第7 章 异方差与GLS

(7.4)
并 检 验 ψi 中 所 有 变 量 的 系 数 γ 均 为 0 。 可 以 证 明 ，
nR2 ⎯d⎯→ χ2 (m) 。如果 nR2 超过临界值，则拒绝原假设 H0 。
在大样本中， nR2 与检验整个回归方程显著性的 F 统计量 是渐近等价的。
3．BP 检验（Breusch and Pagan, 1979）
14
对角线上的元素不完全相等。
假定 E(εi2 | xi ) = Var(εi | xi ) = σ2vi (X) ，即
V = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝v01
v2
%
0 vn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
,
V−1
=
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1
v1 0
1 v2
%
1
0 vn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
(7.16)
=
0
(7.7)
使用 ei2 对解释变量进行辅助回归，
10
ei2
=
δ 1
+
δ 2
xi
2
+"+ δ K
xiK
+
errori
仍使用 nR2 统计量，
nR2 ⎯d⎯→ χ2 (K −1)
(7.8) (7.9)
7.4 异方差的处理
1．使用“OLS + 稳健标准差”
11
2．广义最小二乘法（GLS） 假设 Var(ε | X) = σ2V(X) ≠ σ2In ，其中 V(X) 为对称正定矩阵且 已知，可能依赖于 X 。
(7.14)
βˆ GLS = (X ′X )−1 X ′y = ⎡⎢⎣(CX)′ (CX)⎤⎥⎦−1 (CX)′ Cy = (X′C′CX)−1 X′C′Cy = (X′V−1X)−1 X′V−1y
(7.15)
3．加权最小二乘法（WLS） 假设仅存在异方差，无自相关，即 V(X) 为对角矩阵，但主
教学用 PPT，《高级计量经济学及 Stata 应用》，陈强编著，高等教育出版社，© 2010 年
第 7 章 异方差与 GLS 7.1 异方差的后果
“异方差”是违背球型扰动项假设的一种情形，即扰动项 方差 Var(εi | X) 依赖于 i，而不是常数 σ2 。在存在异方差的情
1
况下， （1）OLS 估计量依然是无偏、一致且渐近正态的。 （2）OLS 估计量方差 Var(b | X) 的表达式不再是σ2(X′X)−1 ，因
在一定的条件下可以使用中心极限定理，则
ncn ⎯d⎯→ N(0, B) ，其中 B 为 cn 的渐近方差。假设 Bˆ 为 B 的一 致估计量，则
nc′nBˆ −1cn ⎯d⎯→ χ 2 (m)
(7.3)
其中，m 为 cn 的维度。一般进行如下的辅助回归，
8
ei2 ⎯O⎯LS→ constant+ ψi′γ
4
消费支出可能更难测量，包含较多测量误差。 （2）企业的投资、销售收入与利润 （3）组间异方差：如果样本包含两组（类）数据，则可 能存在组内同方差，但组间异方差的情形。 （4）组平均数：如果数据本身就是组平均数，则大组平
5
均数的方差要比小组平均数的方差小。 （5）时间序列数据中也可能出现条件异方差，比如第 19 章的 ARCH 模型。
y = X β +ε (7.12)
E(ε | X ) = E(Cε | CX) = E(Cε | X) = C E(ε | X) = 0 (7.13)
13
Var(ε | X ) = E(εε′ | X) = E(Cεε′C′ | X) = C E(εε′ | X)C′ = σ2CVC′ = σ2C(V−1)−1C′ = σ2C(C′C)−1C′ = σ2CC−1(C′)−1C′ = σ2In
9
考虑回归模型
yi
=
β 1
+
β 2
xi
2
+"+
β K
xiK
+
ε i
，检验以下原假设，
H0 : E(εi2 | x2 , ", xK ) = σ2 (7.5)
BP 检验假设此条件方差函数为线性函数，
ε2 i
=
δ 1
+
δ 2
xi
2
+
"
+
δ K
xiK
+ ui
(7.6)
则原假设简化为，
H0
:
δ 2
="=
δ K
20
7.3 异方差的检验
1．看残差图
6
可以看“残差与拟合值的散点图”，也可以看“残差与解 释变量的散点图”。
2．怀特检验 在同方差的原假设 H0 : E(εi2 | X) = σ2 下，稳健协方差矩阵与 普通协方差矩阵之差收敛到一个零矩阵，
∑ ∑ ∑ (7.1) Sˆ − s2SXX
=
1 n
n i=1
ei2xixi′ − s2
1 n
n i=1
xixi′ =
1 n
n i=1
(ei2 − s2 )xixi′ ⎯p⎯→ 0K×K
7
将随机矩阵 xixi′ 中不重复的元素取出，排列成一个列向量，
并去掉其中的常数项，记为 ψi 。定义
∑ cn
≡
1 n
n i=1
(ei2
− s2 )ψi
⎯p⎯→ 0m×1
(7.2)
为 Var(ε | X) ≠ σ2I 。因此，通常的 t 检验、 F 检验也失效了。
（3）高斯-马尔可夫定理不再成立，即 OLS 不再是 BLUE。
2
为了直观地理解为何 OLS 不再是 BLUE，假设 Var(εi | X) 是 某解释变量 xi 的增函数，即 xi 越大则 Var(εi | X) 越大，参见 图 7.1。
xi
2
+"+δ K
xiK
)vi
(7.23)
ln
ei2
=
(ln σ2
+
δ 1
)
+
δ 2
xi
2
+
"
+
δ K
xiK
+
ln
vi
(7.24)
通过回归上式，可以得到对 ln ei2 的预测值，记为 ln σˆi2 ，可
得拟合值 σˆi2 = elnσˆi2 ，然后以1 σˆi2 为权重进行 WLS 估计。
19
5．究竟使用“OLS + 稳健标准差”还是 FWLS “OLS + 稳健标准差”更为稳健，而 FWLS 更有效。
xi2 +"+ β
xiK
+
ε i
vi
1 vi
2 vi
K vi
vi
(7.20)
17
∑ ( mβin SSR =
e n
i=1 i
) ∑ vi 2 =
n ei2 v i=1
i
(7.21)
4．可行广义最小二乘法（Feasible GLS，FGLS） 必须先用样本数据来一致地估计 V(X) ，然后使用 GLS。这 种方法被称为 FGLS，
=
⎛⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
y1 y2
yn
...
v1 v2
vn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
(7.18)
16
X ≡ CX = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜1
v1 0
1
v2
%
1
0 vn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜
x11 x21 ... xn1
... ... ... ... ... ... ... ...
x1K x2 K ... xnK
⎞⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x11 x21
xn1
...
v1 v2
vn
... ... ... ... ... ... ... ...
x1K x2 K
...
xnK
vห้องสมุดไป่ตู้ v2
vn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(7.19)
yi = β xi1 + β
βˆ FGLS = (X′Vˆ −1X)−1 X′Vˆ −1y (7.22) 其中， Vˆ 是 V 的一致估计。
18
在仅有异方差的情况下，做 BP 检验时，通过辅助回归
ei2
=
δ 1
+
δ 2
xi
2
+"+
δ K
xiK
+
errori
可以获得对
σ2 i
的估计值 σˆi2
。
ei2
=
σ2
exp(δ1
+
δ 2
15
C = C′ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1
v1 0
1
v2
%
1
0 vn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
(7.17)
y ≡ Cy = ⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1
v1 0
1
v2
%
1
0 vn
⎞⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
y1 y2 ... yn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
命题 对于对称正定矩阵 V ，存在非退化矩阵 Cn×n ，使得 V−1 = C′C 。虽然矩阵 C 不唯一，但不影响 GLS 最终结果。
将原回归模型 y = Xβ + ε 两边同时左乘矩阵 C ，
12
Cy = CXβ + Cε
(7.10)
y ≡ Cy, X ≡ CX, ε ≡ Cε (7.11)
yi
ii
i
i α + β xi
iii
i
ii
i
i
i i
i i
i i
i
i i
i
i i
iii
i
i
i
i i
xi
3
图 7.1、异方差的一种情形
7.2 异方差的例子
（1）消费函数：
Ci
=
α
+
βYi
+
ε i
其中， C 为消费，Y 为收入。富人的消费计划较有弹性，
而穷人的消费多为必需品，很少变动。另一方面，富人的