SXA287高考数学必修_谈谈函数解题容易出错的地方

函数解题容易出错的地方7
函数的学习将贯穿高中数学学习的始终，在平时的学习函数的过程中，同学们也很容易犯错．下面举例说明同学们在学习函数时的常见错误．
1．要注意函数的定义域
例1：函数()12-x f 的定义域是[]1,0，求()x f 31-的定义域。

错解：因为()12-x f 的定义域是[]1,0，所以1120≤-≤x ，则12
1≤≤x ，求得 23121-≥-≥-x ，即()x f 31-的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-21,2。

正解：因为()12-x f 的定义域是[]1,0，所以10≤≤x ，1121≤-≤-x ，
则函数()x f 的定义域是[]1,1-，令1311≤-≤-x ，得到320≤≤x ，即函数()x f 31-的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0。

评注：上述错误的方法中没有理解了函数的定义域，误认为()12-x f 的定义域是1120≤-≤x ，实际上，函数()12-x f 的定义域是指自变量x 的取值范围。

分清自变量是解决该题的关键。

2．要注意分段讨论
例2：判断函数()()()⎩
⎨⎧>+-<-=0)1(01)(x x x x x x x f 的奇偶性。

错解：定义域关于原点对称，而()()x f x f ≠-且()()x f x f -≠-，则该函数为非奇非偶函数。

解：首先是定义域关于原点对称，
其次当0<x 时，0>-x ，故)(x f -=)1(x x -=)(x f ；
当0>x 时，0<-x ，故)(x f -=)1(x x +=)(x f ；
综上所述，得到)()(x f x f -=-，则()()()
⎩⎨⎧>+-<-=0)1(01)(x x x x x x x f 为奇函数。

评注：对于分段函数要在定义域的不同部分上，来分析奇偶性，但是要在整体上该函数下结论。

3．要注意对函数对应法则的理解
例3：若()1212
+=+x x f ，求()1-x f 。

错解：因为()1212+=+x x f ，所以()1-x f =122-x 或者()1-x f =()1122
+-x =3422
+-x x 。

正解：上述对函数对应法则的理解错误，只认为“f ”只对x 产生作用，事实上()1212+=+x x f 应
将122
+x 看作1+x 这个整体变量在“f ”作用下的结果，而并不是对x 发生作用。

因为()1212+=+x x f =()3)1(4122++-+x x ，所以()3422+-=x x x f ， 故()1212+=-x x f =()3)1(4122
+---x x =9822+-x x ， 再通过换元设1+=x t ⇒1-=t x ，代入()1212
+=+x x f ，得到 ()()34211222+-=+-=t t t t f ，所以()()22
23)1(4121x x x x f =+---=-98+-x 评注：这里特别要注意先将()x f 的表达式求出，然后再求出()1-x f 。

4．要注意对函数奇偶性的理解
例4：函数如果函数()x f 在()2,0上是增函数，且关于x 的函数)2(+=x f y 是偶函数，那么下列结论正确的是（ ）
A ．()1f <⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <⎪⎭
⎫ ⎝⎛27f B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <()1f <⎪⎭⎫ ⎝⎛25f C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <⎪⎭
⎫ ⎝⎛25f <()1f D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <()1f <⎪⎭⎫ ⎝⎛27f 错解：该题容易出现的错误是在于对“关于x 的函数)2(+=x f y 是偶函数”的理解发生错误。

正解：由于)2(+=x f y 是偶函数，得到()2)2(+=+-x f x f ，
所以函数()x f 的图象关于直线2=x 成对称，且()()31f f =，
又因为()x f 在()2,0上是增函数，所以()x f 在()4,2上是减函数，则⎪⎭⎫
⎝⎛25f >()3f <⎪⎭
⎫ ⎝⎛27f 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <()1f <⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ，选B 。

评注：解题错误在于对问题中的偶函数的理解的错误，常见的错误是误认)]2([+-x f )2(+=x f ，实际上对于函数的奇偶性应该紧扣定义：定义域内任意一“x ”有()()x f x f =-。

5．要注意对函数图象对称性的理解
例5：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数()1-=x f y 与函数()x f y -=1的图象关于（ ） A ．直线1=y 对称B ．直线0=y 对称C ．直线0=x 对称D ．直线1=x 对称
错解：用1+x 代替()1-=x f y 和()x f y -=1中的x ，可以得到()()x f x f =-，则根据偶函数定义以及图象特征可以知道对称轴方程是0=x ，所以选C 。

正解：实际上解答的错误是在于等式()()x f x f -=-11，这里的等号是没有依据的，根源在于误认为来年各个函数图象的互对称为一个函数图象的自对称。

因此函数()x f y =对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f -=+，那么其图象关于直线2b a x +=
对称（自对称）；同时()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线2
a b x -=对称（互对称）。

函数()1-=x f y 的图象是由函数()x f y =向右平移一个单位得到的，函数()x f y -=1=()[]1--x f 是由函数()x f y =向右平移一个单位，再作关于直线1=x 对称的图形得到的，或由函数()x f y =的图象关于y 轴对称得到函数()x f y -=的图象，再右移一个单位，得到()[]1--x f =()x f -1的图象，则该题的正确答案应该为D 。

评注：注意函数图象对称的特性是解决该问题的关键。

6．要深刻认识一次函数的特点
例6：求当m 取多少 时，函数()054)3(12≠-++=+x x x m y m 是一个一次函数。

错解：∵03=+m ∴3-=m 时，54-=x y 是一次函数。

正解：∵函数中的项()123++m x m 既可以是一次项，也可以是常数项，∴应分三种情况讨论：当30m +=，即3m =-时，45y x =-；当211m +=且340m ++≠，即0m =时，75y x =-；当210m +=，即21-=m 时，254-=x y 。

因此，正确答案为3m =-或0或2
1-。

评注：形如b kx y +=的函数我们称为一次函数，因此要注意其特点。

7．要掌握二次函数的性质
例7：已知)1](,1[>=b b A ，对于2
321)(2+-=
x x x f ，若A x ∈，A x f ∈)(，试求b 的范围。

错解：因为2321)(2+-=x x x f =1)1(212+-x ，又定义域为)1](,1[>=b b A ，则21322b b b -+=，可以得到()()013=--b b ，则3=b 。

正解：由2321)(2+-=x x x f ，得1)1(2
1)(2+-=x x f 知)(x f 的图象是开口向上的抛物线，顶点为)1,1(，当],1[b x ∈时函数单调递增，于是当b x =时，)(x f 的最大值为)(b f
由于A x f ∈)(，即
21322
b b b -+≤，得31≤≤b 结合已知得所求范围为31≤<b ； 评析：二次函数的单调性有着特殊且灵活的应用，涉及此类问题也相当丰富。

本题难度不大，但容易出错。

不少同学可能会“情不自禁”的认为21322
b b b -+=。

总之，熟悉函数的性质，掌握一定的方法，是远离函数解题的误区。