高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》难题汇编附答案

新数学《不等式》高考知识点
一、选择题
1．已知变量,x y 满足约束条件121
x y x +⎧⎨-⎩剟
…，则x y y +的取值范围是( )
A
．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤
⎥⎝
⎦
C ．11,3
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
D ．3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
作出不等式121
x y x +⎧⎨-⎩剟…表示的平面区域，整理得：
x y y +1x y =+，利用y
x 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得1
13
x y -<-…，问题得解． 【详解】
将题中可行域表示如下图，
整理得：x y y
+1x
y =+ 易知y
k x
=
表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，y
k x
=
取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113
x y -<-…， 故2
03
x y y +<
…. 故选B 【点睛】
本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．
2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( ) A ．2 B ．
52
C ．3
D ．
32
【答案】A 【解析】
()22
0{,440
a f x ac
b b a
c >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，
()(
)11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()
()
120f a c f ='时，不等式取等号，故
的最小值为
3．已知实数x ，y
满足不等式||x y +≥，则2
2x y +最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C
．D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据2
2x y +表示圆心在原点的圆求解其最小
圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得
当0y ≥
时，x y +≥ （2）当0y <
时，x y -≥
如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由2
2x
y +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，
又由2d ==，所以24d =，
即2
2x
y +最小值为4.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.
4．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.
【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.
5．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞
【答案】C 【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4
a x x
≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4
[4,5]x x
+
∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.
6．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6
tan tan tan A B C A
+⋅的最小值为（ ）
A B C D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故
tan 3tan A B =，
3t 53tan 4an 6
ta 3ta tan tan n n B A B C A
B ⎛⎫=
+ ⎪⎝+⎭
⋅，计算得到答案. 【详解】
由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，
即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.
2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.
由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.
易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.
πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-⋅24tan 3tan 1
B
B =-，
tan 6tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭335254≥⨯=
， 当且仅当5
tan B =时等号成立. 故选：B . 【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
7．抛物线
的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足
23
AFB π
∠=
，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）
A 3
B 3
C 3
D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111
()2
MN AA BB =
+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中
222
AB AF BF =+22cos
3
AF BF π-22
AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2
AF BF +-2
3()4AF BF =+，所以
2
2
()43AF BF AB
+≤
，即233AF BF AB +≤，所以3
3
MN AB ≤，故选B ．
考点：抛物线的性质． 【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．
8．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
9．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n
x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60
B ．80
C ．90
D ．120
【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()2
2
5252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
10．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，且函数
(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
B ．[3,2]--
C ．[2,3)-
D ．[3,2]-
【答案】D 【解析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于
()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求
出s 的取值范围. 【详解】
解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；
又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则(
)(
)(
)
2
2
2
232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以
222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.
11．若0a >，0b >，23a b +=，则36
a b
+的最小值为（ ） A ．5 B ．6
C ．8
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()1
23a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】
∵3613a b +=（36
a b +）（a +2b ） ＝13(366b a
a b
+
++12)
≥
13=9 等号成立的条件为66b a
a b
=，即a=b=1时取等 所以
36
a b +的最小值为9． 故选：D ．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题
12．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
联立21
1
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
，解得即可． 【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩
，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
13．已知实数x y ，满足10
30350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则()2
2(4)2z x y =-+-的最小值为（ ）
A
B ．5
C ．3
D ．
52
【答案】D 【解析】
由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可． 【详解】
解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪--⎩
…
…
…平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方， 则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，22
2
2523(1)d -⎛⎫+
⎪= ⎝⎭
=⎪； 所以min 52
z =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
14．若 x y ，满足约束条件0
2323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，则z x y =-的最小值是（ ）
A ．0
B ．3-
C ．
32
D ．3
【答案】B 【解析】
可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3
(0,),(0,3),(1,1)2
A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.
15．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4
B ．3 C
．2 D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】
解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+．
得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)2
n n n S n +-∴==， ∴()()2221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+
，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴
263
n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．
【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
16．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是
A ．3
B ．4
C ．92
D ．112
【答案】B
【解析】
【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭
，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，
24x y ∴+≥
17．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
18．设x ，y 满足约束条件
则的最大值与最小值的比值为（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线
，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

【详解】
如图，作出约束条件表示的可行域.
由图可知，当直线
经过点时.z 取得最大值； 当直线经过点时，z 取得最小值.故
，故选：A 。

【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。

19．设m ，n 为正数，且2m n +=，则
1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95
【答案】D
【解析】
【分析】
根据2m n +=，化简
135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；
【详解】
当2m n +=时， Q 131111212
n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12m n +=+时，即3122
m n ==，取等号， ∴139125
n m n ++≥++. 故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2A A =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）
A ．
B ．(4,
C ．4+
D ．(4+ 【答案】C
【解析】
【分析】
由2sin 2
A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范
围即可得到答案.
【详解】
由题意，22cos 1123A A -=-，即cos 13
A A -=-，可化为
33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，
即23
A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，
B ，
C ，的对边分别为a ，b ，
c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所
以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为222
12()b c bc b c bc =++=+-，所以 2
()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以
2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为
4+.
故选：C
【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.。