ABC
外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
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第十四页，编辑于星期五：十点 三分。
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1．化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少 函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换， 化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同 角)，化简求值． 2．解决条件求值应关注的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表 示未知角．
1≤S≤2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，则下列不等 式一定成立的是( )
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16 2
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热点二
利用正、余弦定理解三角形
(1)利用正、余弦定理求三角形的边长或角的大小，如
命题角
T1；
度
(2)利用正、余弦定理判定三角形的形状，如 T2；
(3)利用正、余弦定理求三角形的面积，如 T3.
1.(2014·洛阳模拟)在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，AB＝
2 2，AD＝ 5，AC＝4，∠C＝30°，∠BAC>∠B，则 BD＝( )
)
A．－2 5 5
35 B. 10
C．－3105
25 D. 5
2．在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C
的值是( )
A．－
2 2
2 B. 2
1 C.2
D．－12
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3．若 cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝47 3，0<β<π4<α<π2，则 α＋β 的值为________．
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第二讲 三角恒等变换与解三角形（
选择、填空题型）
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1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设 α∈0，π2，β∈0，π2，且 tan α
＝1＋cossinβ β，则(
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解三角形问题的方法 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的 对角”应采用正弦定理； (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的 三边”应采用余弦定理．
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第二十二页，编辑于星期五：十点 三分。
[自主解答] 1.由 tanα＋4π＝t1a－n αta＋n α1＝12，得 tan α＝－13.
又－π2<α<0，所以
sin
α＝－
10 10 .
故2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝2si2n2αsisninα＋α＋cocsosαα＝2
2sin
α＝－2 5
5 .
2．由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antAan＋AttaannBB＝－1，
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2．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
是 a，b，c.若 c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC 的面积是(
)
A．3
B.92 3
C.32 3
D．3 3
解析：选 C 由 c2＝(a－b)2＋6 可得 a2＋b2－c2＝2ab－6 ①.
A．5
B. 5
C．2
D．1
解析：选 B 由题意可得12AB·BC·sin B＝12，又 AB＝1，BC＝ 2，
所以 sin B＝ 22，所以 B＝45°或 B＝135°.当 B＝45°时，由余弦定理 可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1，此时 AC＝AB＝1，BC ＝ 2，易得 A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以 B ＝135°.由余弦定理可得 AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝ 5.
)
A．3α－β＝π2
B．2α－β＝π2
C．3α＋β＝π2
D．2α＋β＝π2
解析：选 B 由条件得csoins αα＝1＋cossinβ β，即 sin αcos β＝cos α(1 ＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sinπ2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2， 所以 α－β＝π2－α，所以 2α－β＝π2，故选 B.
2．依题意得sina A＝sinb B，sin B＝bsian A＝100s8i0n 30°＝58< 23，
因此 0°<B<60°或 120°<B<150°.若 0°<B<60°，则 C＝180°－(B＋ 30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若 120°<B<150°，此时△ ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形．
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第九页，编辑于星期五：十点 三分。
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(2)余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－ 2abcos C. 推论：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2 －c2＝2abcos C.
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热点一
三角恒等变换与求值
(1)利用三角恒等变换解决化简求值问题，如 T1，T2； 命题角度
(2)利用三角恒等变换解决化简求角问题，如 T3.
1．若 tanα＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝(
由余弦定理及 C＝π3可得 a2＋b2－c2＝ab ②.所以由①②得 2ab－6
＝ab，即
ab＝6.所以
S△ABC＝12absinπ3＝12×6×
23＝3
2
3 .
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第四页，编辑于星期五：十点 三分。
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3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB＝ 1，BC＝ 2，则 AC＝( )
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第十五页，编辑于星期五：十点 三分。
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(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角 的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个 角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
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第十六页，编辑于星期五：十点 三分。
答案：－14
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5．(2014·四川高考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46 m，则河流的宽 度 BC 约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考 数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，
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第十八页，编辑于星期五：十点 三分。
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[自主解答] 1.在△ABC 中，由正弦定理，得 sin B＝ACA·sBin C
＝ 22，所以∠B＝45°或∠B＝135°，又∠BAC>∠B，所以∠B＝ 45°.因为 AD＝ 5，则在△ABD 中，由余弦定理得 AD2＝AB2＋ BD2－2AB·BD·cos 45°，即 5＝8＋BD2－2×2 2BD×cos 45°，解 得 BD＝1 或 BD＝3.
3≈1.73)
解析：过 A 作 BC 边上的高 AD，D 为垂足．在 Rt△ACD 中，
AC＝92，在△ABC 中，由正弦定理，得 BC＝sin∠ACABC×sin∠BAC
＝sin9267°×sin 37°≈09.922×0.60＝60(m)．
答案：60
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[答案] 1.B 2.C 3. 3
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若将题 2 的条件改为“bcos C＋ccos B＝asin A”，如何选 择？
解析：由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，有 sin(B ＋C)＝sin2A，从而 sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得 sin A＝1，∴ A＝π2，即△ABC 为直角三角形，故选 B.
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∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5143×4 7 3＝12. ∵π4<α＋β <34π， ∴α＋β＝π3. [答案] 1.A 2.B 3.π3
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1．两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝1t∓atnanα±αttaannββ . (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. ③tan 2α＝1－2tatannα2α.
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4．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别 是 a，b，c.已知 b－c＝14a,2sin B＝3sin C，则 cos A 的值为________．
解析：由已知及正弦定理，得 2b＝3c，因为 b－c＝14a，不妨 设 b＝3，c＝2，所以 a＝4，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－14.
A．2 或 4 B．1 或 3
C．3 或 2 D．4 或 1
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第十七页，编辑于星期五：十点 三分。
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2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个 内角 A，B，C 的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC 面积的最大值为________．
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3．由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)(a－b)＝ (c－b)c，即 b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12，又 A ∈(0，π)，所以 A＝π3，又 b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即 bc≤4， 故 S△ABC＝12bcsin A≤12×4× 23＝ 3，当且仅当 b＝c＝2 时，等 号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.
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与解三角形有关的交汇问题
命题 角度
利用正、余弦定理解三角形是高考的一个热点，常 与三角函数、向量、不等式等交汇命题.
[例 1] (1)(2014·重庆高考)已知△ABC 的内角 A，B，C 满
足 sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积 S 满足
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即
tan(A＋B)＝－1，所以
A＋B＝34π，则
C＝π4，cos
C＝
2 2.
3．∵cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，
∴sin(2α－β)＝5143. ∵sin(α－2β)＝4 7 3且－π4<α－2β<π2， ∴cos(α－2β)＝17.
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2．两个定理
(1)正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R(2R
为△ABC
外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
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创新方案系列丛书
1．化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少 函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换， 化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同 角)，化简求值． 2．解决条件求值应关注的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表 示未知角．
1≤S≤2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，则下列不等 式一定成立的是( )
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16 2
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热点二
利用正、余弦定理解三角形
(1)利用正、余弦定理求三角形的边长或角的大小，如
命题角
T1；
度
(2)利用正、余弦定理判定三角形的形状，如 T2；
(3)利用正、余弦定理求三角形的面积，如 T3.
1.(2014·洛阳模拟)在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，AB＝
2 2，AD＝ 5，AC＝4，∠C＝30°，∠BAC>∠B，则 BD＝( )
)
A．－2 5 5
35 B. 10
C．－3105
25 D. 5
2．在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C
的值是( )
A．－
2 2
2 B. 2
1 C.2
D．－12
高考专题辅导与测试·数学
第十一页，编辑于星期五：十点 三分。
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3．若 cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝47 3，0<β<π4<α<π2，则 α＋β 的值为________．